D`OU LA SOLUTION GENERALE : (voir graphe u aux bornes

INGOLD Charlotte
MEYER Anne
DALLEAU Mayeul
GRESSET Romain
202
Réponse Temporelle d'un circuit RLC dégradé en
régime quelconque : fonctions intégration et dérivation
Philippe GUY
2003-2004
INGOLD Charlotte
MEYER Anne
DALLEAU Mayeul
GRESSET Romain
I- 1) Circuit RC : Réponse à l’échelon en tension
202
Loi de Kirchhoff : Ui = UR+ U0 = RI +U
i
Or on a
dq
C du
dt
dt
d'où l'équation différentielle :
RC du u Ui
dt
La solution s'écrit u = u0 + up avec u0 solution de l'équation homogène et up solution particulière
 t
On trouve : u0  A RC car U -> A en fin de charge
up = Ui car Ui = cste donc u p = cste
e
D'où la solution générale :
u Ae
t
RC
Ui
Or la tension aux bornes d’un condensateur est continue : u(t=0-) = u( t=0+)
Conditions initiales : u(t=0-) = 0 et u( t=0+) = Ae
D'OU LA SOLUTION GENERALE :
0
RC
Ui  AUi
t
RC
u U i( 1 e
)
d'où
A = - Ui
(voir graphe u aux bornes de C)
2) Circuit RL : Réponse à l’échelon en intensité
E = UR +UL= (R+r)i +L di => E = Ro i +L di avec R0 = R + r
dt
dt
De la même manière, la solution s'écrit i = i0 + ip
 R0T
On trouve i0 = I0 e L
car en régime permanent
ip = E
car E= cste => ip = cste
R
D'où la solution générale : i  I 0
e
 R0
t
L

i=I0
E
R0
Or l’intensité du courant dans la bobine est continue : i(t=0-) = i( t=0+)
Conditions initiales : i(t=0-) = 0 et i( t=0+) = I0e
D'OU LA SOLUTION GENERALE
0
L
i E (1e
R0
 E d'où I0 E
R0
R0
R0 t
L
Or on cherche la tension UL avec UL = E – R0i => UL = E e
)
R0 t
L
(voir graphe u aux bornes de L)
3) Remarques :
 le régime libre correspond à l'évolution du système laissé à lui-même, sans intervention
extérieure. Du point de vue mathématique, cela revient à laisser agir les seules conditions
initiales, sans membre de droite dans l'équation différentielle ; la réponse libre du système est
la solution à l'équation homogène, avec conditions initiales.
 Le régime forcé correspond à la réponse du système lorsque ses conditions initiales sont
nulles et qu'il n'y a donc que l'excitation qui agit sur le système.
Philippe GUY
2003-2004
INGOLD Charlotte
MEYER Anne
DALLEAU Mayeul
202
GRESSET Romain
 La constante de temps fournit un ordre de grandeur de la durée de la réponse d'un circuit
RL ou RC .
Circuit RC :
Circuit RL :   L
R0
τ=RC
II- 1)Circuit RC se comportant comme un circuit intégrateur :
• ve(t) : tension d’entrée
• vs(t) : tension de sortie aux bornes de la capacité
• vR(t) : tension aux bornes de la résistance
Loi des mailles à l’instant t : ve(t )  vR (t )  vs (t )
On veut exprimer vR(t) en fonction de vs(t) :
•
•
on a : i(t )  dQ(t )  C dvs (t )
dt
donc :
•
vR (t )  RC
dvs (t )
dt
On divise (1) par RC =
et on remplace : ve(t )  vR(t )  vs (t )
RC
•
•
et : vR (t )  Ri (t )
vR (t ) dvs (t )

RC
dt


dt
dvs (t ) 1
 i (t )
dt
C

(1)
RC
RC

ve(t ) dvs (t ) vs (t )


RC
dt
RC
dvs (t )
dt
Si RC est très grand, on a vs (t ) très petit devant
RC
On peut donc faire une approximation : ve(t )  dvs (t )
RC
dt
•
En intégrant on obtient la relation entre la tension de sortie aux bornes de la capacité et la
tension d’entrée :
1
vs (t ) 
ve(t )dt
RC 
dvs (t )
v s (t )
Si on se met dans les conditions où
est très petit devant
, c’est-à-dire pour RC très
dt
RC
grand, on voit que la tension de sortie est en première approximation le signal intégré de la
tension d’entrée.
Le circuit RC se comporte comme un « circuit intégrateur ».
2) Circuit RC se comportant comme un circuit dérivateur :
• ve(t) : tension d’entrée
• vs(t) : tension de sortie aux bornes de la bobine
• vR(t) : tension aux bornes de la résistance
Loi des mailles à l’instant t : ve(t )  vR (t )  vs (t )
On veut exprimer vR(t) en fonction de vs(t) :
•
•
on a vR (t )  Ri (t )
•
•
•
•
et vs (t )  L
di (t )
dt
  vs (t )dt  Li (t )
(2)
  vs (t )dt  L vR(t )
L
L
On multiplie (2) par  =
ve(t )   vs (t )dt  vs (t )
R
R
L
L
vs (t ) très petit par rapport à vs (t ) dt
Si
est très petit, on a
R
R
L
On peut donc faire une approximation : ve(t )   vs (t )dt
L
et on remplace :
R
R

