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Collège Stanislas
Baccalauréat blanc du lundi 15 décembre 2008
Corrigé de l'épreuve de mathématiques.
__________________________________________________________________________________________________
Exercice 1 ( 2 points )
1. On injecte par piqûre intramusculaire une dose de substance médicamenteuse dans le sang à l’instant t  0 .
La substance passe alors progressivement dans le sang. On note Q(t ) la quantité de substance médicamenteuse
encore présente dans le sang t heures après l’injection. Les mesures effectuées conduisent à poser :
Q(t )  6,6 t e t .
Déterminer une équation différentielle du deuxième ordre vérifiée par la fonction Q sur [0 ;+[.
Solution:
Pour tout nombre t de [0 ; +[, Q(t) = 6,6 t e-t , Q'(t) = 6,6(e-t + t(-e-t) = 6,6(1-t)e-t , Q"(t) = 6,6(-e-t-(1-t)e-t) = 6,6(-2+t)e-t .
On a donc: 6,6 t e-t = Q(t) et par suite: Q'(t) = 6,6e-t - 6,6 t e-t = 6,6e-t - Q(t) d'où: Q'(t) + Q(t) = 6,6e-t . On en déduit:
Q"(t) = 6,6(-2)e-t + 6,6 t e-t = -2(Q'(t) + Q(t) ) + Q(t) = -2Q'(t) - Q(t), soit: Q"(t) + 2Q'(t) + Q(t) = 0.
La fonction Q est donc solution sur [0 ; +[ de l'équation différentielle: y" + 2y' + y = 0.
2.
Soit l’équation différentielle ( E ) : y '  2 y  x  1 .
Déterminer g, une fonction polynôme du second degré solution de ( E ) sur Ë .
2
Solution:
La fonction g est définie sur Ë par: g(x) = ax²+bx + c où a, b, c sont des nombres réels avec a  0.
Étant une fonction polynôme elle est dérivable sur Ë et, pour tout réel x, g'(x) = 2ax + b.
g est solution de (E) sur Ë
  x  Ë, g'(x) + 2g(x) = x²+1   x  Ë, 2ax + b + 2(ax²+bx + c) = x²+1
  x  Ë, 2ax² + (2a+2b)x + b+2c = x² + 1
 2a  1

On obtient par identification: 2a  2b  0  a = Error!, b = -Error!, c = Error! et par suite g(x) = Error!x² - Error!
b  2c  1

x + Error!.
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Exercice 2 ( 6 points )
1. Restitution organisée de connaissances
a)
Démontrer qu’un nombre complexe z est imaginaire pur si et seulement si z   z
Solution. Soit z = x + iy un nombre complexe, x = Re(z) et y = Im(z). Le conjugué de z est z = x - iy .
z est un imaginaire pur  Re(z) = 0  x = 0  z = iy  z = -iy  z =-z.
b)
Démontrer qu’un nombre complexe z est réel si et seulement si z  z .
Solution. Soit z = x + iy un nombre complexe, x = Re(z) et y = Im(z). Le conjugué de z est z = x - iy .
z est un réel  Im(z) = 0  y = 0  z = x  z = x  z = z.
c)
Démontrer que pour tout nombre complexe z, on a l’égalité : z z  z .
2
Solution. Soit z = x + iy un nombre complexe, x = Re(z) et y = Im(z). Le conjugué de z est z = x - iy .
On sait que |z|² = Re(z)² + Im(z)² = x² + y² et z z = (x + iy)(x - iy) = x² - (iy)² = x² - i²y² = x² + y².
D'où: z z = |z|² .
 
Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal direct ( O ; u; v ) .
On prendra pour unité graphique 2 cm. La figure sera complétée au fur et à mesure de l’exercice .
Voir la figure à la fin de l'exercice.
Résoudre dans Ê l’équation : ( z  2i)( z  2 z  2)  0 .
Donner les solutions sous forme algébrique et sous forme exponentielle.
Solution.
Solutions sous forme algébrique: (z - 2i)(z² - 2z + 2) = 0  (z - 2i) = 0 ou z² - 2z + 2 = 0.
Pour l'équation z² - 2z + 2 = 0, on a  = -4,  < 0. Cette équation admet deux solutions dans Ê qui sont deux nombres
complexes conjugués: z1 = Error!= 1+i, z2 = 1-i..
On en déduit que l'ensemble solution de l'équation (z - 2i)(z² - 2z + 2) = 0 dans Ê est: S = {2i ; 1+i ; 1-i}.
Solutions sous forme exponentielle:
2
2.
i

i

Comme i = e 2 , alors la solution 2i s'écrit: 2i = 2 e 2 .
Soit z1 = 1 + i, on a: |z1| = 2 et si 1 = arg(z1), cos 1 = Error! et sin 1 = Error!, d'où arg(z1) = Error! (2).
On en déduit que z1 =
i

2e 4 .
Comme 1-i est le conjugué de 1+i, alors 1-i =
2e
i

4
.
L'ensemble solution de l'équation (z - 2i)(z² - 2z + 2) = 0 dans Ê est donc: S = {2 e
3.
Soit A et B les points d’affixes respectives
À tout nombre complexe z différent de
a)
i
z A  1  i et z B  2i .
z A , on associe le complexe z ' 
Soit (E) l’ensemble des points M d’affixe z tels que
;
i

2e 4 ;
2e
i

4
}.
z  2i
.
z 1 i
z '  1 . Déterminer et construire (E).
Solution.
|z'| = 1  z  1+i et |Error!| = 1  z  1+i et Error! = 1  z  1+i et
Il en résulte que (E) est la médiatrice du segment [AB].
Page 2/7

2
|z-2i| = |z-1-i|  M  A et MA = MB.
b)
 z A ) , de forme algébrique z  x  iy , avec x et y réels.
Déterminer en fonction de x et de y , la partie réelle et la partie imaginaire de z ' .
Soit un z nombre complexe z ( z
Solution. z' =
=
x  iy  2i
( x  iy  2i)( x  iy  1  i)
x²  ixy  x  ix  ixy  i² y²  iy  i² y  2ix  2i² y  2i  2i²
=
=
x  iy  1  i ( x  iy  1  i)( x  iy  1  i)
( x  1)²  ( y  1)²
x ²  y ²  x  3 y  2  i( x  y  2)
x²  y ²  x  3 y  2
x  y  2
. On en déduit que Re(z') =
, Im(z') =
( x  1)²  ( y  1)²
( x  1)²  ( y  1)²
( x  1)²  ( y  1)²
c) Soit l’ensemble ( F ) des points M d’affixe z tels que z ' est un réel. Déterminer et construire (F).
Solution.
M  (F)  z  1+i et z' est un réel  z  1+i et Im(z') = 0  z  1+i et -x-y+2 = 0.
-x-y+2 = 0 est l'équation de la droite (AB). (F) est donc la droite (AB) privée du point A.
Figure de l'exercice 2:
Exercice 3 ( 5 points ) (pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)
PARTIE A On définit :  La suite
1
4
(u n ) par : u 0  13 et , pour tout entier naturel n , u n 1  u n 
5
5
n

La suite
( S n ) par : pour tout entier naturel n , S n   u k  u 0  u1  .......  u n
k 0
1.
12
Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n , u n  1  n .
5
Solution: Soit Pn la proposition: un = 1 +
12
5n
qu'on va démontrer par récurrence.
 Initialisation: par hypothèse u0 = 13 et, pour n = 0, 1 +
12
5n
= 13. La propriété est vraie pour n = 0.
 Hérédité: soit n un entier naturel, on suppose que Pn est vraie, c'est-à-dire que un = 1 +
Page 3/7
12
5n
. Par définition de la suite, on a:
un+1 = Error!un + Error! = Error!(1 +
12
12
En déduire la limite de la suite
Solution: (
) + Error! = Error! +
n1
+ Error! = 1 +
12
.
5
5
5n1
Pn+1 est donc aussi vraie et la propriété est héréditaire.
 Conclusion: étant initialisée et héréditaire, la propriété Pn est vraie pour tout entier naturel n.
n
(u n ) .
12
) est une suite géométrique de premier terme 12 et de raison Error!, sa limite est donc 0 car Error! ]-1 ; 1[.
5n
Il en résulte, par addition:
;lim un = 1.
n +
2.
a) Déterminer le sens de variation de la suite
(S n ) .
Solution: Pour tout entier naturel n, Sn+1 - Sn = un+1 = 1 +
donc croissante.
b) Calculer
12
5n1
, donc, Sn+1 - Sn > 0 ce qui donne Sn+1 > Sn . La suite (Sn) est
S n en fonction de n .
1
1  ( ) n1
5
Solution: Sn =
(1  k ) =
1
uk =
k
1
5
5
k 0
k 0
k 0
k 0
1
5
1 n1
1 n1
12
1 n1
(1  ( ) ) = (n+1) + 15  (1  ( ) ) . D'où: Sn = n + 16 - 15 ( )
= (n+1) +
4
5
5
5
5
c) Déterminer la limite de la suite ( S n ) .
n
n


