506 : 1 h Devoir surveillé n° 1 Mercredi 1 octobre 2008 Simplifier les

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506 : 1 h
Mercredi 1 octobre 2008
Devoir surveillé n° 1
1 Simplifier les réels suivants et préciser ceux qui sont entiers, décimaux ou rationnel.
(On donnera tous les calculs sur la copie)
Corrigé
B = = Error! –
A = Error!
Error!  Error! + C = Error!
F = Error!  Error!
E = ( 2 – 1)2 + ( 2 + 1)2
Error!
2 1° Décomposer 1 512 et 1 050 en produit de nombres premiers :
Corrigé
2° Utiliser ces décompositions pour répondre aux questions suivantes.
a) Calculer le PGCD de 1 512 et 1 050.
b) Ecrire Error! sous forme de fraction irréductible.
c) Démontrer que Error! est un entier naturel.
3 On considère les nombres : A = 45 + 2 20 + 2 5 et B = 125 – 2 5
Montrer que Error! est un nombre entier.
Corrigé
4 1° Donner tous les nombres premiers inférieur à 30.
2° Démontrer que 269 est un nombre premier.
Corrigé
5 Soit ABC un triangle de côtés AB = 3 + 3, AC = 3 – 3 et BC = 2 6
1° Démontrer que le triangle ABC est-rectangle.
2° Calculer son aire.
Corrigé
Corrigé
6 Calculer BC, ED et AE.
1
1
2
1 Simplifier les réels suivants et préciser ceux qui sont entiers, décimaux ou rationnel.
(On donnera tous les calculs sur la copie)
A = Error! = Error! = Error! = Error!  Error! = Error! qui est un rationnel.
B = Error! – Error!  Error! + Error! = Error! – Error! + Error! = Error! – Error! + Error! = Error! =
Error! = Error! qui est un décimal.
C = Error! = Error! = Error! = Error! = Error! qui est un rationnel.
E = ( 2 – 1)2 + ( 2 + 1)2 = 2 – 2 2 + 1 + 2 + 2 2 + 1 = 6 qui est un entier naturel.
F = Error!  Error!= Error! = Error! = Error! = Error! = Error! qui est un décimal.
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2 1° Décomposer 1 512 et 1 050 en produit de nombres premiers :
1 512 22
378 2
189 3
1 050 2
2
525 3
175 52
21 3
7 7
1
7 7
donc 1512 = 23  33  7
1
donc 1 050 = 2  3  52  7
2° Utiliser ces décompositions pour répondre aux questions suivantes. a) Calculer le PGCD de 1 512 et 1 050.
PGCD(1 512, 1 050) = 2  3  7
b) Ecrire Error! sous forme de fraction irréductible.
Error! = Error! = Error!
c) Démontrer que Error! est un entier naturel.
Error! = Error! = Error! = 22  32  7  5 = 1 260
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3 On considère les nombres : A = 45 + 2 20 + 5 et B = 125 – 2 5 Montrer que
Error! est un nombre entier.
A = 45 + 2 20 + 5 = 3 5 + 2  2 5 + 2 5 = (3 + 4 + 2) 5 = 9 5
et B = 125 – 2 5 = 5 5 – 2 5 = 3 5
Error! = Error! = 3  Error!
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4 1° Donner tous les nombres premiers inférieur à 30.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
2° Démontrer que 269 est un nombre premier.
269  16, on doit donc vérifier que 269 n’est pas divisible par 2, 3, 7, 11, 13
2 + 6 + 9 = 17 donc 269 n’est pas divisible par 3
269 ne termine pas par 5 donc 269 n’est pas divisible par 5
Error! 38,4 Error! 24,5 Error!  20,7
5 Soit ABC un triangle de côtés AB = 3 + 3, AC = 3 – 3 et BC = 2 6 1° Démontrer que le triangle ABC est-rectangle.
AB2 = (3 + 3)2 = 9 + 6 3 + 3 = 12 + 6 3, AC2 = (3 – 3)2 = 9 – 6 3 + 3 = 12 – 6 3 et BC2 = 4  6 = 24
On a donc AB2 + BC2 = 12 + 6 3 + 12 – 6 3 = 24 = BC2
2° Calculer son aire.
A = Error! AB  AC = Error! (3 + Error!) (3 – Error!) = Error! (9 – 3) = Error!  6 = 3
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6 Calculer BC, ED et AE.
1
1
2
Dans le triangle ABC, rectangle en A, d’après le théorème de Pythagore on a : BC = 22 + 12 = 5
C, A et E sont alignés, C, B et D sont alignés et les droites (AB) et (ED) sont parallèles
On peut donc appliquer le théorème de Thalès :
Error! = Error! donc Error! = Error! donc ED = Error! = Error!
Error! = Error! donc EC = Error! donc AE = EC – AC = Error! – 1 = Error! = Error! = Error!
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