ENSIEG 1ère année

ENSIEG 1ère année
Partie 2
TD d'Automatique
MODELISATION
DETERMINATION DE FONCTIONS DE TRANSFERT
DE SYSTEMES PHYSIQUES A PARTIR D'EQUATIONS
I/
Système mécanique en rotation
II /
Système hydraulique
III / Système mécanique en translation
IV / Système thermique
V/
Réacteur chimique
VI / Système de bacs non linéaires
VII / Digestion anaérobie
I / SYSTEME MECANIQUE EN ROTATION
Pour le système mécanique suivant :
Réducteur
m
fm
Jm

f
J
 Ecrire les équations de bilan énergétique et en déduire l'équation différentielle liant le couple
m appliqué à l'entrée et la vitesse angulaire de sortie .
 Déterminer la fonction de transfert correspondante (entrée m, sortie ).
Le réducteur a un rapport (n), ce qui signifie que si on note m la vitesse de rotation de l'arbre moteur,
alors on a :  = m / n
II / SYSTEME HYDRAULIQUE
On considère les deux systèmes hydrauliques suivants :
u
u
x1
R1
R1
x1
x2
R2
Système 1
x2
Système 2
R2
u
: débit volumique d'alimentation en liquide (m3/h),
x1, x2 : niveaux dans les réservoirs (m),
C1, C2 : sections des réservoirs (m2),
R1, R2 : vannes d'équilibrage telles que le débit à travers l'orifice Ri est ui = xi/Ri (xi = hauteur du
liquide dans le réservoir) (R en h/m2).
 Ecrire pour ces deux systèmes les équations de bilan et déterminer la fonction de transfert entre
le niveau x2 et le débit u.
III / SYSTEME MECANIQUE EN TRANSLATION
Pour le système mécanique suivant :
 Déterminer la fonction de transfert entre la vitesse V(p) de la locomotive et celle V2(p) du
deuxième wagon.
V
Wagon 1
k
Wagon 2
k
m
f
m
f
A l'instant t=0, l'ensemble locomotive – wagon 1 – wagon 2 est à l'équilibre. On note x le
déplacement de la locomotive depuis t= 0, x1 le déplacement du wagon 1 depuis t=0 et x2 le déplacement
du wagon 2 depuis t=0. On a donc v(t) = dx(t)/dt.
IV / SYSTEME THERMIQUE
Toutes les variables d'état définies ci-dessous représentent des variations autour d'un état
d'équilibre thermique.
x2, V2
u2, q2
x1,V1
R
u1, q1
Dans le corps de l'échangeur de chaleur, l'indice 1 caractérise le fluide à l'intérieur de la tubulure,
l'indice 2 le fluide à l'extérieur de la tubulure,
x1(t) et x2(t) sont les températures des liquides dans chaque partie du corps de l'échangeur de
chaleur (K),
u1(t) et u2(t) sont les températures à l'entrée de l'échangeur (K),
q1 et q2 sont les débits des liquides, supposés constants (m3.s-1),
V1 et V2 sont les volumes des liquides à l'intérieur de l'échangeur de chaleur (m3),
Cp1 et Cp2 sont les chaleurs spécifiques des liquides (J.m-3.K-1),
R est la résistance thermique des parois séparant les deux liquides (J-1.s.K), le flux d'enthalpie est
proportionnel à la différence de température entre chaque coté de la paroi. On supposera que l'on a un bon
calorifugeage avec l'extérieur et que les pertes calorifiques sont négligeables.
 En supposant les phénomènes d'échange linéaires, écrire les équations de bilan énergétique et
déterminer les fonctions de transfert X1(p)/U1(p) et X2(p)/U2(p).
V / REACTEUR CHIMIQUE
Le schéma ci-dessous décrit un réacteur chimique de volume V alimenté en continu par un produit
A de concentration cin à un débit Q. Afin de garder le niveau constant dans le réacteur, on soutire le
milieu de réaction au même débit Q. De plus, un agitateur mélange parfaitement les produits à l'intérieur
du réacteur (par exemple le produit A venant de l'alimentation, est instantanément et parfaitement réparti
dans le réacteur).
A l'intérieur du réacteur a lieu une réaction chimique qui transforme le produit A (concentration
cA) en un nouveau produit B (concentration cB), selon la réaction suivante :
k
A

