840909049 REPRESENTATIONS GRAPHIQUES I) FONCTIONS A UNE VARIABLE La représentation graphique d'une fonction f (à une variable x) est la courbe d'équation : y = f (x) 1) On peut lire les propriétés d'une fonction à partir de sa représentation graphique : Ex : Soit f la fonction définie par : x x2 − 4 x + 2 y Fonction décroissante sur [ ; ] Cf Antécédent de j [ O 1 i ] x Intervalle d'étude [ ; ] Image de -2 f admet un minimum de en sur [ ; ] 2) Avec une courbe, on peut résoudre graphiquement une équation ou une inéquation Ex : Soit f la fonction définie sur par x y Cf y= x+5 3 j O i x x3 + Error! x2 − Error! x Résoudre graphiquement f (x) = Error!: Les solutions sont les abscisses des points d'intersection de Cf avec la droite d'équation y = Error! S = { −2 ; ; 1} avec −0,8 Résoudre graphiquement f (x) > Error! : Les solutions sont les abscisses des points de Cf situés au dessus de la droite d'équation y = Error! S = ]−2 ; [ U ]1 ; +[ 840909049 II) FONCTIONS A DEUX VARIABLES 1) Préliminaire : Repère dans l'espace Dans la suite du chapitre, nous aurons besoin de placer des points dans un repère de l'espace. Pour cela, on introduit un 3ème axe appelé "axe des cotes" et les points ont 3 coordonnées : l'abscisse, l'ordonnée et la cote. Ex 1: Quelles sont les coordonnées des points ci-dessous ? O ( ; ; ) B ( ; ; ) C ( ; ; ) D ( ; ; ) E ( ; ; ) F ( ; ; ) G ( ; ; ) H ( ; ; ) I ( ; ; ) Ex 2: Quelles sont les coordonnées des points ci-dessous ? J ( ; ; ) K ( ; ; ) L ( ; ; ) M( ; ; ) N ( ; ; ) z E I F H G k O j i x y D B C 10 9 L 8 J 7 M 6 z 5 N 4 3 Remarque : Le repère n'est pas représenté ici par 3 axes concourants mais par un cube dont les cotés sont gradués. C'est la façon dont procèdent de nombreux logiciels 3D 2 1 K 0 6 7 1 2 3 4 5 6 9 7 y 8 9 5 4 0 1 2 3 x 8 10 Ex 3: Placer ci-contre les points : P(7 ; 7 ; 2) ; Q(3 ; 7 ; 7) ; R(5 ; 7 ; 5) 1) Quelles sont les coordonnées de S le milieu de [QR] ? xS = Error! = ; yS = ; zS = 2) Calculer la distance PQ PQ = (xQ − xP)2 + = 3) Quelle est l'équation du plan grisé ? 10 9 8 7 6 z 5 4 3 2 4) Quelle est l'équation du plan (yOz) ? 1 0 5) Griser le plan d'équation z = 2 1 7 2 3 4 5 y 6 7 9 8 9 10 8 6 4 5 0 1 2 3 x 840909049 2) Fonction à deux variables Il arrive fréquemment qu'une grandeur ne dépende pas d'une seule variable mais de plusieurs. Ex 1: Le montant f de ma facture annuelle d'électricité (en €) dépend de x le nombre de kwh consommés le jour et de y le nombre de kwh consommés la nuit : f (x ; y) = 102 + 0,1028 x + 0,0628 y Ex 2: La tension u aux bornes d'une résistance (en V) dépend de x la valeur de cette résistance (en ) et de y l'intensité du courant qui la traverse (en A) : u (x ; y) = x × y Ex 3: Le volume v d'une casserole (en L) dépend de x son rayon (en cm) et de y la hauteur de ses bords (en cm) : v (x ; y) = Error! 30 300 1000 25 900 250 800 200 z 20 700 z 150 z 600 15 500 100 10 400 20 300 50 1 0,8 0,6 200 0 200 400 y 600 800 800 1000 600 400 x 200 0 100 0,4 0,2 0 200 400 600 x ( ; ; ) ( ; ; 800 y 5 15 10 0 10 15 x 0 1000 ) y 5 5 ( ; 20 ; 0 ) Lire des coordonnées de points sur les surfaces ci-dessus Remarques : A travers ces trois exemples, on voit que la représentation graphique d'une fonction f à deux variables x et y est une surface d'équation : z = f (x ; y) En maths, on est également amené à étudier des fonctions à 3 variables ou plus. Hélas il est difficile de les représenter graphiquement !! 840909049 3) Courbes de niveaux Les courbes de niveaux d'une surface sont les courbes obtenues en reliant les points de la surface qui ont la même cote. Ex 1: En cartographie par exemple, elles permettent de connaître l'altitude des différents lieux et de mettre en valeur les dénivelés : Sur le plan ci-contre, on a tracé des courbes de niveau tous les 25m de dénivelé. y 500m 150 B 1) Quelles sont les coordonnées des points A et B ? 125 200 250 A( ; ; ) B( ; ; ) A x O 100 250 2) Déterminer ci-contre le profil du terrain entre A et B 200 150 B 100 A Ex 2: On a représenté ci-contre la surface d'équation z = x (5 − y) 1) Préciser sur le graphique quelles graduations correspondent aux abscisses, aux ordonnées et aux cotes 2) Quelles sont les coordonnées des points ci-dessous ? A( ; ; ) B( ; ; ) C( ; ; ) D( ; ; ) E( ; ; ) 50 A B C D 0 0 E –50 0 C 5 10 5