1 Mécanique NYA Notes de cours Thème : Quantité de mouvement

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Mécanique NYA Notes de cours
Thème : Quantité de mouvement, collisions et centre de masse
a) Quantité de mouvement et impulsion
La quantité de mouvement d’une particule est donnée par :
vmp 
(quantité vectorielle)
On peut montrer que la deuxième loi de Newton peut prendre une autre
forme équivalente en mécanique newtoniènne :
am
dt
vd
mvm
dt
d
dt
pd 
Nous pouvons en conclure que :
dt
pd
F
(
F
est la force résultante
agissant sur la particule).
Commentaire :
Nous avons supposé ici que la masse est une constante ne changeant pas
avec la vitesse. Cette restriction ne peut être maintenue en Relativité
restreinte, théorie formulée par Einstein en 1905, la masse augmentant
avec la vitesse pour tendre finalement vers l’infini lorsque la vitesse de la
particule s’approche de celle de la lumière dans le vide. Einstein dut partir
de la dernière relation pour définir la force.
Unités : kg m/s

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Supposons maintenant qu’une force résultante variable agisse sur une
particule, entre deux valeurs de temps
i
t
et
f
t
. Nous avons à partir de
notre relation :
dtFpd 
Ceci donne :
IdtFp f
i
t
t
(
I
est l’impulsion donnée à la particule)
La variation de la quantité de mouvement de la particule correspond à
l’impulsion qu’elle reçoit.
De façon générale, on définit la notion de force moyenne à partir de la
relation suivante :
tFIp Moy  
Graph.
i
t
j
t
F
t
t
Moy
F
Aire = Impulsion =
tFMoy 
Interprétation graphique de l’impulsion en une
dimension

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Exemple
Rebond d’une balle.
Nous allons calculer la force moyenne exercée sur la balle pendant son
contact avec le sol.
Avant d’appliquer les notions précédentes, il faut toutefois déterminer les
valeurs pour la vitesse de la balle avant d’arriver au sol et après avoir quitté
le sol. Pendant la descente et la montée de la balle, l’énergie mécanique est
conservée :
smhgvhgm
vm
smhgvhgm
vm
UK
f
f
i
i
g
/4,5'2'
2
/3,62
2
0
2
2
Les valeurs calculées ici sont des grandeurs.
ssmkgj t
pp
t
p
F
jsmkgjsmkgvmp
jsmkgjsmkgvmp
if
Moy
ff
ii
2
3
3
10 /63,054,0
/54,0/4,510100
/63,0/3,610100
i
v
f
v
h
'h
choc)du (Durée10
5,1'
2
balle) la de (Masse100
2st
mh
mh
gm
y
j
(Sol)

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Nous obtenons finalement :
NjFMoy
2
102,1 
Ngm 0,1
Cette force vers le haut est donc principalement exercée par le sol.
b) Conservation de la quantité de mouvement
Considérons un système isolé de deux particules où les particules ne
peuvent qu’interagir l’une avec l’autre.
En raison de la 3ième loi de Newton, nous avons :
1221 FF  
Maintenant dérivons la quantité de mouvement totale par rapport au
temps :
0
2112
21  FF
dt
pd
dt
pd
dt
pd 
1
m
2
m
12
F
21
F
1
p
2
p
1
p
2
p
p
21 ppp  
Quantité de mouvement totale

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Ceci implique donc que la quantité de mouvement totale est constante ou
conservée.
cteppp  21
On peut aussi dire que les particules, pendant leur interaction, reçoivent
des impulsions égales et opposées puisqu’alors :
0
21  pp 
Un système peut ne pas être parfaitement isolé mais si dans un plan donné
seules les forces d’interaction entre les particules sont à considérer, la
quantité de mouvement est alors conservée dans ce plan.
Exemple
Tir d’un canon reposant sur une surface sans frottement.
Trouver la vitesse du boulet.
Dans la direction horizontale, il n’y a que les forces d’interaction entre le
canon et le boulet. La quantité de mouvement, qui est nulle au départ, est
donc conservée dans cette direction.
sm
kg
kg
v
m
m
vvmvm xxxx /8,1
30
3000
01
2
1
22211 
x
1
m
2
m
1
v
2
v
kgm
smv
kgm
30
/8,1
3000
2
1
1
g