Word - AESTQ

Travail 5 -Laboratoire 15 : Plans et droites
Fichier Maple à consulter : Travail5Lab15.mws sur le site du Saut quantique dans la section
Dossiers — Logiciels de calcul symbolique (http://www.apsq.org/sautquantique/doss/dlogiciels.html#algebre).
Théorème : Étant donné 3 droites gauches quelconques, D1, D2, D3, il existe toujours une
quatrième droite D qui coupe les trois droites gauches D1, D2 et D3. (Il en existe une infinité.)
Démonstration
Soit D1, D2, et D3, trois droites gauches.
Soit P un plan contenant contenant la droite D1 et P est non parallèle à D2 ni à D3, (il y en a une
infinité).
Remarque : En faisant tourner un plan contenant D1, autour de la droite D1, on obtient une
infinité de plans dont un seul est // à D2 et un seul est // à D3.
Soit P2, le point de percée de D2 avec P. Soit P3, le point de percée de D3 avec P.
Les droites P2P3 et D1 sont dans le plan P.
Si P2P3 coupe D1 alors c'est la droite cherchée sinon P2P3 est // D1.
Si P2P3 est // D1 (1) alors soit Q un autre plan contenant D1 et non parallèle à D2 ni à D3
Soit P'2, le point de percée de D2 avec Q. Soit P'3, le point de percée de D3 avec Q
Les droites P'2P'3 et D1 sont dans le plan Q.
Si P'2P'3 coupe D1 alors c'est la droite cherchée sinon P'2P'3 est // D1. Montrons que P'2P'3 ne
peut pas être // D1
Preuve par l'absurde (par contradiction)
Supposons que P'2P'3 est // D1 (2) De (1) et (2) On a P2P3 est // D1 et P'2P'3 est // D1 donc
P'2P'3 est // P2P3
Ces 2 droites // sont contenues dans un plan R et donc les 4 points P2, P3, P'2 et P'3 sont dans ce
plan R.
Conclusion : Les droites D2 et D3 sont dans le plan R car D2 y a ses 2 points P2 et P'2 et D3 ses
points P3 et P'3. On aurait alors D2 et D3 sont concourantes ou parallèles, ce qui contredit que ce
sont 2 droites gauches.
Exercices
No 1) Soit les 3 droites gauches suivantes :
D1 : x = 3 - 7r, y = -2 + 8r, z = 10 - 2r
D2 : x = 3 - 5k, y = 8 - 3k, z = 11 + 8k
D3 passe par les points A(2,7,0) et B(-3,11,-9)
Trouver une droite D qui coupe ces 3 droites gauches. Donner les 3 points d'intersection de la
droite D avec D1, D2 et D3,
A) en utilisant la méthode de preuve de la démonstration ci-haut,
B) en utilisant la commande solve.
No 2) Si on enlève le mot « gauches » de l'énoncé du théorème plus haut, on obtient l'énoncé faux
suivant : Étant donné 3 droites quelconques, D1, D2, D3, il existe toujours une quatrième droite
D qui coupe les trois droites D1, D2 et D3.
Activité 10 — Laboratoires d’algèbre linéaire utilisant Maple
Activité réalisée au Collège Bois-de-Boulogne par Claude Saint-Hilaire, éditée par le Saut quantique.
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Trouver un contre-exemple à cet énoncé faux.
No 3) Étant donné 4 droites gauches, D1, D2, D3, D4 il existe toujours une cinquième droite D
qui coupe les quatre droites D1, D2,D3 et D4. Cet énoncé est faux. Prouvez que les 4 droites
suivantes en sont un contre-exemple.
D1 est l'axe des z
D2 passe pas le point P2(1,0,1) et est // à l'axe des y
D3 passe pas le point P3(0,1,0) et est // à l'axe des x
D4 passe par les points A(1,0,0) et B(0,1,1)
No 4) Trouver 4 droites gauches, D1, D2, D3, D4 pour lesquelles il existe une cinquième droite
D qui coupe ces quatre droites gauches.
Activité 10 — Laboratoires d’algèbre linéaire utilisant Maple
Activité réalisée au Collège Bois-de-Boulogne par Claude Saint-Hilaire, éditée par le Saut quantique.
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