Théorème de Pythagore

Rensonnet Céline
1ère Math B
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Py yt th ha ag go or re e
Cours d’AFP
Année 2004-2005
Haute Ecole Charlemagne
Implantation Rivageois

Théorème de Pythagore
1. Théorème de Pythagore
2. Théorème de Pythagore en terme d’aires
L’aire du carré construit sur l’hypoténuse d’un triangle rectangle est égale à la somme des
aires des carrés construits sur les deux autres côtés.
On peut démontrer ce théorème de plusieurs manières à l’aide de puzzle. En voici une ci-
dessous.
On part d’un triangle rectangle dont la longueur des côtés sont notés a, b, c (figure 1a) et on
construit sur ses côtés les carrés notés A, B, et C comme le montre la figure 1b. On doit
démontrer que l’aire du carré C est égale à la somme des aires des carrés A et B.
Fig1a Fig1b
Pour cela, on compare deux puzzle d’une même figure.
Le premier puzzle est donné à la figure 2a :à chaque côté libre du carré C, on a accolé une
copie du triangle rectangle de la fig1a.
Fig2a

En procédant de cette manière, on obtient un quadrilatère dont le côté vaut a + b.
En effet, la somme des angles d, f et c est égale à 180° puisque la somme des angles d + c est
égale à 90° comme la somme des angles aigus d’un triangle rectangle, et que l’angle f vaut
aussi 90° comme angle du carré C. De plus, ce quadrilatère a quatre côtés de longueur a + b et
quatre angles droits. C’est donc un carré de côté a + b.
Pour le deuxième puzzle, aux côtés des carrés A et B, on a accolé deux pairs de triangles
rectangles, copies du triangle de la fig1a (figure 2b). On obtient un quadrilatère qui a quatre
côtés de longueur a + b e(t quatre angle droit : il s’agit donc de nouveau d’un carré dont le
côté vaut a + b. Les carrés extérieurs des figures 2a et 2b ont donc même aire. Celui de la
figure 2a est recouvert par le carré C et par quatre triangles isométriques au triangle de départ.
Celui de la figure 2b est recouvert par le carré A et B par les mêmes quatre triangles
isométriques.
On en déduit que l’aire du carré C est égale à la somme des aires des carrés A et B.

1. Théorème de Pythagore en terme de longueur.
Pour exprimer une relation entre les longueurs des côtés d’un triangle rectangle, on reformule
l’énoncé précédent de la manière suivante.
Le carré de la longueur de l’hypoténuse d’un triangle rectangle est égale à la somme des
carrés des longueurs des deux autres côtés.
Si a et b sont les longueurs des deux autres côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle et c
est la longueur de son hypoténuse, alors c2 est égales à l’aire du carré construit sur
l’hypoténuse et a2 et b2 sont égaux aux aires des carrés construit sur les deux autres côtés du
triangle rectangle.
L’égalité entre l’aire du carré construit sur l’hypoténuse est la somme des aires des carrés
construits sur les deux autres cotés, s’écrit de la manière suivante : c2 = a² + b²
Ce théorème permet de calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle quand on
connaît la longueur des deux autres côtés. Les calculs liés au théorème de Pythagore
conduisent à l’utilisation de la notion de racine carré notée « √ ».
Puisque l’hypoténuse d’un triangle rectangle est le plus long des côtés, on a que c > a et que c
> b et l’égalité c² = a² + b² entraîne les égalités suivantes : c = √ a² + b²
a = √ c² - b²
b = √ c² - b²
2. Réciproque du théorème de Pythagore
3. Enoncé de la réciproque
Si dans un triangle, le carré de la longueur d’un côté est égale à la somme des carrés des
longueurs des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle et son hypoténuse est le premier
côté cité.

A la figure 3a, nous avons construit à l’aide d’un compas, un triangle T1 dont les côtés ont
pour longueur les nombres a, b, c tels que a² + b² =c². Montrons que ce triangle est rectangle
et que son hypoténuse est le côté de longueur c.
Pour cela considérons le triangles un autre triangle rectangle T2 dont le côtés de l’angle droit
mesurent a et b (fig3b).
Puisque le triangle T2 est rectangle, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore. Donc, le
carré de la longueur de son hypoténuse est égale à a² + b², c’est-à-dire à c². On en conclut que
la longueur de son hypoténuse est égale à c.
Ainsi les deux triangles T1 et T2 ont leurs trois côtés correspondants de même longueur : ils
sont isométriques. On en conclut que le triangle T1 est un triangle rectangle dont l’hypoténuse
est le côté de longueur c.
1. Exemple d’utilisation de la réciproque
Cette propriété permet de vérifier si un triangle dont on donne les longueur des côtés est
rectangle ou non.
La légende raconte que deux millénaires ACN, les Egyptiens se servaient d’une corde à douze
nœuds pour tracer les angles droits. Ils construisaient, à l’aide de cette corde, un triangle
comme le montre la figure 4 et ils concluaient que ce triangle était rectangle.
fig3a
fig3b
Fig4