Cours 3 6. BANDES D’ENERGIE DE L’ELECTRON DANS LE CRISTAL On a montré que, dans un atome isolé, l’énergie de l’électron a des valeurs discrètes en fonction du nombre quantique n conformément à la relation: w 1 2 3 n w 13,6 3s3p3d 2s2p 1 n2 eV (3.1) Si l’atome fait partie d’un cristal, tous les noyaux et tous ses électrons forment un 1s système, chaque particule étant dans le Fig. 3.1 champ de forces des autres particules. L’énergie potentielle U d’un électron, situé dans ce champ de forces, a une variation périodique liée aux dimensions de la maille du réseau. Pour analyser le comportement d’un électron dans un potentiel périodique, il est plus simple de considérer un modèle de cristal unidimensionnel, dont les conclusions seront valables seulement de manière qualitative pour le cas tridimensionnel. Pour ce modèle, dans l’état stationnaire, le comportement d’un électron est décrit par la fonction d’onde uniélectronique ψ qui est la solution de l’équation de Schrödinger simplifiée : 2 d2ψ U ( x) ψ w ψ 2m0 dx 2 (3.2) où U(x) est l’énergie potentielle de l’électron et w(x) son énergie totale. On admet comme hypothèses simplificatrices, l’existence d’une interaction entre les électrons qui correspond à une valeur d’énergie constante et l’indépendance du comportement des électrons du mouvement des noyaux dans les nœuds du réseau. L’énergie potentielle (fig. 3.2) de période a (paramètre fondamental du réseau) se peut écrire sous la forme d’une série Fourier : U U ( x) U 0 u n sin( a 2nπ x ) a (3.3) x Mais, l’expression d’énergie potentielle periodique de l’electron ne peut etre decrite d’une facon analitique en vue de rrésoudre l’equation de Fig. 3.2 Schrodinger: En evitant une résolution directe à l’aide de certaines aproximations, on arrive à la conclusion que dans une cristal formé de N atomes, chaque niveau énergétique orbital de l’atome isolé se fend en N sous-niveaux énergétiques très proches. Les N sous-niveaux énergétiques très proches forment une bande d’énergie permise dont la largeur depend de la distance entre les atomes. Pour la distance a entre les atomes du cristal, les bandes de l’énergie permise ont une certain largeur et elles sont separées par des intervalles, appelées bandes interdites. 1 3 On observe en même temps que, à l’accroissement de l’énergie, les bandes permises se dilatent et les bandes interdites se diminuent. w w x a 2p bp 2s bp 1s bp Fig. 3.3 En même temps, si on diminue la distance entre les atomes, les bandes permises se dilatent, en pouvant se superposer. En considerant un cristal avec quatre atomes de B (Bor) ayant Z = 5, dans la figure 3.4 on a representé le spectre énergétique des electrons à T=0 K (énergie minimale). Le dernier niveau énergétique occupé des électron à 0 K est nommé le niveau Fermi. La bande énergétique superieure au niveau Fermi s’appelle bande de conduction (bc) et la bande énergétique inferieure – bande de valence (bv). Ces bandes d’autour du niveau Fermi sont importantes pour l’etude des w proprietés électriques. On constante que dans une bande completement occupée, si on 2p fournit à l’electron une énergie insuffisante wF (pour y passer dans une autre bande énergetique), cette bande ne peut être 2s modifiée conformément au principe de Pauli, et l’electron ne peut pas accepter l’énergie. Donc, il ne peut pas être entrené dans un 1s movement par le champs electrique exterieur qui constitue la conduction electrique. Par Fig. 3.4 suite, seulement les électrons des bandes énergetiques incomplètement occupées, qui se trouvent dans le voisinage de niveau Fermi, peuvent participer au processus de conduction électrique. D’apres la structure des bandes de l’énergie, les matériaux sont groupés dans trois classes : 1. matériaux électroisolants, qui ont à 0 K des bandes permises complètement occupées avec des électrons ou complètement libres et le niveau Fermi se trouve dans une bande interdite, appelée la bande interdite Fermi (fig. 3.5); sa largeur ΔwF 3 eV ne peut pas être escaladée d’un électron parceque à 300 K l’énergie thermique est de 0,025 eV; 2 3 w bc ΔwF wF bv Fig. 3.5 w wF bc bv Fig. 3.6 donc on a besoin d’une température beaucoup plus élevée pour passer certains électrons de la bande de valence dans la bande de conduction, les deux bandes devenant incomplètes; 2. matériaux semi-conducteurs qui ont la même structure des bandes énergétiques, mais la bande interdite Fermi est ΔwF 3eV; ceux-ci peuvent être des semi-conducteurs pures avec ΔwF 10-2 eV qui peuvent être utilisés à la température ambiante et des semiconducteurs impurifiés qui ont des niveaux énergétiques additionnels dans la bande interdite Fermi qui génèrent une conduction extrinsèque; 3. métaux qui n’ont pas de bande interdite Fermi, le niveau Fermi traversant une bande permise qui est la bande de conduction dans le cas des métaux monovalents ou bande de conduction complètement occupée qui se superpose sur la bande supérieure; la conductivité électrique très élevée des métaux s’explique par l’absence de la bande interdite Fermi. 