12
n
n
 
12
n

1
= (n+1) + 12 ( ) k = (n+1) + 12
5
k 0
1
Solution: (15 ( ) n1 ) est une suite géométrique de premier terme 15 et de raison Error!, sa limite est donc 0 car Error!
5
]-1 ; 1[.
Il en résulte, par addition:
;lim Sn = +.
n +
PARTIE B Étant donné une suite
définie par S n 
( x n ) de nombres réels, définie pour tout entier naturel n , on considère la suite ( S n )
n
x
k 0
k
.
Indiquer pour chaque proposition suivante si elle est vraie ou fausse : Justifier dans chaque cas .
Proposition 1 : Si la suite ( x n ) est convergente , alors la suite ( S n ) l’est aussi.
Solution: La proposition est fausse.
Contre-exemple: La suite (un) définie dans la partie A est convergente vers 1 alors que la suite (Sn) qui lui est associée est
divergente ayant une limite égale à +.
Proposition 2 : Les suites ( x n ) et ( S n ) ont le même sens de variation.
Solution: La proposition est fausse.
Contre-exemple: La suite (un) définie dans la partie A est décroissante étant une suite géométrique de raison Error! qui
appartient à ]0 ; 1[ alors que la suite (Sn) qui lui est associée est croissante comme on l'a démontré à la partie A, 2 a).
Proposition 3 : Toute suite réelle croissante est convergente .
Solution: La proposition est fausse.
Contre-exemple: La suite (n) des entiers naturels est croissante mais divergente car sa limite est +.
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Exercice III (5 points)
(Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité).
On suppose dans cet exercice que n est un entier naturel et on pose: a = 7n + 8
;
b = 4n + 3.
1.
Démontrer que tout diviseur de commun de a et b est un diviseur de 11.
Quelles sont les valeurs possibles du nombre PGCD(a;b) ?
Solution:
 Soit d un diviseur commun de a et b, d divise toute combinaison linéaire dans Î de a et b, en particulier d divise le
nombre 4a - 7b = 4(7n + 8) - 7(4n + 3) = 11.
 PGCD(a;b) est un entier naturel diviseur commun de a et b, il divise donc 11. Ses valeurs possibles sont donc 1 et 11.
2. a) Résoudre dans β l'équation: (E) 11x - 7y = 8.
Solution:
Solution particulière: une solution particulière de l'équation (E) est: (x0;y0) = ( 9;13).
Solution générale:

Soit (x;y) une solution de (E). On a: 11x - 7y = 8 et, 119 - 713 = 8 puisque (9;13) est une solution particulière de
(E). En soustrayant membre à membre ces deux égalités, on obtient: 11(x-9) - 7(y-13) = 0, ce qui donne:
11(x-9) = 7(y-13) (E').
On en déduit que 7, qui divise 7(y-13), divise 11(x-9). Comme 7 et 11 sont deux nombres premiers distincts, 7est
premier avec 11. On en déduit que 7 divise x-9, d'après le théorème de Gauss. On a donc: x-9= 7k (k  Î), soit x = 7k +9,
kÎ.
En remplaçant dans (E'), x-9 par 7k, on obtient: 117k = 7(y-13) , ce qui donne y-13= 11k et y = 11k + 13.
On en déduit que, si (x;y) est une solution de (E), alors: (x;y) = (7k + 9; 11k + 13), k  Î.

