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EFTG TQG Probabilités 2016
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1 Expériences et événements aléatoires
1.1 Notion de hasard. Phénomènes aléatoires
On appelle expérience aléatoire, , une expérience conduisant suivant le hasard à plusieurs
résultats possibles.
Un résultat possible de l’expérience est appelé issue ou éventualité, et noté classiquement par
la lettre ω
L’espace de toutes les issues possibles, appelé espace fondamental, sera noté Ω.
Ω= { ω1, ω2, ω3. ….ωn.}
Exemples
Les jeux de hasard, tels pile ou face, jeux de cartes, loterie, fournissent des exemples
d’expériences aléatoires pour lesquels Ω est fini, mais Ω est en général un espace beaucoup
plus compliqué
1) On lance une pièce de monnaie :
Ω= { P,F}
2) On lance deux pièces de monnaie:
Ω= { PP, PF, FP, FF}
3) On lance un dé :
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
4) On lance deux dés distincts :
Ω = {(i,j) tel que 1≤ i ≤ 6 et 1≤ j ≤ 6 } = { (1,1), (1,2) ………..((6,5), (6,6) }
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}x {1, 2, 3, 4, 5, 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}2
5) On lance une pièce de monnaie et un dé :
Ω = { P,F}x {1, 2, 3, 4, 5, 6} = { (P,1), (P,2), …,(P,6), (F,1), (F,2), …, (F,6) }
6) On étudie la durée de vie d’une ampoule électrique :
Ω = [ 0 , +∞ [
1.2 Événements aléatoires et tribus
On appelle événement aléatoire (associé à l’expérience ), un sous-ensemble de Ω dont on
peut dire au vu de l’expérience s’il est réalisé ou non. Un événement est donc une partie de Ω.
Ainsi, si l’expérience consiste en un lancé de deux dés :
A = {la somme des deux dés est inférieure à 4} est un événement aléatoire
A = {( i,j) Ω / i+j < 4}= { (1,1), (1,2), (2,1) }

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Les événements aléatoires étant des ensembles, on peut effectuer les opérations logiques
habituelles, avec l’interprétation suivante :
— l’événement Ω est l’événement certain ; est l’événement impossible ;
— l’événement
A
est l’événement contraire à A ; réalisé si A non réalisé
— l’événement A B est l’événement « A et B sont réalisés » ;
— A B est l’événement « A ou B sont réalisés » ;
— si A B, la réalisation de l’événement A entraîne la réalisation de B ;
— si A B = , on dit que A et B sont incompatibles. Un résultat de l’expérience ne peut
être à la fois dans A et dans B.
On peut évidemment combiner plus de deux événements par ces opérations logiques.
Par exemple si l’on considère une suite infinie (An)n d’événements aléatoires, on pourra
considérer :
n
An et
n
An
Rappel algébrique : relations de Morgan
BABA 
et
BABA 
Définition
Si les (An)n forment une partition de Ω (les événements sont disjoints deux à deux et leur
réunion est égale à Ω), on dit que (An)n est un système exhaustif ou un système complet
d’événements de Ω.
On utilise parfois simultanément le langage de la théorie des ensembles et celui des
probabilités. Le dictionnaire suivant donne la correspondance entre les notions fréquemment
utilisées.
Théorie des ensembles
Probabilités
A sous-ensemble
A événement
A = ∅ ensemble vide
∅ événement impossible
A = Ω ensemble fondamental
Ω événement certain
A
B
A entraîne B
A ∩ B intersection
A et B, conjonction de A et B
A
B réunion
A ou B, au moins un de A et B
Ac =
A
complémentaire de A
Contraire de A
A \ B différence = A ∩
B
A et contraire de B
A ∩ B = ∅ ensembles disjoints
A et B sont des événements incompatibles
(An)n partition de E
(An)n système complet d’événement

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Définition
L’ensemble A P(Ω) des événements aléatoires doit satisfaire les propriétés suivantes :
— Ω A ;
— A est stable par passage au complémentaire :
A A
A
A
— A est stable par réunion dénombrable :
n
N An . A
n
An A
On déduit de ces trois axiomes que A est stable par intersection dénombrable et contient
Un ensemble de parties de Ω vérifiant ces trois axiomes s’appelle une σ-algèbre ou une tribu
de Ω.
Exemple de tribu
Si Ω est fini ou dénombrable, on prend le plus souvent A =P(Ω)
2 Probabilité
On cherche à définir, pour A A , la vraisemblance qu’on accorde à priori à A (avant le
résultat de l’expérience). On cherche donc à associer à chaque événement A un nombre P (A)
compris entre 0 et 1, qui représente la chance que cet événement soit réalisé à la suite
de l’expérience.
2.1 Approche intuitive
Considérons un événement A lié à une expérience aléatoire donnée . Supposons que l’on
répète n fois l’expérience (penser par exemple à un jeu de pile ou face). On note nA le
nombre de fois où A se réalise. La fréquence de réalisation de A est: fA = nA / n.
On a les propriétés suivantes
fA [0,1] , f Ω = 1
si A et B sont incompatibles fA
B = fA + fB
L’approche intuitive consiste à définir P (A) comme étant la limite quand n tend vers l’infini
des fréquences d’apparition fA.
Exemple
On lance une pièce de monnaie A est l’événement : « obtenir pile »et B est l’événement :
« obtenir face »

