TD M2 : Prévoir le mouvement d`un point matériel - PCSI
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Mécanique – Première partie TD M2 : Prévoir le mouvement d’un point matériel But du chapitre Prévoir le mouvement d’un point matériel à partir de ses causes. Plan prévisionnel du chapitre M2 : Prévoir le mouvement d’un point matériel I / Masse d’un corps II / Interactions et lois de Newton III / Exemples de forces usuelles 1°)Qu’est ce qu’une force ? 2°)Quelles sont les propriétés d’une force ? 3°) Exemples IV / Référentiels galiléens et principe d’inertie (1ère loi de Newton) 1°) Enoncé du principe d'inertie 2°) Définition pratique des référentiels galiléens 3°) Relativité galiléenne IV / Relation fondamentale de la dynamique (2ème loi de Newton) 1°) Enoncé 2°) Comment appliquer la seconde loi de Newton ? V/ Principe des actions réciproques (ou principe action/réaction ou 3ème loi de Newton) Savoirs et savoir-faire Ce qu’il faut savoir : Connaître les notions de point matériel, de masse, de force de quantité de mouvement. Énoncer les 3 lois de Newton en expliquant leur rôle (définition d'un référentiel galiléen, lien entre forces et mouvement, lien entre action et réaction). Connaître les caractéristiques de quelques forces usuelles : poids, réaction d’un support, tension d’un ressort ou d’un fil inextensible, force de frottement fluide. Ce qu’il faut savoir faire : Faire l’inventaire des forces s’exerçant sur un point matériel et donner des informations sur leurs composantes. Appliquer la deuxième loi de Newton afin d’obtenir les équations du mouvement. Exploiter les équations du mouvement pour en déduire les équations horaires ou la valeur d’une force. Erreurs à éviter/ conseils : II faut un référentiel galiléen pour appliquer le PFD : ce sera toujours le cas dans ce chapitre, mais ne pas oublier de le préciser systématiquement. La troisième loi peut sembler surprenante (la Lune et la Terre exercent Tune sur l'autre une force de même intensité), mais dans un inventaire de forces, seules les forces exercées par l'extérieur sur le point considéré interviennent (si on étudie la Terre, la force qu'elle exerce sur la Lune n'a aucune importance). Ne pas oublier que l'Univers est à trois dimensions et non deux... Ainsi, même si on fait un schéma plan, il faut toujours envisager ce qui se passe dans la direction orthogonale au plan de figure (mouvement ou forces). Le PFD sera donc toujours projeté a priori sur trois vecteurs unitaires, mais dans certains cas on constatera que l'une des projections n'apporte aucune information. Mécanique – Première partie La réaction normale d'un support modélisé par une courbe comporte a priori deux composantes. Par exemple, si c'est une tige assimilée à l'axe (Ox), la réaction normale est définie par deux composantes selon eY et eZ : il est hors de question de « deviner » que l'une de ces composantes est nulle, il faut la déterminer avec le PFD... et voir si elle est vraiment nulle ! L'autre erreur classique sur la réaction est l'affirmation systématique selon laquelle « elle compense le poids »... Ces deux forces ont des origines totalement indépendantes, et elles ne s'annulent que dans le cas particulier où le support est horizontal, sans frottement, immobile dans un référentiel galiléen et en l'absence d'autre force verticale : autant oublier ce pseudothéorème ! Savez-vous votre cours ? Lorsque vous avez étudié votre cours, vous devez pouvoir répondre rapidement aux questions suivantes : Définir un référentiel galiléen (ou une formulation équivalent : comment caractériser un référentiel galiléen ?) Enoncer les trois lois de Newton. Enoncer le principe d’inertie. Pourquoi a-t-il été aussi difficile à découvrir ? Enoncer la relation fondamentale de la dynamique pour un point matériel dans un référentiel galiléen. Définir la force de gravitation et la force d'interaction électrostatique. Définir la force qu'exerce le ressort sur une masse ponctuelle. Applications du cours Application 1 : chute libre Un projectile de masse m, assimilable à un point matériel M, est lancé depuis un point O du sol avec une vitesse initiale v0 dans le plan (Oxy) et formant avec l'axe horizontal (Ox) un angle α ; (Oy) est l'axe vertical ascendant. On cherche à déterminer le mouvement de M dans le référentiel terrestre R supposé galiléen, en supposant qu'il est soumis uniquement à son poids. 1°) Etablir l’expression du vecteur accélération de M. 2°) Exploiter la relation précédente, de manière à trouver les équations horaires x(t), y(t), z(t). 3°) En déduire l’équation de la trajectoire. 4°) Quelle est l’altitude maximale h que peut atteindre le point matériel M ? Pour quelle valeur de α, h est-elle maximale ? 5°) Quelle est l’abscisse du point M lorsque le projectile touche le sol ? Cette abscisse est nommée portée du tir ; pour quelle valeur de α est-elle maximale ? Application 2 : chute avec résistance de l’air On reprend la situation présentée dans l’application 1 mais cette foison suppose que l’air exerce une force de frottement Ff h.v (M ) . 1°) Etablir l’expression du vecteur accélération de M. 2°) En intégrant la relation vectorielle précédente, établir l’expression du vecteur vitesse v ( M ) et cette de la vitesse limite atteinte par la bille. 