TD M2 : Prévoir le mouvement d`un point matériel - PCSI

Mécanique – Première partie
TD M2 : Prévoir le mouvement d’un point matériel
But du chapitre
Prévoir le mouvement d’un point matériel à partir de ses causes.
Plan prévisionnel du chapitre
M2 : Prévoir le mouvement d’un point matériel
I / Masse d’un corps
II / Interactions et lois de Newton
III / Exemples de forces usuelles
1°)Qu’est ce qu’une force ?
2°)Quelles sont les propriétés d’une force ?
3°) Exemples
IV / Référentiels galiléens et principe d’inertie (1ère loi de Newton)
1°) Enoncé du principe d'inertie
2°) Définition pratique des référentiels galiléens
3°) Relativité galiléenne
IV / Relation fondamentale de la dynamique (2ème loi de Newton)
1°) Enoncé
2°) Comment appliquer la seconde loi de Newton ?
V/ Principe des actions réciproques (ou principe action/réaction ou 3ème loi de Newton)
Savoirs et savoir-faire
Ce qu’il faut savoir :
 Connaître les notions de point matériel, de masse, de force de quantité de mouvement.
 Énoncer les 3 lois de Newton en expliquant leur rôle (définition d'un référentiel galiléen,
lien entre forces et mouvement, lien entre action et réaction).
 Connaître les caractéristiques de quelques forces usuelles : poids, réaction d’un support,
tension d’un ressort ou d’un fil inextensible, force de frottement fluide.
Ce qu’il faut savoir faire :
 Faire l’inventaire des forces s’exerçant sur un point matériel et donner des informations sur
leurs composantes.
 Appliquer la deuxième loi de Newton afin d’obtenir les équations du mouvement.
 Exploiter les équations du mouvement pour en déduire les équations horaires ou la valeur
d’une force.
Erreurs à éviter/ conseils :
 II faut un référentiel galiléen pour appliquer le PFD : ce sera toujours le cas dans ce
chapitre, mais ne pas oublier de le préciser systématiquement.
 La troisième loi peut sembler surprenante (la Lune et la Terre exercent Tune sur l'autre une
force de même intensité), mais dans un inventaire de forces, seules les forces exercées par
l'extérieur sur le point considéré interviennent (si on étudie la Terre, la force qu'elle exerce
sur la Lune n'a aucune importance).
 Ne pas oublier que l'Univers est à trois dimensions et non deux... Ainsi, même si on fait un
schéma plan, il faut toujours envisager ce qui se passe dans la direction orthogonale au plan de
figure (mouvement ou forces). Le PFD sera donc toujours projeté a priori sur trois vecteurs
unitaires, mais dans certains cas on constatera que l'une des projections n'apporte aucune
information.

Mécanique – Première partie
 La réaction normale d'un support modélisé par une courbe comporte a priori deux
composantes. Par exemple, si c'est une tige assimilée à l'axe (Ox), la réaction normale est
définie par deux composantes selon
Y
e
et
Z
e
: il est hors de question de « deviner » que
l'une de ces composantes est nulle, il faut la déterminer avec le PFD... et voir si elle est
vraiment nulle !
 L'autre erreur classique sur la réaction est l'affirmation systématique selon laquelle « elle
compense le poids »... Ces deux forces ont des origines totalement indépendantes, et elles ne
s'annulent que dans le cas particulier où le support est horizontal, sans frottement, immobile
dans un référentiel galiléen et en l'absence d'autre force verticale : autant oublier ce pseudo-
théorème !
Savez-vous votre cours ?
Lorsque vous avez étudié votre cours, vous devez pouvoir répondre rapidement aux questions
suivantes :
 Définir un référentiel galiléen (ou une formulation équivalent : comment caractériser un
référentiel galiléen ?)
 Enoncer les trois lois de Newton.
 Enoncer le principe d’inertie. Pourquoi a-t-il été aussi difficile à découvrir ?
 Enoncer la relation fondamentale de la dynamique pour un point matériel dans un référentiel
galiléen.
 Définir la force de gravitation et la force d'interaction électrostatique.
 Définir la force qu'exerce le ressort sur une masse ponctuelle.
Applications du cours
Application 1 : chute libre
Un projectile de masse m, assimilable à un point matériel M, est lancé depuis un point O du sol avec une
vitesse initiale
0
v
dans le plan (Oxy) et formant avec l'axe horizontal (Ox) un angle α ; (Oy) est l'axe
vertical ascendant. On cherche à déterminer le mouvement de M dans le référentiel terrestre R supposé
galiléen, en supposant qu'il est soumis uniquement à son poids.
1°) Etablir l’expression du vecteur accélération de M.
2°) Exploiter la relation précédente, de manière à trouver les équations horaires x(t), y(t), z(t).
3°) En déduire l’équation de la trajectoire.
4°) Quelle est l’altitude maximale h que peut atteindre le point matériel M ? Pour quelle valeur de α,
h est-elle maximale ?
5°) Quelle est l’abscisse du point M lorsque le projectile touche le sol ? Cette abscisse est nommée
portée du tir ; pour quelle valeur de α est-elle maximale ?
Application 2 : chute avec résistance de l’air
On reprend la situation présentée dans l’application 1 mais cette foison suppose que l’air exerce une
force de frottement
. ( )
f
F hv M
.
1°) Etablir l’expression du vecteur accélération de M.
2°) En intégrant la relation vectorielle précédente, établir l’expression du vecteur vitesse
()vM
et cette de la vitesse limite atteinte par la bille.
3°) En intégrant la relation vectorielle précédente, établir l’expression du vecteur position
OM
et cette de la vitesse limite atteinte par la bille.