Réciproquement, si (x;y) = (7k + 9; 11k + 13), k  Î., alors:
11x - 7y = 11(7k + 9) - 7(11k + 13) = 8. Donc (x;y) est une solution de (E).

Conclusion: l'ensemble solution de l'équation (E) est: S = {(x;y) = (7k + 9; 11k + 13), k  Î, k  Î}.
b)
En déduire que si a est un multiple de 11, alors il en est de même de b.
Quel est dans ce cas le PGCD des nombres a et b ?
Solution:

Si a est multiple de 11, alors a  0 (11), ce qui donne 7n + 8  0 (11). Le nombre 7n + 8 est donc un multiple de 11 et
s'écrit: 7n + 8 = 11x  11x - 7n = 8.
Le couple (x;n) est donc une solution de l'équation (E) et alors n s'écrit: n = 11k+13.
On en déduit que b = 4n + 3 = 4(11k+13) + 3 = 44k + 55 = 11(4k + 5). b est donc un multiple de 11.
c) Démontrer que si a est un multiple de 11 alors n  2 (11).
Solution:

Si a est multiple de 11, alors n = 11k+13 comme on vient de le voir au b). Il en résulte que n  13  2 (11).
3. a) Soit k un entier naturel non nul premier avec 11.
Démontrer que si ku  kv (11), alors u  v (11).
Solution:
ku  kv (11)  ku - kv  0 (11)  k(u - v)  0 (11). Il en résulte que 11 divise k(u-v). Comme 11 est premier avec k,
alors 11 divise u-v d'après le théorème de Gauss. On en déduit: u - v  0 (11)  u  v (11).
b) En déduire que a  b (11) si et seulement si n  2 (11)
Solution:
a  b (11)  7n + 8  4n + 3 (11)  3n  -5 (11)  3n  6 (11)  3n  32 (11)  n  2 (11)
Car 3 est premier avec 11, parce que ce sont deux nombres premiers distincts, et on applique le résultat du a).
Page 5/7
Exercice IV (7 points)
Partie A
Soit la fonction  définie sur Ë par: (x) =
e2 x  1
(e x  1) 2
1. Démontrer que pour tout réel x, (x) = 1 -
.
2e x
(e x  1) 2
.
Solution:
1-
2e x
(e  1)
x
2
=
(e x  1)2  2e x
(e  1)
x
2
=
e2 x  2e x  1  2e x
(e  1)
x
2
=
e2 x  1
(e x  1) 2
2. En déduire la primitive de la fonction  sur Ë qui prend la valeur 1 en 0.
Solution:
 est continue sur Ë, elle admet donc des primitives sur Ë.
(x) est la somme d'une constante 1 et d'une fonction de la forme -Error!où u(x) = ex+1. Ses primitives sont définies sur Ë
par:
2
(x) = x + Error!+ k , k  Ë  (x) = x + x
+ k , k  Ë.
e 1
2
Comme (0) = 1, on a: 0 + 0
+ k = 1, ce qui donne k = 0.
e 1
2
La primitive  de  qui prend la valeur 1 en 0 est définie sur Ë par: (x) = x + x
.
e 1
Partie B
2
Soit f la fonction définie sur Ë par: f(x) = x + x
, et C sa courbe représentative dans un repère du plan.
e 1
1. Déterminer les limites de la fonction f en - et en +.
Solution:
2

;lim ex = +, d'où
;lim x
= 0. Il en résulte, par addition:
;lim f(x) = +.
x +
x +
x +
e 1
2

;limex = 0, d'où
;lim x
= 2. Il en résulte, par addition:
;limf(x) = -.
x -
x -
x -
e 1
2. a. Calculer, pour tout réel x, f(x) + f(-x).
Solution:
f(x) + f(-x) = x +
2
-x+
2
=
2

