1/ Oscillations de relaxation

SPE PSI
DEVOIR LIBRE N°1
pour le 12/09/11
Problème d'électricité:
1/ Oscillations de relaxation.
Un tube à décharge est alimenté à travers une résistance R par une source de tension continue de
force électromotrice Vo. La décharge lumineuse qui se produit entre ses électrodes est caractérisée
par sa tension d'allumage Va, sa tension d'extinction Vex (Vo > Va > Vex ) et par sa très faible
résistance r. Les effets capacitifs de ce système sont représentés par un condensateur de capacité C
branché aux bornes du tube (cf. figure 1). Les effets d'inductance sont négligés.
R
K
C
Vo
v(t)
Tube à
décharges
Figure 1
11/ Le condensateur étant déchargé, on ferme, à l'instant t = 0, l'interrupteur K. Déterminer
l’expression de la tension v(t) aux bornes du tube jusqu'à l'instant où t = ta où s'amorce la décharge.
Mettre le résultat sous la forme . Calculer  et ta.
12/ Etablir l'équation différentielle du premier ordre (E) à laquelle satisfait v(t) à partir de cet
instant. Utiliser la petitesse de r devant R pour simplifier et intégrer (E). En déduire l'expression de
l'instant tex où se produit l'extinction de la décharge en fonction des paramètres du problème.
Calculer la durée 1 de l'éclair produit dans le tube ainsi que l'intensité maximale Imax du courant qui
le traverse.
13/ A partir de l'instant tex, le tube est éteint. Etablir l'expression du temps 2 qui s'écoule jusqu'au
prochain allumage de la décharge en fonction de T, Vo, Va et Vex. Calculer 2.
14/ Calculer la valeur T de la période des éclairs produits par ce dispositif. Représenter l'allure de la
fonction v(t) à partir de l'instant t = 0. L'œil perçoit-il le caractère pulsé de cette décharge
luminescente ?
Données numériques :
R = 10 k ;
C = 0,5 µF ;
r=1;
Vo = 120 V ; Va = 90 V ;
Vex = 72 V
2/ Etude d'un circuit en régime sinusoïdal :
21/ On considère le dipôle constitué d'une résistance R en parallèle avec une capacité C. Déterminer
la résistance R’ et la capacité C' qui, en série, ont, pour une pulsation donnée  de la tension
appliquée, la même impédance que ce dipôle. Tracer sur le même graphique les courbes
représentatives de R/R’ et de C/C’ en fonction du rapport /o où o = 1/RC.
22/ On se place dans le cas où  = o. On considère le dispositif de la figure 2 où le dipôle
précédent est mis en série avec le dipôle constitué de la résistance R en parallèle avec la capacité C.
On note U la tension entre les points M et N, U’ celle entre N et P et la tension totale appliquée
entre M et P.
Calculer les rapports et , ainsi que le déphasage  du courant total par rapport à . Calculer
l'amplitude de ce courant pour = 50 mA.
I
N
M
R
C
Uo
R
C
P
Figure 2
23/ Le système précédent est complété par une résistance Ro placée en parallèle entre M et P. Les
bornes d'un voltmètre (V) de très grande impédance sont reliées aux points N et Q (cf. figure 3). Le
point Q partage Ro en deux parties: k.Ro et (1-k).Ro.
C
M
N
I
R
k.Ro
Uo
(V)
Q
R
C
(1-k).Ro
P
Figure 3
231/ Déterminer la valeur de k telle que la différence de potentiel indiquée par (V) soit
rigoureusement nulle.
232/ Cette valeur de k étant adoptée, on superpose à la tension de pulsation o une
composante sinusoïdale de pulsation 2 o, d'amplitude complexe . Soit = la tension aux bornes du
voltmètre. Calculer le rapport des amplitudes , et le déphasage existant entre ces deux tensions.
Exercice de thermodynamique:
Transformation d'un gaz en contact avec des thermostats :
On considère un gaz parfait de capacité calorifique molaire à volume constant C v. Cv est supposée
indépendante de la température T.
Ce gaz est réparti en quantités égales entre deux compartiments d'une enceinte divisée en deux par
un piston mobile sans frottement. Le piston empêche les échanges thermiques entre les deux
compartiments qui sont initialement à la même température To imposée par les deux thermostats. Le
volume de chaque compartiment est Vo et la pression dans chaque compartiment est Po.
A partir de cet état initial, le compartiment de droite est mis en contact thermique avec un
thermostat à la température T2. La transformation qui se produit est supposée quasi-statique.
piston
Thermostat
à To
P f, V f, T f
'
f
'
f
P ,V ,T
Thermostat
à T2
'
f
Paroi adiabatique
1/ Déterminer Pf, Tf, Vf, Pf' , V f' , T f' .
2/ Calculer les variations d'énergie interne des deux sous-systèmes gazeux en fonction de Cv, To, T2,
Po, Vo, To et R.
3/ Calculer les travaux et les transferts thermiques reçus par chaque sous-système.