Les transformations du plan Arbre des transformations 1) Définition Une isométrie est une transformation qui conserve la forme et la taille de la figure. Une isométrie peut être décrite par un mouvement : déplacer ou retourner. Dans les déplacements, on trouve les translations, les symétries centrales et les rotations. Dans les retournements, on trouve les symétries orthogonales. 2) Arbre des transformations TRANSFORMER CONSERVER LA FORME DÉFORMER CONSERVER LES MESURES DÉPLACER AGRANDIR / RÉDUIRE RETOURNER Symétrie orthogonale GLISSER TOURNER Translation Rotation TOURNER D’UN DEMI-TOUR Symétrie centrale Caractéristiques des transformations 1) Translation Définition L’élément caractéristique d’une translation est le vecteur, symbolisé par une flèche, selon lequel on effectue un glissement. Exemple 2) Symétrie orthogonale Définition L’élément caractéristique d’une symétrie orthogonale est la droite autour de laquelle on effectue un retournement, on l’appelle l’axe de la symétrie orthogonale. Exemple 3) Symétrie Centrale Définition L’élément caractéristique d’une symétrie centrale est le point autour duquel on effectue un demi-tour, on l’appelle le centre de la symétrie centrale. Exemple C Construction aux instruments Convention On désigne souvent un point d’une figure par une lettre majuscule (A, B, X, ….) et son image par une transformation par la même majuscule à laquelle on ajoute un « ‘ » (A’, B’, X’, …..). Cela se lit A « prime » est l’image de A, B « prime » est l’image de B … 1) Symétrie orthogonale Construction de l’image d’un point X par une symétrie orthogonale d’axe a. Définition X’ est l’image de X par la symétrie orthogonale d’axe a si a est la médiatrice de [𝑋𝑋′]. Méthode Pour construire l’image d’un polygone, il suffit de construire l’image de ses sommets puis de relier les images entre elles, dans le même ordre que la figure de départ. 2) Symétrie centrale Construction de l’image d’un point X par une symétrie centrale de centre C. Définition X’ est l’image de X par la symétrie centrale de centre C si C est le milieu de [𝑋𝑋′]. Méthode Pour construire l’image d’un polygone, il suffit de construire l’image de ses sommets puis de relier les images entre elles, dans le même ordre que la figure de départ 3) Translation Construction de l’image d’un point X par une translation de vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 Définition ⃗⃗⃗⃗⃗ si XX’ est parallèle à AB, X’ est l’image de X par le translation de vecteur 𝐴𝐵 𝑋𝑋′= 𝐴𝐵 et [𝑋𝑋′ dans le même sens que [𝐴𝐵. Méthode Pour construire l’image d’un polygone, il suffit de construire l’image de ses sommets puis de relier les images entre elles dans le même ordre que al figure de départ. Découverte des invariants Les isométries conservent : - l’alignement des points, c’est-à-dire que les images par une isométrie de trois points alignés, sont trois points alignés ; - le parallélisme des droites, c’est-à-dire que les images de deux droites parallèles par une isométrie sont deux droites parallèles ; - l’amplitude des angles (et donc la perpendicularité des droites), c’est-à-dire que l’image d’un angle par une isométrie est un angle de la même amplitude ; - les longueurs des segments, c’est-à-dire que l’image d’un segment par une isométrie est un segment de même longueur.