Mécanique – Première partie
Application 3 : masse accrochée à un ressort horizontal
Une masse m, assimilée à un point matériel M, est accrochée à une extrémité d'un ressort (k, l0), dont
l'autre extrémité est fixée au point O. Cette masse est astreinte à coulisser sans frottements le long d'une
tige horizontale, prise comme axe (Ox), la verticale ascendante étant (Oz). Les conditions initiales sont
: position
00X
OM x e
, vitesse
00X
v v e
.
1°) Illustrer la situation décrite dans le texte précédent par un schéma.
2°) Réaliser le bilan des forces qui s’exercent sur le point matériel.
3°) En utilisant le principe fondamental de la dynamique, montrer que la réaction de l’axe sur le point
matériel a pour expression
Z
R mge
et que
0
kk
x x l
mm
.
4°) En déduire une expression de x en fonction du temps.
5°) x peut également s’écrire sous la forme
0 0 0
.cos( )x C t l
; exprimer C et ω0 en fonction des
conditions initiales.
6°) Quelle est la période propre des oscillations du point M ?
Exercices
Exercice 1 : Temps de transit d’une goutte d’eau dans l’atmosphère
Une goutte d'eau sphérique de rayon a, indéformable et de masse volumique p, tombe dans le champ de
pesanteur uniforme
g
suivant un axe vertical Oz dirigé vers la bas. L'atmosphère exerce sur la goutte
une force dite de traînée, opposée à la vitesse, et qui s'exprime par la relation
61
av
Fl
a
. On
négligera la poussée d'Archimède de l'air.
1. Exprimer la vitesse limite de chute de la goutte que l'on notera
lim
v
.
2. On donne ρ = l,0.103 kg.m-3, l = 0,07 µm et η = l,7.10-5 N.s.m2.
Calculer Vlim pour a = a1 = 0,010 mm puis pour a = a2 = 0,10 mm.
3. L'atmosphère est modélisée par une couche uniforme de hauteur 8,0 km. En utilisant les
résultats précédents, calculer le temps de transit de gouttes d'eau partant du haut de
l'atmosphère et de rayons respectifs a1 et a2.
4. Quel serait le temps de transit dans l'atmosphère de bulles de rayon a2 et d'épaisseur
e = 0,l0.a2 ?
Exercice 2 : Descente à ski
Madame Michu descend une piste à ski, selon la ligne de plus grande pente faisant l'angle α avec
l'horizontale. L'air exerce une force de frottement supposée de la forme
.Fv
, où λ est un
coefficient constant positif et
v
la vitesse de la skieuse.
On note
T
et
N
les composantes tangentielle et normale de la réaction exercée par la neige, et f le
coefficient de frottement solide tel que
.T f N
.
On choisit comme origine de l'axe (Ox) de la ligne de plus grande pente la position initiale de la skieuse,
supposée partir à l'instant initial avec une vitesse négligeable. On note (Ox) la normale à la piste dirigée
vers le haut.
1. Calculer les normes de
T
et
N
.
2. Calculer la vitesse et la position de la skieuse à chaque instant.
3. Montrer qu'elle atteint une vitesse limite vl. Application numérique : calculer vl avec λ = l,0
kg.s-1, m = 80 kg, α = 45° et f = 0.90.
4. Calculer littéralement et numériquement la date t1 où la skieuse a une vitesse égale à vl/2.
5. À la date t1, Madame Michu tombe. On néglige alors la résistance de l'air, et on considère que le
coefficient de frottement sur le sol est multiplié par 10. Calculer la distance parcourue par Madame
Michu, dans cette position peu glorieuse, avant de s'arrêter.

Mécanique – Première partie
Exercice 3 : Anneau sur un support circulaire
Un petit anneau, assimilé à un point matériel M de
masse m, est astreint à coulisser sans frottement le long
d'une tige circulaire de centre O et de rayon r, située
dans le plan vertical (Oxy). La position de M sera
repérée par l'angle 0 entre (Ox) et OM. À la date t
= 0, on lâche M sans vitesse initiale d'un angle θ0.
1. Appliquer la deuxième loi de Newton et la projeter dans la base cylindrique.
2. a) Établir une expression de
2
en fonction de θ, en intégrant l'une de ces projections (que
l'on pourra d'abord multiplier par ).
b) En déduire l'expression de la réaction du support en fonction de θ et des données du
problème.
c) A quel instant du mouvement la norme de cette réaction est-elle maximale ?
3) On suppose que l'angle θ reste petit au cours du mouvement.
Établir l'équation différentielle vérifiée par θ. Donner l’expression de θ(t).
Exercice 4 : Oscillations verticales
On considère une masse m suspendue à un ressort vertical idéal, de masse négligeable et de raideur k.
L'extrémité supérieure du ressort est fixe et attachée au point O. On utilise l'axe (Ox), vertical et dirigé
vers le bas pour repérer la position de l'extrémité libre du ressort par son abscisse x. Soit x0 la
longueur à vide du ressort et xeq sa longueur lorsque la masse m est accrochée à l'extrémité inférieure
du ressort et est à l'équilibre.
1. Exprimer xeq en fonction de m, g, k et x0.
2. Déterminer l'équation différentielle vérifiée par x lorsque la masse est en mouvement.
3. A l'instant t = 0 , la masse m est dans une position telle que la longueur du ressort est égale à
xeq. On lui communique alors une vitesse v0 verticale et dirigée vers le bas.
a) Déterminer l'expression de x(t) en fonction des données du problème.
b) Exprimer la période T0 des oscillations.