2
=
2(e x  1)  2(e x  1)
=
2(e x  e x  2)
=2
ex 1
e  x  1 e x  1 e x  1
(e x  1)(e x  1)
1  e x  e x  1
b. Soit x un réel quelconque, M le point de la courbe C d'abscisse x et M' le point de la courbe C d'abscisse -x.
Démontrer que, lorsque x varie dans Ë, le milieu du segment [MM'] est un point fixe A que l'on déterminera.
On admettra qu’il vient ainsi d’être établi que le point A ( 0;1 ) est centre de symétrie de la courbe C .
Solution:
Le milieu A de [MM'] est défini par: xA = Error!(xM + xM') = Error!(x - x) = 0, yA = Error!(yM + yM') = Error!(f(x) +
f(-x)) = 1.
Le point A(0 ; 1) est bien un point fixe.
3. Étudier le sens de variation de la fonction f et dresser son tableau de variation.
Solution.
2
La fonction x
est dérivable sur Ë étant le quotient d'une constante et d'une fonction dérivable sur Ë. Il en résulte
x
e 1
que la fonction f est dérivable sur Ë étant la somme de deux fonctions dérivables sur Ë.
Page 6/7
 x  Ë, f '(x) =
e2 x  1
(d'après la partie A), et comme une exponentielle est strictement positive,  x  Ë, f '(x) > 0. La
(e x  1) 2
fonction f est donc strictement croissante sur Ë.
Tableau de variation:
x
-
+
f '(x)
+
f(x)
-
+
4. a. Justifier que l'équation f(x) = 2 admet une solution unique a dans Ë.
Solution
La fonction f est continue sur Ë, étant dérivable sur Ë, elle est strictement croissante sur Ë et l'image par cette fonction de ]-
; +[ est ]- ; +[. Le théorème des valeurs intermédiaires donne que tout réel admet un antécédent par f et un seul.
L'équation f(x) = 2 admet donc une solution unique a dans Ë.
b. Déterminer un encadrement décimal d'amplitude 10-2 de a.
Solution
La calculatrice donne: 1,68  a  1,69.
c. Pour quelle valeur du réel m le nombre -a est-il solution de l'équation f(x) = m ?
Solution
-a est solution de f(x) = m  f(-a) = m
Or le 2. a. montre que f(-a) + f(a) = 2, d'où:
-a est solution de f(x) = m  2 - f(a) = m  m = 0 (car f(a) = 2).
5.
a. Montrer que, pour tout réel x, f(x) = x+2 -
2e x
ex 1
.
Solution
2e x
( x  2)(e x  1)  2e x
xe x  x  2e x  2  2e x
x(e x  1)  2
2
=x+ x
= f(x).
e 1
e 1
ex  1
e 1
e 1
b. Montrer que les droites  et ' d'équations respectives y = x et y = x+2 sont asymptotes à la courbe C.
Solution
2
2

;lim( f(x) - x) =
;lim x
= 0 car
;lim x
= 0.La droite  d'équation y = x est asymptote à C en
x +
x +
x
+
e 1
e 1
+.
x+2 -

x -
x
=
x
;lim( f(x) - x-2) =
x -
=
;lim-
x
2e x
ex 1
= 0 car
x -
=
;limex = 0 .La droite ' d'équation y = x+1 est asymptote à C en -
.
6. Déterminer l'équation réduite de la tangente T à la courbe C au point de C d'abscisse 0 et étudier la position de C par
rapport à T.
Solution
 L'équation réduite de T est: y = f '(0)x + f(0)  y = Error!x + 1.
 La position de C par rapport à T est donnée par le signe de f(x) - (Error!x + 1).
Pour étudier ce signe, on pose g(x) = f(x) - (Error!x + 1). g est dérivable sur Ë et pour tout réel x,
g'(x) = f '(x) - Error! =
e2 x  1
- Error! =
2(e2 x  1)  (e x  1)²
=
2e2 x  2  (e2 x  2e x  1)
=
e2 x  2e x  1
=
(e x  1)²
2(e  1)²
2(e  1)²
2(e  1)²
(e  1)
2(e x  1)²
g'(x) est donc positive sur Ë et la fonction g est strictement croissante sur Ë. Comme g(0) = 0, la fonction g est négative sur
]- ; 0[ et positive sur ]0 ; +[.
Il en résulte que C est en dessous de T sur ]- ; 0[ et en dessus sur ]0 ; +[.
x
2
x
Page 7/7
x
x