D`OU LA SOLUTION GENERALE : (voir graphe u aux bornes

INGOLD Charlotte
MEYER Anne
DALLEAU Mayeul 202
GRESSET Romain
Philippe GUY 2003-2004
Réponse Temporelle d'un circuit RLC dégradé en
régime quelconque : fonctions intégration et dérivation

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dt
du
C
dt
dq
i
iUu
dt
du
RC 
eRC
t
A
i
RC
tUAeu 
ii
RC UAUAe 
0
dt
di
dt
di
eLTR0
0
0
0
R
E
Ii et
L
R 
0
0
0R
E
eI L
0
0R
E
I
)1( 0
0
t
L
R
e
R
E
i
t
L
R
e0
dt
di
I- 1) Circuit RC : Réponse à l’échelon en tension
Loi de Kirchhoff : Ui = UR+ U0 = RI +U
Or on a d'où l'équation différentielle :
La solution s'écrit u = u0 + up avec u0 solution de l'équation homogène et up solution particulière
On trouve : u0 car U -> A en fin de charge
up = Ui car Ui = cste donc u p = cste
D'où la solution générale :
Or la tension aux bornes d’un condensateur est continue : u(t=0-) = u( t=0+)
Conditions initiales : u(t=0-) = 0 et u( t=0+) = d'où A = - Ui
D'OU LA SOLUTION GENERALE :
)1( RC
t
ieUu 
(voir graphe u aux bornes de C)
2) Circuit RL : Réponse à l’échelon en intensité
E = UR +UL= (R+r)i +L => E = Ro i +L avec R0 = R + r
De la même manière, la solution s'écrit i = i0 + ip
On trouve i0 = I0 car en régime permanent i=I0
ip = car E= cste => ip = cste
D'où la solution générale :
Or l’intensité du courant dans la bobine est continue : i(t=0-) = i( t=0+)
Conditions initiales : i(t=0-) = 0 et i( t=0+) = d'où
D'OU LA SOLUTION GENERALE
Or on cherche la tension UL avec UL = E – R0i => UL = E (voir graphe u aux bornes de L)
3) Remarques :
 le régime libre correspond à l'évolution du système laissé à lui-même, sans intervention
extérieure. Du point de vue mathématique, cela revient à laisser agir les seules conditions
initiales, sans membre de droite dans l'équation différentielle ; la réponse libre du système est
la solution à l'équation homogène, avec conditions initiales.
 Le régime forcé correspond à la réponse du système lorsque ses conditions initiales sont
nulles et qu'il n'y a donc que l'excitation qui agit sur le système.
R
E

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0R
L
 La constante de temps fournit un ordre de grandeur de la durée de la réponse d'un circuit
RL ou RC .
Circuit RC : τ = R C Circuit RL :
II- 1)Circuit RC se comportant comme un circuit intégrateur :
• ve(t) : tension d’entrée
• vs(t) : tension de sortie aux bornes de la capacité
• vR(t) : tension aux bornes de la résistance
• Loi des mailles à l’instant t : (1)
• On veut exprimer vR(t) en fonction de vs(t) :
on a : et :
donc :
• On divise (1) par RC = et on remplace :
• Si RC est très grand, on a très petit devant
• On peut donc faire une approximation :
• En intégrant on obtient la relation entre la tension de sortie aux bornes de la capacité et la
tension d’entrée :
Si on se met dans les conditions où est très petit devant , c’est-à-dire pour RC très
grand, on voit que la tension de sortie est en première approximation le signal intégré de la
tension d’entrée.
Le circuit RC se comporte comme un « circuit intégrateur ».
2) Circuit RC se comportant comme un circuit dérivateur :
• ve(t) : tension d’entrée
• vs(t) : tension de sortie aux bornes de la bobine
• vR(t) : tension aux bornes de la résistance
• Loi des mailles à l’instant t : (2)
• On veut exprimer vR(t) en fonction de vs(t) :
on a et
• On multiplie (2) par = et on remplace :
• Si est très petit, on a très petit par rapport à
• On peut donc faire une approximation :
• En dérivant on obtient la relation entre la tension de sortie aux bornes de la bobine et la
tension d’entrée :
)(
1)( ti
Cdttdvs
)()()( tvtvtv sRe 
dttdv
C
dttdQ
ti s)()( )( 
)()( tRitvR
dttdv
RCtv s R)( )( 
dttdv RC
tv sR )()( 
RC
tv
RC
tv
RC
tv sRe )()()( 
RC
tv
dttdv RC
tv sse )()()( 
RC
tvs)(
dttdvs)(
dttdv RC
tv se )()( 
dttv
RC
tv es )(
1
)(
RC
tvs)(
dttdvs)(
)()()( tvtvtv sRe 
)()( tRitvR
dttdi
Ltvs)( )( 
)()( tLidttvs
)()( tv
R
L
dttv Rs
R
L
)()()( tv
R
L
dttvtv
R
Lsse 
R
L
)(tv
R
Ls
dttvs)(
dttvtv
R
Lse )()(
)(tv
R
Ls
R
L
dttdv R
L
tv e s)( )( 
dttvs)(

