Lit arret relation

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Février 2007
Extrait (en italique) d’un bulletin d’information technique de la direction du laboratoire des chaussées
(Vol 3, n°1, Janvier 1998)
Etat des connaissances : Un lit d’arrêt est un coussin de sable ou de gravier dans lequel les véhicules peuvent
s’enliser en cas d’urgence. L’énergie cinétique du véhicule est absorbée par la gravité, par le frottement.
Calcul de la distance d’arrêt : La distance d’arrêt se calcule au moyen de la formule suivante qui parait dans la
norme sur les dispositifs de retenue (Ouvrages routiers, Tome III- Construction routière chapitre 7) :
L = V2 / [255*(r +p)]
où : L représente la distance d’arrêt (mètres)
V représente la vitesse instantanée du véhicule (km/h)
p représente la pente du lit exprimée en décimales
r représente le facteur de résistance au roulement
Les facteurs de résistance au roulement de différents matériaux sont regroupés
dans le tableau :
Béton de ciment
0,01
Enrobé
Sable
Gravier rond
0,012
0,15
0,25
Le but de cet exercice est de retrouver l’expression de la distance d’arrêt citée dans le bulletin d’information
ci-dessus et de comparer les distances d’arrêt suivant la constitution du lit d’arrêt.
( / 20)
Que peut faire un camion en pleine descente lorsqu’il n’a plus de frein ? Afin d’éviter des accidents graves, il est
prévu à certains endroits des voies de dégagement (de détresse) appelées aussi lit d’arrêt prévu, comme son nom
l’indique, pour que le camion puisse s’arrêter.
Le dessin ci-dessous représente schématiquement ce type de dispositif (zone en damier).
L
B
B
A
A
Vue de profil
H
H
Vue de dessus
Dessin 1
Dessin 2
Plutôt que de rater le virage, le camion peut alors emprunter, en roue libre, cette piste spéciale constituée d’un
matériau (sable ou gravier). Ce lit d’arrêt n’est pas généralement horizontal mais pentu.
La pente du lit notée p est définie par la relation : p = BH / AB = BH / L
La pente p est exprimée en décimale : exemple une pente de 12 % a pour valeur p = 12/100 = 0,12
On considérera que :
- l’intensité de pesanteur a pour valeur g = 9,8 N/kg
- l’action de l’air est négligeable devant les autres.
- Le camion est assimilable à un rectangle glissant sur la pente AB, arrivant en A à la vitesse instantanée v (A).
- Le matériau exerce une force de frottement de valeur (ou intensité) f = P*r , c'est-à-dire proportionnelle au poids
P du véhicule, le coefficient de proportionnalité r étant appelé facteur de résistance au roulement.
Remarque : la question 9 est indépendante des autres !
Lorsque le camion se déplace sur le lit d’arrêt :
1) Réaliser un diagramme d’interaction pour le système {camion}. (0,5)
2) Représenter qualitativement les vecteurs forces exercés sur le rectangle symbolisant le camion dans le cas d’un
lit d’arrêt constitué de gravier rond. Le vecteur poids sera représenté par une longueur de 4,0 cm.
On argumentera en énonçant la loi utilisée ici et en réalisant une représentation graphique des vecteurs
nécessaires sur le dessin 2 dans ce cas. (3)
3) Réaliser un diagramme de transfert d’énergie :
a) pour le système {camion} (1)
b) pour le système {camion en interaction avec la terre} (1)
4) a) Déterminer le travail du poids en fonction de m la masse du véhicule, de L la distance parcourue sur le lit
d’arrêt et p la pente. On argumentera. (1,5) Ce travail est il moteur ou résistant ? On argumentera. (0,5)
b) Déterminer la variation d’énergie potentielle de pesanteur en fonction de m la masse du véhicule, de L la
distance parcourue sur le lit d’arrêt et p la pente.
On prendra la référence des altitudes en A soit z (A) = 0 m.