7. DENSITE DE LA REPARTITION DES ELECTRONS DANS LES BANDES D’ENERGIE Le degré d’occupation des bandes permises par les électrons est décrit dans la statistique Fermi-Dirac par la densité de répartition des fermions (des particules à spin semientier). Dans l’absence des champs extérieurs et à l’équilibre thermique avec le réseau, la densité de répartition, notée 0 (w), a l’expression suivante : 0 ( w) 1 w wF exp 1 kT (3.4) oú w est l’énergie d’un état quantique et wF l’énergie du niveau Fermi. Avec la densité de répartition on peut déterminer la probabilité d’une particule d’avoir l’énergie comprise dans le domaine (w, w+dw) : 3 3 dP(w) 0 (w)dw 0 δF 0 w T=0 K T 0K 1 0,5 wF Fig. 3.7 w (3.5) Conformément à la représentation graphique de la fonction 0(w) (fig. 3.7), on peut observer l’apparition de la différence seulement dans un intervalle F = 4KT qui coïncide avec la bande interdite Fermi, ayant une largeur d’ordre 0,1eV à 300 K. Dans cet intervalle, la 0 peut être identifiée avec la fonction Dirac w (w wF ) définie comme : dérivée ( w wF ) 0 w wF w wF On peut observer que, pour w wF, les niveaux quantiques caractérisés par l’énergie w sont occupés à T = 0 K par un seul électron, donc les états orbitaux sont occupés par deux électrons à spins opposés, s’ils sont situés dans les bandes permises. Pour T 0 K, les niveaux des bandes permises ayant des énergies sous l’intervalle, ont deux électrons sur chaque orbital et celles ayant des énergies supérieures sont libres. Dans l’intervalle F , les niveaux quantiques ont en moyenne un électron. Par l’établissement d’un champ qui exerce la force Fex d’accélération sur des électrons, la densité de répartition initiale 0 ( w) est modifiée. Pour un modèle de cristal unidimensionnel se trouvant dans un équilibre thermodynamique, qui impose les états stationnaires aux électrons, l’action de l’accélération de Fex est compensée par le freinage dû aux collisions classiques des électrons avec les noyaux du réseau cristallin. La variation dans le temps de la densité de répartition dus aux mouvements de translation accélérés sous l’influence du champ extérieure est en fonction de la variation due au freinage par choc. Donc : d d dt transl dt choc (3.6) Puisque ( w) (t , w) on obtient : d w Fex v dt t w t w où (3.7) w 0 en régime stationnaire et Fex v , v étant la vitesse de l’électron. t t On considère que le freinage de l’électron par collision est un processus de relaxation c’est-à-dire, en suppriment la force extérieure Fex, on revient à l’équilibre décrit par la fonction φ0 selon une loi de type exponentielle : t 0 c exp (3.8) où c est une grandeur constante et représente la durée de relation approximativement égale à la durée moyenne d’entre deux collisions classiques successifs. Le mouvement ordonné de 4 3 translation des électrons imprimé par la force Fex devient un mouvement désordonné, nommé d’agitation thermique. On peut ecrire : 0 1 d t c exp dt choc (3.9) En portant (3.7) et (3.9) dans (3.6), on obtient pour la densité de répartition l’expression : ( w) 0 ( w) τ Fex v w (3.10) Pour une variation petite de la fonction on peut considérer : 0 w w (3.11) et l’expression (3.10) de la fonction prend la forme : ( w) 0 ( w) τ Fex v 0 w (3.12) Lorsqu’on établit un champ électrique d’intensité E dans le cristal (qui exerce la force Fex q0 E sur l’électron) la densité de répartition prend la forme : ( w) 0 ( w) q0 E v 0 w (3.13) De cette expression de la densité de répartition on peut constater les suivantes situations : a. pour valeurs d’énergie en dehors de l’intervalle F (autour du niveau Fermi) où 0 0 , la distribution des électrons ne peut pas être modifiée (w) 0(w) c’est-à-dire les w électrons ne peuvent pas recevoir d’énergie d’un champ extérieure pour participer à un courant de conduction; b. pour valeurs d’énergie dans l’intervalle F où 0 il y a deux possibilités : w 1. (w) < 0(w) pour E · v >0; 2. (w) > 0(w) pour E · v <0. On peut tirer la conclusion que, seulement dans l’intervalle F (autour du niveau Fermi), les déplacements des électrons dans le sens opposé au champ électrique extérieur ont une probabilité plus élevée que les déplacements en même sens. Donc, les électrons qui participent à l’établissement d’un courant de conduction dans le corps se trouvent exclusivement dans les bandes d’énergie incomplètement occupées situées autour du niveau Fermi. 5 3