3°) En intégrant la relation vectorielle précédente, établir l’expression du vecteur position OM et cette de la vitesse limite atteinte par la bille. Mécanique – Première partie Application 3 : masse accrochée à un ressort horizontal Une masse m, assimilée à un point matériel M, est accrochée à une extrémité d'un ressort (k, l0), dont l'autre extrémité est fixée au point O. Cette masse est astreinte à coulisser sans frottements le long d'une tige horizontale, prise comme axe (Ox), la verticale ascendante étant (Oz). Les conditions initiales sont : position OM 0 x 0 eX , vitesse v0 v0 eX . 1°) Illustrer la situation décrite dans le texte précédent par un schéma. 2°) Réaliser le bilan des forces qui s’exercent sur le point matériel. 3°) En utilisant le principe fondamental de la dynamique, montrer que la réaction de l’axe sur le point k k matériel a pour expression R mgeZ et que x x l0 . m m 4°) En déduire une expression de x en fonction du temps. 5°) x peut également s’écrire sous la forme x C.cos(0t 0 ) l0 ; exprimer C et ω0 en fonction des conditions initiales. 6°) Quelle est la période propre des oscillations du point M ? Exercices Exercice 1 : Temps de transit d’une goutte d’eau dans l’atmosphère Une goutte d'eau sphérique de rayon a, indéformable et de masse volumique p, tombe dans le champ de pesanteur uniforme g suivant un axe vertical Oz dirigé vers la bas. L'atmosphère exerce sur la goutte av une force dite de traînée, opposée à la vitesse, et qui s'exprime par la relation F 6 . On l 1 a négligera la poussée d'Archimède de l'air. 1. Exprimer la vitesse limite de chute de la goutte que l'on notera vlim . 2. On donne ρ = l,0.103 kg.m-3, l = 0,07 µm et η = l,7.10-5 N.s.m2. Calculer Vlim pour a = a1 = 0,010 mm puis pour a = a2 = 0,10 mm. 3. L'atmosphère est modélisée par une couche uniforme de hauteur 8,0 km. En utilisant les résultats précédents, calculer le temps de transit de gouttes d'eau partant du haut de l'atmosphère et de rayons respectifs a1 et a2. 4. Quel serait le temps de transit dans l'atmosphère de bulles de rayon a2 et d'épaisseur e = 0,l0.a2 ? Exercice 2 : Descente à ski Madame Michu descend une piste à ski, selon la ligne de plus grande pente faisant l'angle α avec l'horizontale. L'air exerce une force de frottement supposée de la forme F .v , où λ est un coefficient constant positif et v la vitesse de la skieuse. On note T et N les composantes tangentielle et normale de la réaction exercée par la neige, et f le coefficient de frottement solide tel que T f . N . On choisit comme origine de l'axe (Ox) de la ligne de plus grande pente la position initiale de la skieuse, supposée partir à l'instant initial avec une vitesse négligeable. On note (Ox) la normale à la piste dirigée vers le haut. 1. Calculer les normes de T et N . 2. Calculer la vitesse et la position de la skieuse à chaque instant. 3. Montrer qu'elle atteint une vitesse limite vl. Application numérique : calculer vl avec λ = l,0 kg.s-1, m = 80 kg, α = 45° et f = 0.90. 4. Calculer littéralement et numériquement la date t1 où la skieuse a une vitesse égale à vl/2. 5. À la date t1, Madame Michu tombe. On néglige alors la résistance de l'air, et on considère que le coefficient de frottement sur le sol est multiplié par 10. Calculer la distance parcourue par Madame Michu, dans cette position peu glorieuse, avant de s'arrêter. Mécanique – Première partie Exercice 3 : Anneau sur un support circulaire Un petit anneau, assimilé à un point matériel M de masse m, est astreint à coulisser sans frottement le long d'une tige circulaire de centre O et de rayon r, située dans le plan vertical (Oxy). La position de M sera repérée par l'angle 0 entre (Ox) et OM. À la date t = 0, on lâche M sans vitesse initiale d'un angle θ0. 1. Appliquer la deuxième loi de Newton et la projeter dans la base cylindrique. 2. a) Établir une expression de 2 en fonction de θ, en intégrant l'une de ces projections (que l'on pourra d'abord multiplier par ). b) En déduire l'expression de la réaction du support en fonction de θ et des données du problème. c) A quel instant du mouvement la norme de cette réaction est-elle maximale ? 3) On suppose que l'angle θ reste petit au cours du mouvement. Établir l'équation différentielle vérifiée par θ. Donner l’expression de θ(t). Exercice 4 : Oscillations verticales On considère une masse m suspendue à un ressort vertical idéal, de masse négligeable et de raideur k. L'extrémité supérieure du ressort est fixe et attachée au point O. On utilise l'axe (Ox), vertical et dirigé vers le bas pour repérer la position de l'extrémité libre du ressort par son abscisse x. Soit x0 la longueur à vide du ressort et xeq sa longueur lorsque la masse m est accrochée à l'extrémité inférieure du ressort et est à l'équilibre. 1. Exprimer xeq en fonction de m, g, k et x0. 2. Déterminer l'équation différentielle vérifiée par x lorsque la masse est en mouvement. 3. A l'instant t = 0 , la masse m est dans une position telle que la longueur du ressort est égale à xeq. On lui communique alors une vitesse v0 verticale et dirigée vers le bas. a) Déterminer l'expression de x(t) en fonction des données du problème. b) Exprimer la période T0 des oscillations.