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Si on se met dans les conditions où est très petit devant , c’est-à-dire pour
très petit, on constate que la tension de sortie est en première approximation le signal dérivé de
la tension d’entrée.
Le circuit se comporte comme un « circuit dérivateur ».
Le circuit RC peut aussi se comporter comme un comme un « circuit dérivateur » et le circuit
RL comme un « circuit intégrateur » en prenant la tension de sortie aux bornes de la résistance
et en suivant le même raisonnement.

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))
es
(j(
E
S
(jωH
E
S
(jωH  exp))
)()( jHG 
))(arg()( jH
IRI
jCω
1
s
V
r
V
e
V
I
jCω
1
s
V
III- 1) Fonction de transfert :
La fonction de transfert exprime la relation entre le signal de sortie et le signal d’entrée d’un
quadripôle.
Le module de la fonction de transfert exprime le rapport des amplitudes des deux tensions, on
définit ainsi le Gain en tension :
L’argument de la fonction de transfert exprime la différence de phase entre les 2 tensions, on définit
ainsi la fonction Déphasage :
On appelle représentation de BODE de la fonction de transfert l'association des graphes :
• Gain en amplitude : GdB () = 20 log G()
• Phase : j()
La gamme de fréquence étant souvent élevé on utilise une échelle logarithmique.
On appelle bande passante bande de fréquences dans laquelle l'amplitude est supérieure à un
pourcentage de sa valeur maximale. En général, U>Umax/√2.
Plus simplement, c’est la gamme de fréquence pour laquelle on considère qu’ un signal est transmis.
2) RC Intégrateur :
Les calculs de l’expression complexe de la tension d’entrée et de sortie donne :
On évalue la fonction de transfert :
On déduit le Gain et le déphasage :
Le circuit RC intégrateur se comporte comme un filtre passe-bas, puisqu’il ne transmet le signal que
dans une bande de fréquence (voir graphe bande passante).
G
GdB
Equivalence
=0
Gmax=1
(filtre passif)
GdB max =0
=0
coupe circuit
=c=1/RC
G(c)=1/
GdB=-3
=-/4
∞
G# 1/(RC)
G0
GdB# -20*log(RC)
GdB -∞
=-/2
(intégrateur)
court circuit
Le circuit RC ne fonctionne en intégrateur que pour des valeurs de fréquence situées en dehors de la
bande passante (voir diagrammes de Bode)
3) RC Intégrateur :
Filtre passe-bas Lorsque RC est grand, on a fc  0
Le filtre RC en fonctionnement intégrateur ne laisse passer que la composante continue du signal.
RL Dérivateur :
jRCω11 jCω
jCω
R1/jCω
1/jCω
Ve
Vs
H
)²( RC
HG   1
1
)(
sin
cos
)arg()arg(
RCarctg
Rc
jCH
1
1
RC
fc
21
R
L
fc
2
1