DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS

1 ba MVA 9 janvier 2003
PhG-Sciences
Les fluides sont des corps matériels, gaz, liquides et plasmas, qui peuvent se mettre sous une forme
quelconque lorsqu’ils sont soumis à un système de forces.
Ces forces peuvent être très faibles, à condition qu’elles agissent pendant un temps assez long.
Cette définition permet d’exclure les corps plastiques, qui se comportent comme des solides tant que les
contraintes en leur sein ne dépassent pas un certain seuil.
Un fluide est parfait si l'on néglige sa viscosité.
I- Écoulement des fluides
1- Ligne de courant
Une ligne de courant est une courbe tangente
en chacun de ses points au vecteur vitesse en ce point.
Les lignes de courant représentent la répartition des vitesses
des différentes particules de fluide au même instant.
2- Tube de courant
Les lignes de courant s’appuyant sur une courbe
fermée forment un tube de courant.
3- Écoulement permanent ou stationnaire
La répartition des vitesses des particules du fluide est indépendante du temps. En un point de
l'écoulement, les particules du fluide "passent" avec la même vitesse.
La distribution des lignes de courant ne varie pas en fonction du temps
Les lignes de courant coïncident avec les trajectoires des particules du fluide.
II- Débit d'écoulement d'un fluide
1- Débit volumique
QV =
t
V
en m3.s– 1
En général, sauf ambiguïté avec le débit massique, on le note Q.
2- Débit massique
Qm =
t
m
en kg.s– 1
On a aussi : Qm = .QV
v
S1
S2

l
Error!
S
Error!
Error!
S2
S1
3- Écoulement permanent d'un fluide parfait
L'écoulement est permanent et le fluide parfait est incompressible.
On considère une conduite de section constante S.
Le fluide est parfait : toutes les particules du fluide franchissent
la section S avec la même vitesse v.
L'écoulement est permanent : la vitesse v est indépendante de la date d'observation.
Toutes les particules du fluide qui franchissent la section S pendant la durée t sont contenues dans un
cylindre de volume V avec V = S l
La vitesse est constante d'où : v =
Error!
d'ou Q =
Error!
=
Error!
= S
Error!
= S v
Q = S v
Q en m3.s– 1
S en m2
v en m.s– 1
III- Équation de continuité
L'écoulement est permanent et le fluide parfait incompressible.
On considère un tube de courant de section variable.
À travers la surface latérale du tube de courant, aucune particule de fluide n'entre ni ne sort, car les
vitesses des particules sont tangentes au tube. Il y a conservation de la matière.
Le débit est le même dans toutes les portions d'un circuit.
Q1 = Q2
soit
S1.v1 = S2.v2
La vitesse de l'écoulement et la section du circuit sont
des grandeurs inversement proportionnelles :
Error!
=
Error!
Application : Un nettoyeur haute pression porte les indications 120 bar et 8,4 L.min – 1.
1- Déterminer la section de sortie de la lance pour que la vitesse de sortie de l'eau soit de 140 m.s – 1.
2- Calculer la vitesse de l'eau dans le tuyau de sortie de diamètre 1,2 cm.
IV- Relation de Bernoulli
L'équation énoncée par le physicien suisse Daniel Bernoulli (1700-1782) décrit la dynamique d'un fluide
Error!
S

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PhG-Sciences
Error!
Error!
S2
S1
parfait (non visqueux et incompressible ) pour un écoulement permanent (vitesse indépendante du temps).
1- Écoulement horizontal
On considère un volume V d'un fluide de masse m définie par sa section droite d'entrée S1 et sa section
droite de sortie S2 (avec S1 < S2).
On effectue le bilan énergétique.
 en 1 : Ec1 + Ep1 =
Error!
mv12 + mgz1
en 2 : Ec2 + Ep2 =
Error!
mv22 + mgz2
d'après le principe de conservation de l'énergie on obtient :
Ec1 + Ep1 = Ec2 + Ep2 soit
Error!
mv12 + mgz1 =
Error!
mv22 + mgz2
or l'écoulement est horizontal z1 = z2 d'où
Error!
mv12 =
Error!
mv22 (1)
L'équation de continuité implique que si S1 < S2 alors v1 > v2. Ce qui contredit l'équation (1).
 Il existe donc une autre forme d'énergie :
l'énergie potentielle de pression due au travail des forces pressantes.
Elle a comme expression en 1 : Epp1 = F1 d1 = p1 S1 d1 = p1V
et en 2 : Epp2 = F2 d2 = p2 S2 d2 = p2V
Pour un écoulement horizontal, on obtient :
Error!
mv12 + p1V =
Error!
mv22 + p2V
2- Relation de Bernoulli
Le principe de conservation de l'énergie permet d'écrire : Ec1 + Ep1 + Epp1 = Ec2 + Ep2 + Epp2
Ce qui donne :
Error!
mv12 + mgz1 + p1V =
Error!
mv22 + mgz2 + p2V
En divisant par le volume V, on obtient l'équation de Bernoulli la plus employée :
Error!
v12 + gz1 + p1 =
Error!
v22 + gz2 + p2
ou
Error!
v2 + gz + p = Constante
La relation de Bernoulli indique que la pression du fluide et la vitesse des molécules constituant
ce fluide varient en sens inverse.
Si, par exemple, pour une altitude h donnée, la vitesse v du fluide augmente, afin que l'égalité de
Bernoulli demeure, il est nécessaire que la pression p diminue, ce qui défie l'intuition.
La relation de Bernoulli peut revêtir d'autres formes :
Error!
+ z +
Error!
= Constante ou encore
Error!
+ gz +
Error!
= Constante