R
En dérivant on obtient la relation entre la tension de sortie aux bornes de la bobine et la
tension d’entrée :
L dve(t )
vs (t ) 
Philippe GUY
R
dt
L
vs (t )
R
 vs(t )dt
2003-2004
L
R
INGOLD Charlotte
MEYER Anne
DALLEAU Mayeul
GRESSET Romain
Si on se met dans les conditions où
202
est très petit devant
, c’est-à-dire pour
très petit, on constate que la tension de sortie est en première approximation le signal dérivé de
la tension d’entrée.
Le circuit se comporte comme un « circuit dérivateur ».
Le circuit RC peut aussi se comporter comme un comme un « circuit dérivateur » et le circuit
RL comme un « circuit intégrateur » en prenant la tension de sortie aux bornes de la résistance
et en suivant le même raisonnement.
Philippe GUY
2003-2004
INGOLD Charlotte
MEYER Anne
DALLEAU Mayeul
GRESSET Romain
202
III- 1) Fonction de transfert :
La fonction de transfert exprime la relation entre le signal de sortie et le signal d’entrée d’un
quadripôle.
S
S
H(jω)
 H(jω) 
exp(j(    ))
s
e
E
E
Le module de la fonction de transfert exprime le rapport des amplitudes des deux tensions, on
définit ainsi le Gain en tension : G ( )  H ( j )
L’argument de la fonction de transfert exprime la différence de phase entre les 2 tensions, on définit
ainsi la fonction Déphasage :
 ( )  arg( H ( j ))
On appelle représentation de BODE de la fonction de transfert l'association des graphes :
• Gain en amplitude : GdB () = 20 log G()
• Phase : j()
La gamme de fréquence étant souvent élevé on utilise une échelle logarithmique.
On appelle bande passante bande de fréquences dans laquelle l'amplitude est supérieure à un
pourcentage de sa valeur maximale. En général, U>Umax/√2.
Plus simplement, c’est la gamme de fréquence pour laquelle on considère qu’ un signal est transmis.
1
Ve  Vr  Vs 
I  RI
2) RC Intégrateur :
jCω
Les calculs de l’expression complexe de la tension d’entrée et de sortie donne :
Vs  1 I
Vs 1/jCω jCω
jCω
1
On évalue la fonction de transfert : H Ve 1/jCωR  jCω 1 jRCω
On déduit le Gain et le déphasage :
G  H 
1
1  ( RC )²
   arg( H )   arg(1  jC )
cos   1

sin   Rc
   arctg( RC )
Le circuit RC intégrateur se comporte comme un filtre passe-bas, puisqu’il ne transmet le signal que
dans une bande de fréquence (voir graphe bande passante).

=0
=c=1/RC
∞
G
Gmax=1
(filtre passif)
G(c)=1/
G# 1/(RC)
G0
GdB

Equivalence
GdB max =0
=0
coupe circuit
GdB=-3
=-/4
=-/2
(intégrateur)
GdB# -20*log(RC)
GdB -∞
court circuit
Le circuit RC ne fonctionne en intégrateur que pour des valeurs de fréquence situées en dehors de la
bande passante (voir diagrammes de Bode)
3) RC Intégrateur : 1
fc 
Filtre passe-bas
Lorsque RC est grand, on a fc  0
2RC
Le filtre RC en fonctionnement intégrateur ne laisse passer que la composante continue du signal.
RL Dérivateur :
Philippe GUY
fc 
1
2 L
R
2003-2004
INGOLD Charlotte
MEYER Anne
DALLEAU Mayeul
GRESSET Romain
Filtre passe-haut
202
Lorsque L/R est petit, on a fc  ∞
Le filtre RC en fonctionnement dérivateur supprime la composante continue du signal.
4) Applications du circuit ‘‘ Intégrateur’’ :
• Oscilloscope : donne la composante continue d’un signal alternatif
• Amplis Hi-Fi : filtre passe-bas qui supprime les hautes fréquences (réglage graves \ aigus)
ANNEXE
U aux bornes de C
U aux bornes de L
Graphe Bande Passante
Diagrammes de Bode
Philippe GUY
2003-2004
INGOLD Charlotte
MEYER Anne
DALLEAU Mayeul
GRESSET Romain
Philippe GUY
202
2003-2004