(1,5)
Cette variation est elle positive ou négative ? (0,5)
5) a) Déterminer le travail de la force exercée par le sol (sachant que le véhicule ne s’y enfonce pas) en fonction de
m la masse du véhicule, de L la distance parcourue sur le lit d’arrêt et de r le facteur de résistance au
roulement. On argumentera. (1,5)
b) Ce travail est il moteur ou résistant ? On argumentera. (0,5)
6) En appliquant le théorème de votre choix (à énoncer), donner la relation reliant la distance parcourue L en
fonction de la vitesse d’entrée sur la piste d’arrêt au point A : v (A), de l’intensité de pesanteur g, de la pente p
et de r le facteur de résistance au roulement. (2,5)
7) Quelle relation existe il entre la vitesse v (A) du camion exprimée en m/s et V(A) la vitesse du camion en km/h?
(1)
8) Montrer alors que l’expression de la valeur de L est bien celle donnée dans le bulletin d’information technique.
(1,5)
9) En utilisant l’expression de la valeur de L, en fonction de V(A), r et p, expression donnée dans le bulletin
d’information technique, sachant que la vitesse du camion à l’entrée de la piste est V(A) = 70 km/h,
répondre aux questions suivantes :
a) La distance d’arrêt du camion dépend elle de la masse de celui-ci ? (0,5)
b) Quelle est la distance d’arrêt d’un camion de 30 tonnes sur un lit d’arrêt constitué de sable, de pente 12% ?
(1)
c) Quel est le matériau, cité dans le tableau, sur une pente de 12% qui permet d’obtenir la distance d’arrêt la
plus courte pour un camion de 30 tonnes ? Argumenter.
(1)
d) Quelle est la distance d’arrêt d’un camion de 30 tonnes sur un lit d’arrêt horizontal constitué de sable ? (1)
Correction : analyse d’un bulletin d’information technique de la direction du laboratoire des chaussées ( / 20) 30 mn
Lorsque le camion se déplace sur le lit d’arrêt :
1) Réaliser un diagramme d’interaction pour le système {camion}. (0,5)
camion
sol
terre
2) Représenter les vecteurs forces exercés sur le rectangle symbolisant le camion. (2)
f
Résultante portée par la direction du plan sens opposé au mouvement,
p vertical, F sol/camion avec composante tangentielle non nulle car frottement et dirigée dans le sens contraire du mouvement.
Enoncé 2 ème loi de Newton
Direction et sens du mvt
F résult/r
F sol/ camion
F sol/ camion
F normale sol/ c
F T/r = P
F sol/ camion
F tangentielle sol/ w = f
avec f = 0,25 P
B
F sol/ camion
Ec (A)
A
H
montée
montée
L
Ec (B)
Ec (A)
W F sol/c
WP
W F sol/c
Sol
terre
Epp(B)
Ec (B)
Sol
Epp(A)
F T/r = P
3) Réaliser un diagramme de transfert d’énergie
a) pour le système {camion} (1,5)
b) pour le système {camion en interaction avec la terre} (1,5)
4) a) Déterminer le travail du poids en fonction de m la masse du véhicule, de L la distance parcourue sur le lit d’arrêt et p la pente. On
argumentera. (1,5) Ce travail est il moteur ou résistant ? On argumentera. (0,5)
Wp (A→B) = - P * BH = - P*L*p (0,5) puisque p = BH / L (0,5), ce travail ne dépend pas du chemin suivi mais que de la
différence d’altitude (0,5). Ce travail est résistant car l’altitude du camion augmente (0,5)
4) b) Déterminer la variation d’énergie potentielle de pesanteur en fonction de m la masse du véhicule, de L la distance parcourue sur
le lit d’arrêt et p la pente. On argumentera. (1,5) Cette variation est elle positive ou négative ? (0,5)
Epp = Epp(B) –Epp(A) = mgz(B) – mgz(A) = mgz(B) (0,5) si on prend z(A) = 0m (0,5)
Epp = mgz(B) = mg* BH = P*L*p (0,5) puisque p = BH / L . Cette variation est positive (0,5).
