6. bandes d`energie de l`electron dans le cristal

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6. BANDES D’ENERGIE DE L’ELECTRON DANS LE CRISTAL
On a montré que, dans un atome isolé, l’énergie de l’électron a des valeurs discrètes en
fonction du nombre quantique n conformément à la relation:
Si l’atome fait partie d’un cristal, tous les
noyaux et tous ses électrons forment un
système, chaque particule étant dans le
champ de forces des autres particules.
L’énergie potentielle U d’un électron, situé
dans ce champ de forces, a une variation périodique liée aux dimensions de la maille du
réseau. Pour analyser le comportement d’un électron dans un potentiel périodique, il est plus
simple de considérer un modèle de cristal unidimensionnel, dont les conclusions seront
valables seulement de manière qualitative pour le cas tridimensionnel. Pour ce modèle,
dans l’état stationnaire, le comportement d’un électron est décrit par la fonction d’onde
uniélectronique ψ qui est la solution de l’équation de Schrödinger simplifiée :
où U(x) est l’énergie potentielle de l’électron et w(x) son énergie totale. On admet comme
hypothèses simplificatrices, l’existence d’une interaction entre les électrons qui correspond
à une valeur d’énergie constante et l’indépendance du comportement des électrons du
mouvement des noyaux dans les nœuds du réseau.
L’énergie potentielle (fig. 3.2) de période a (paramètre fondamental du réseau) se
peut écrire sous la forme d’une série Fourier :
axn
uUxU n
π2
sin()( 0
) (3.3)
Mais, l’expression d’énergie potentielle
periodique de l’electron ne peut etre decrite d’une
facon analitique en vue de rrésoudre l’equation de
Schrodinger:
En evitant une résolution directe à l’aide de certaines
aproximations, on arrive à la conclusion que dans une
cristal formé de N atomes, chaque niveau énergétique orbital de l’atome isolé se fend en N
sous-niveaux énergétiques très proches. Les N sous-niveaux énergétiques très proches
forment une bande d’énergie permise dont la largeur depend de la distance entre les atomes.
Pour la distance a entre les atomes du cristal, les bandes de l’énergie permise ont une
certain largeur et elles sont separées par des intervalles, appelées bandes interdites.
w 1 2 3 n
3s3p3d
2s2p
1s
Fig. 3.1
x
U
a
Fig. 3.2
(3.1) eV
1
6,13 2
n
w
(3.2)ψψ)(
d
ψd
22
2
0
2wxU
x
m 

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On observe en même temps que, à l’accroissement de l’énergie, les bandes permises se
dilatent et les bandes interdites se diminuent.
En même temps, si on diminue la distance entre les atomes, les bandes permises se
dilatent, en pouvant se superposer.
En considerant un cristal avec quatre atomes de B (Bor) ayant Z = 5, dans la figure 3.4 on a
representé le spectre énergétique des electrons à T=0 K (énergie minimale).
Le dernier niveau énergétique occupé des électron à 0 K est nommé le niveau Fermi.
La bande énergétique superieure au niveau Fermi s’appelle bande de conduction (bc) et la
bande énergétique inferieure – bande de
valence (bv). Ces bandes d’autour du niveau
Fermi sont importantes pour l’etude des
proprietés électriques. On constante que dans
une bande completement occupée, si on
fournit à l’electron une énergie insuffisante
(pour y passer dans une autre bande
énergetique), cette bande ne peut être
modifiée conformément au principe de Pauli,
et l’electron ne peut pas accepter l’énergie.
Donc, il ne peut pas être entrené dans un
movement par le champs electrique exterieur
qui constitue la conduction electrique. Par
suite, seulement les électrons des bandes
énergetiques incomplètement occupées, qui se trouvent dans le voisinage de niveau Fermi,
peuvent participer au processus de conduction électrique.
D’apres la structure des bandes de l’énergie, les matériaux sont groupés dans trois
classes : 1. matériaux électroisolants, qui ont à 0 K des bandes permises complètement
occupées avec des électrons ou complètement libres et le niveau Fermi se trouve dans une
bande interdite, appelée la bande interdite Fermi (fig. 3.5); sa largeur ΔwF  3 eV ne peut
pas être escaladée d’un électron parceque à 300 K l’énergie thermique est de 0,025 eV;
w w
x
a
2p bp
2s bp
1s bp
Fig. 3.3
w
2p
2s
1s
Fig. 3.4
wF