B
La réaction chimique est du premier ordre, c'est à dire que la cinétique est proportionnelle à la
concentration cA, et la constante de proportionnalité (aussi appelée vitesse spécifique) est notée k.
 Ecrire les équations différentielles de bilan de masse décrivant les variations des produits A et
B à l'intérieur du réacteur. En déduire la fonction de transfert entre les concentrations cin et cB.
Q, cin
V
cA, cB
Unités :
V
Q
cA/B
k
m3
m3.s-1
kg.m-3
s-1
Q, cA, cB
VI / SYSTEME DE BACS NON-LINEAIRE
Qe
N1
Qs1
N2
Qs2
On considère l'exemple (cf. schéma ci dessus) de deux bacs en cascade alimentés par un débit
volumique de liquide Qe. Soient QS1 et QS2 les débits volumiques sortant des deux bacs, dont les niveaux
sont N1 et N2. Le débit en sortie d'une vanne est proportionnel à la racine carrée de la différence de
pression p aux bornes de la vanne qui est elle même liée au niveau amont (écoulement turbulent).
 Donner le modèle du système.
On appellera A1 et A2 les surfaces respectives des bacs 1 et 2.
N
Qs
D’autre part, si l'on considère un bac, rempli d'un liquide jusqu'à un niveau N, et percé à sa base d'un
orifice de section s, l'équation reliant le débit Qs à travers l'orifice au niveau N est :
Qs d s 2gN K N
avec d, un coefficient de débit fonction de la géométrie de l'orifice. Cette équation provient de la loi de
Bernoulli qui relie la vitesse d'écoulement d'un fluide incompressible à travers un orifice à la pression
statique du fluide au dessus de l'orifice. Les coefficients K1 et K2 des bacs 1 et 2 s’expriment en m2,5.s-1 .
 Supposer que les niveaux et les ouvertures de vannes ne sont soumis qu'à de petites variations
par rapport à un point d'équilibre pour linéariser ce modèle.
VII / DIGESTION ANAEROBIE
La digestion anaérobie est un procédé biologique complexe, permettant de dégrader la matière
organique en méthane et dioxyde de carbone. Il comporte 4 grandes étapes, chaque étape étant associée à
un groupe de bactéries. Ce groupe de bactéries utilise les composés dégradés par l’étape précédente
comme substrat (« nourriture ») pour croître et produit des composés organiques encore plus dégradés. Le
schéma global du procédé biologique est donné ci-dessous.
SUBSTRAT COMPLEXE
MACROMOLECULES
Hydrolyse
Rapide
MONOMERES SOLUBLE
Acidogenèse Très rapide
ACIDES
Acétogenèse Très rapide
H2 + CO2
ACETATE
Méthanogenèse
CH4
Très lent
CH4 + CO2
L’étape qui nécessite la mise en place d’un système de commande est la dernière, la
méthanogenèse. En effet, la vitesse de croissance de ces bactéries est la plus lente de toutes et conditionne
la vitesse globale de tout le procédé. De plus, ces bactéries qui ont besoin d’acide acétique pour se
développer, ont leur croissance inhibée par un excès d’acide acétique.
On ne s’intéressera qu’à la transformation de l’acide acétique noté S2, en méthane (CH4) et en
dioxyde de carbone (CO2). Cette transformation se fait en 2 temps. Tout d’abord les bactéries
méthanogènes (X2, la biomasse) consomment S2 pour leur croissance, dont la vitesse spécifique est notée
2. Les bactéries produisent ensuite du CH4, à la même vitesse 2. On suppose que le méthane n’est pas
soluble dans l’eau, ce qui signifie qu’il est instantanément transféré de la phase liquide vers la phase
gazeuse. Le schéma réactionnel ci-dessous résume les réactions biologiques :
1
2
S 2  X 2 
X2  X2
Y1
1
CH 4  X 2
Y2
X2, S2 et CH4 sont des concentrations. 1/Y1 et 1/Y2 sont les rendements biomasse/substrat et
biomasse/méthane. 2 est une vitesse spécifique, ce qui veut dire qu’elle est donnée par unité de
concentration de biomasse. La vitesse effective de la réaction biologique est donc 2*X2. L’expression de
S2
la vitesse spécifique 2 est la suivante :  2   2 max
où Ks, Ki et 2max sont des constantes.
2
S2
K s  S2 
Ki
2
X 2 
On suppose que la réaction biologique a lieu a l’intérieur d’un réacteur infiniment mélangé, qui est
alimenté à un débit Q et soutiré au même débit. Il a donc un volume constant noté V. L’alimentation du
réacteur ne contient que l’acide acétique à une concentration notée S2in.
Q, S2in
CH4
V
X2, S2
Q, X2, S2
 A partir des bilans de matière, mettre en équation le système. On considérera que Q est
constant et que S2in est l’entrée du système.
 Déterminer le point d’équilibre du système. On portera une attention particulière au méthane.
 En supposant que les variations autour du point d’équilibre sont de petite amplitude, linéariser
le modèle. En déduire la fonction de transfert entre S2in et CH4.