5) Déterminer le travail de la force exercée par le sol (sachant que le véhicule ne s’y enfonce pas) en fonction de m la masse du véhicule,
de L la distance parcourue sur le lit d’arrêt et de p le facteur de résistance au roulement. (2)
W F sol/c (A→B) = W f/c (A→B) En effet, seule la composante de la force exercée par le sol suivant la direction du mvt intervient
dans le calcul du travail (0,5). W f/c (A→B) = - f * L (0,5) = - P*r*L (0,5) car la force de frottement f est proportionnelle au poids
P du véhicule, le coefficient de proportionnalité étant noté r. Travail résistant car le sens de f est opposé à celui du mvt. (0,5)
6) a) En appliquant le théorème de l’énergie cinétique, relation reliant L en fonction de v (A), de p et de r . (2,5)
La variation d’énergie cinétique entre le point A et B est égale à la somme des travaux des forces ext exercées sur le camion (0,5) :
Ec (B) – Ec (A) = - P*L*p - P*r*L (0,5) or Ec (B) = 0J puisque le camion s’arrête en B (0,5), d’où - 1/2 m v(A)2 =- P*L*p - P*r*L
en effet v(B) =0 m/s puisque le camion s’arrête
soit 1/2 m v(A)2 = mg*L (p + r) (0,5) ce qui conduit à : L = 1/2 v(A)2 / g(p + r) = v(A)2 /[ 2g(r +p)] (0,5)
6) a) En appliquant le théorème de l’énergie mécanique. (2,5) énoncé ; voir cours (0,5) :
Ec (B) + Epp (B) – Ec (A) -+ Epp (A) = W f/c (A→B) (0,5) soit + P*L*p - 1/2 m v(A)2 = - P*r*L (0,5)
soit 1/2 m v(A)2 = mg*L (p + r) (0,5) ce qui conduit à : L = 1/2 v(A)2 / g(p + r) = v(A)2 /[ 2g(r +p)] (0,5)
7) Relation entre la vitesse v (A) du camion exprimée en m/s et V(A) en km/h? (1) v (A) = V(A) /3,6
8) Montrer alors que l’expression de la valeur de L est bien celle donnée dans le bulletin d’information technique. (1,5)
v (A) ² = V(A)² / 3,6² = V(A)² / 13 alors L = V(A)2 /[ 26 g(r +p)] = V(A)2 /[ 26*9.8(r +p)] soit L = = V(A)2 /[ 255(r +p)]
9) En utilisant l’expression de la valeur de L, en fonction de V(A), r et p, expression donnée dans le bulletin d’information technique,
sachant que la vitesse du camion à l’entrée de la piste est V(A) = 70 km/h, répondre aux questions suivantes :
a) La distance d’arrêt du camion dépend elle de sa masse ? (0,5) L = V(A)2 /[ 255(r +p)] expression indépendante de la masse m
b) Distance d’arrêt d’un camion de 30 tonnes sur un lit d’arrêt constitué de sable, de pente 12% ?
(1) L = V(A)2 /[ 255(r +p)] = 70² / [ 255*(0,15+0,12)] = 70²/69 = 71 m
Remarque : Distance d’arrêt d’un camion de 30 tonnes sur un lit d’arrêt constitué de gravier rond, de pente 12% ? (1)
L = 70² / [ 255*(0,25+0,12)] = 70²/94 = 52 m
c) matériau, cité dans le tableau, sur une pente de 12% qui permet d’obtenir la distance d’arrêt la plus courte pour un camion
de 30 tonnes Argumenter. gravier rond puisque L diminue quand p augmente (1)
Béton de ciment
0,01
d) Distance d’arrêt d’un camion de 30 tonnes sur un lit d’arrêt horizontal constitué de sable ? (1)
2
2
Enrobé
0,012
L = V(A) / [ 255 r ] = 70² / [ 255*0,15] = 70²/38 = 1,3 *10 m soit voisin de 130 m
Sable
Gravier rond
0,15
0,25