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donc on a besoin d’une température beaucoup plus élevée
pour passer certains électrons de la bande de valence
dans la bande de conduction, les deux bandes devenant
incomplètes;
2. matériaux semi-conducteurs qui ont la
même structure des bandes énergétiques, mais la bande
interdite Fermi est ΔwF  3eV; ceux-ci peuvent être des
semi-conducteurs pures avec ΔwF  10-2 eV qui peuvent
être utilisés à la température ambiante et des semi-
conducteurs impurifiés qui ont des niveaux énergétiques
additionnels dans la bande interdite Fermi qui génèrent
une conduction extrinsèque;
3. métaux qui n’ont pas de bande interdite
Fermi, le niveau Fermi traversant une bande permise qui
est la bande de conduction dans le cas des métaux
monovalents ou bande de conduction complètement
occupée qui se superpose sur la bande supérieure; la
conductivité électrique très élevée des métaux s’explique
par l’absence de la bande interdite Fermi.
7. DENSITE DE LA REPARTITION DES ELECTRONS DANS LES BANDES
D’ENERGIE
Le degré d’occupation des bandes permises par les électrons est décrit dans la
statistique Fermi-Dirac par la densité de répartition des fermions (des particules à spin semi-
entier). Dans l’absence des champs extérieurs et à l’équilibre thermique avec le réseau, la
densité de répartition, notée 0 (w), a l’expression suivante :
1exp
1
)( F
0
kT
ww
w
(3.4)
oú w est l’énergie d’un état quantique et wF l’énergie du niveau Fermi.
Avec la densité de répartition on peut déterminer la probabilité d’une particule d’avoir
l’énergie comprise dans le domaine (w, w+dw) :
w
bc
wF ΔwF
bv
Fig. 3.5
w
wF bc
bv
Fig. 3.6

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wwwP d)()(d 0
(3.5)
Conformément à la représentation graphique de la
fonction 0(w) (fig. 3.7), on peut observer l’apparition
de la différence seulement dans un intervalle F = 4KT
qui coïncide avec la bande interdite Fermi, ayant une
largeur d’ordre 0,1eV à 300 K. Dans cet intervalle, la
dérivée
w
 0
peut être identifiée avec la fonction Dirac
)( F ww
définie comme :
F
F
Fww
ww
ww 0 )(
On peut observer que, pour w  wF, les niveaux quantiques caractérisés par l’énergie w
sont occupés à T = 0 K par un seul électron, donc les états orbitaux sont occupés par deux
électrons à spins opposés, s’ils sont situés dans les bandes permises. Pour T  0 K, les
niveaux des bandes permises ayant des énergies sous l’intervalle, ont deux électrons sur
chaque orbital et celles ayant des énergies supérieures sont libres. Dans l’intervalle
F
, les
niveaux quantiques ont en moyenne un électron.
Par l’établissement d’un champ qui exerce la force
ex
F
d’accélération sur des électrons,
la densité de répartition initiale
)(
0w
est modifiée. Pour un modèle de cristal
unidimensionnel se trouvant dans un équilibre thermodynamique, qui impose les états
stationnaires aux électrons, l’action de l’accélération de
ex
F
est compensée par le freinage
dû aux collisions classiques des électrons avec les noyaux du réseau cristallin. La variation
dans le temps de la densité de répartition dus aux mouvements de translation accélérés sous
l’influence du champ extérieure est en fonction de la variation due au freinage par choc.
Donc :
choctransl dd
d
t
d
t
(3.6)
Puisque
),()( wtw 
on obtient :
w
vF
t
w
wtt e
x
d
d
(3.7)
où
0
t
en régime stationnaire
vF
t
wex 
et
, v étant la vitesse de l’électron.
On considère que le freinage de l’électron par collision est un processus de relaxation
c’est-à-dire, en suppriment la force extérieure Fex, on revient à l’équilibre décrit par la
fonction φ0 selon une loi de type exponentielle :
 t cexp
0
(3.8)
où c est une grandeur constante et  représente la durée de relation approximativement égale
à la durée moyenne d’entre deux collisions classiques successifs. Le mouvement ordonné de
0 δF
T=0 K
1 T 0K
0,5
wF w
Fig. 3.7
w
 0

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translation des électrons imprimé par la force Fex devient un mouvement désordonné,
nommé d’agitation thermique.
On peut ecrire :
0
choc
exp
1
d
dt
c
t
(3.9)
En portant (3.7) et (3.9) dans (3.6), on obtient pour la densité de répartition
l’expression :
 w ww ex vFτ)()( 0
(3.10)
Pour une variation petite de la fonction  on peut considérer :
ww 
 0
(3.11)
et l’expression (3.10) de la fonction  prend la forme :
 w ww ex 0
0τ)()( vF
(3.12)
Lorsqu’on établit un champ électrique d’intensité
E
dans le cristal (qui exerce la force
EqFex
  0
sur l’électron) la densité de répartition prend la forme :
 w qww 0
00 )()( vE
(3.13)
De cette expression de la densité de répartition on peut constater les suivantes
situations :
a. pour valeurs d’énergie en dehors de l’intervalle F (autour du niveau Fermi) où
0
w
0
, la distribution des électrons ne peut pas être modifiée (w)  0(w) c’est-à-dire les
électrons ne peuvent pas recevoir d’énergie d’un champ extérieure pour participer à un
courant de conduction;
b. pour valeurs d’énergie dans l’intervalle F où
w
 0 il y a deux possibilités :
1. (w) < 0(w) pour E · v >0;
2. (w) > 0(w) pour E · v <0.
On peut tirer la conclusion que, seulement dans l’intervalle F (autour du niveau
Fermi), les déplacements des électrons dans le sens opposé au champ électrique extérieur
ont une probabilité plus élevée que les déplacements en même sens. Donc, les électrons qui
participent à l’établissement d’un courant de conduction dans le corps se trouvent
exclusivement dans les bandes d’énergie incomplètement occupées situées autour du niveau
Fermi.