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2.2 La notion de probabilité
Définition 1:
Une distribution de probabilité (une loi de probabilité, une mesure de probabilité) est une
application P qui associe à tout événement A un nombre P(A),
P : A
1,0
A P(A) appelé probabilité de A.
P doit satisfaire les axiomes suivants :
A1 : P(A) [0,1]
A2: P(Ω) = 1
A3: Si (Ai) sont des événements incompatibles deux à deux, i.e. Ai ∩ Aj = ∅ si i ≠ j,
alors
)()( 1
1
iii
iAPAP
Définition 2
Nous appelons espace probabilisé tout couple (Ω, P) où Ω est un ensemble fondamental et P
est une distribution de probabilité sur Ω.
Là aussi, si on veut être plus précis, il faut ajouter la tribu A, donc un espace probabilisé est le
triplet (Ω, A, P).
2.3 Propriétés d’une distribution de probabilité
Théorème :
Soient (Ω, P) un espace probabilisé et A, B, C, et (Ai) des événements quelconques.
P satisfait les propriétés suivantes :
1. 0 ≤ P(A) ≤ 1
2. P(Ω) = 1 , P(∅) = 0
3. P(
A
) = 1 - P(A)
4. Si A entraîne B, i.e. A B, alors P(A) ≤ P(B)
5. P(A \ B) = P(A ∩
B
) = P(A) - P(A ∩ B) et P(B \ A) = P(B ∩
A
)= P(B) - P(A ∩ B)
6. P(A B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B), et par conséquent P(A B) ≤ P(A) + P(B)
P(A B C) = [P(A) + P(B) +P(C)] -[P(A ∩ B) + P(A ∩ C) +P(B ∩ C)] + P(A ∩ B ∩ C)
7. Soit (Ai)i
IN une suite d’événements, alors
)()( 1
1
iii
iAPAP
(inégalité de Boole)
3 Probabilité sur un espace fini
3.1 Cas particulier ; Equiprobabilité
L’exemple fondateur de la théorie est le cas équiprobable (pour Ω fini) : tous les résultats
possibles (i.e. tous les ωi ) ont la même probabilité pi = 1/N = 1/card Ω. C’est le cas d’une
distribution uniforme discrète.
Donc dans ce cas équiprobable la probabilité d’un événement A est donnée par :

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P(A) =
)( )( card Acard
=
possiblescasdenombre favorablescasdenombre
En effet
Soit Ω fini, de cardinal N , i.e. Ω= { ω1, ω2, ω3. ….ωN.}
et soit A un événement ,A A= { ω1, ω2, ω3. ….ωn.} avec n N
comme les { ωi} sont incompatibles alors
P(A) =
A
N
n
=
)( )( card Acard
En effet, si on pose pi = probabilité que ωi soit réalisé, on peut calculer la probabilité de tout
événement A par la formule très simple
P(A) =
A
ii
p
Exemple 1 : On jette un dé honnête.
Donc l’ensemble fondamental est Ω = {1,2,3,4,5,6} et P({i}) = 1/6 pour i = 1,2,3,4,5,6.
L’événement «Le résultat est pair », donné par A = {2,4,6}, a pour probabilité P(A) = ½.
3.2 Calcul combinatoire
On va développer différents « modèles d’urnes » qu’on peut également voir comme des
modèles de prélèvement d’échantillon dans une population, au cours d’un sondage. Ils
interviennent aussi en contrôle de fabrication.
Modèles d’urnes
Le modèle général est le suivant : une urne contient N boules de couleurs différentes, réparties
en N1 boules de couleur 1, N2 boules de couleur 2,…,Nk boules de couleur k.
On posera
N
N
pi
i
la proportion de boules de couleur i. On tire au hasard n boules de cette
urne, n≤ Ni , et on s’intéresse à la répartition des couleurs dans l’échantillon obtenu.
On note par
k
n
nn
P....
21
la probabilité d’obtenir n1 boules de couleur 1,…,nk boules de couleur
k, avec bien sûr n1 + … + nk = n.
On va considérer trois façons de tirer les boules au hasard : tirage avec remise, tirage sans
remise, tirage simultané.
a) tirage avec remise
Les tirages sont successifs. (il y a un ordre ) On replace la boule tirée dans l’urne avant le
tirage suivant. On peut donc tirer plusieurs fois la même boule.
Ω est alors l’ensemble de tous les n-uplets d’éléments de l’urne ; toutes les répétitions étant
possibles: c’est l’ensemble des arrangements avec répétitions de n éléments pris parmi N.
card (Ω) = Nn , noté
n
N
On munit Ω de sa probabilité uniforme.