Modèle mathématique. - Mathématiques au lycée Bellepierre

TRIGONOMETRIE
I. Le cercle trigonométrique
1) Définitions
Le plan est muni d’un repère orthonormal (O, I, J).
On appelle cercle trigonométrique de centre 0 le cercle C de rayon 1 orienté dans le sens positif c’est-à-dire
……………….. des aiguilles d’une montre.(On dit aussi sens direct ou sens trigonométrique.)
Le repère orthonormal (O, I, J) est dit direct et le plan orienté ( c'est-à-dire tous les cercles du plan sont orientés
dans le sens direct ).
Imaginons la droite graduée (IK) comme une ficelle qu’on enroule autour du cercle.
L’enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique à partir de I
permet de repérer chaque point M du cercle par une infinité de réels
Si x est un de ces réels alors les autres dont de la forme x + k.2.
On dit alors que M est le point – image du réel x et de tous les réels x + k.2.
Exemples :Le point I est le point –image de
Le point J est le point –image de ………….
2) Le radian
Définition : Soit C un cercle de centre O et de rayon 1 , le radian ( rad ) est la mesure de l’angle au centre qui
intercepte un arc de longueur 1 . On a la correspondance :  rad 
Le tableau suivant permet de passer des degrés aux radians et inversement,
Degrés
d
Radians
α
C’est un ………………
Exemple
Donner la mesure en radians d’une angle de 126°.
Donner la mesure en degrés d’un angle de
Error!
rad.
3) Cosinus et sinus d’un nombre réel .
Le plan est muni d’un repère orthonormal (O, I, J) direct .
Définitions :
Soit x un nombre réel et M le point –image de x sur le cercle trigonométrique
Le cosinus du réel x est l’abscisse du point M.
Le sinus du réel x est l’ordonnée du point M.
M ( ………………………………
Propriétés :
Pour tout réel x et tout entier relatif k :
 ……  cos x  …… et ……  sin x  ……  ……………………… ………………………
……………………… et ………………………
 Relation fondamentale ……………….

Valeurs remarquables :
Mesure x
en radians
…
…
…
…
…
…
Mesure x
en degré
…
…
…
…
…
…
cos x
…
…
…
…
…
…
sin x
…
…
…
…
…
…
II) Mesures d’un angle orienté
Définitions :
Tout couple (
Error!
,
Error!
) de vecteurs non nuls détermine un angle
orienté.
Soient M et N deux points du cercle trigonomérique repérés par les réels x
et y alors une mesure de l’angle orienté (
Error!
,
Error!
) est y – x
Soit
Error!
et
Error!
deux vecteurs non nuls ,
il existe des points M et N du cercle trigonométrique tels que
Error!
et
Error!
d’une part ,
Error!
et
Error!
d’autre part soient colinéaires et de même sens .
Une mesure en radians de l’angle orienté (
Error!
,
Error!
) est une mesure de l’angle orienté (
Error!
,
Error!
).
Propriété :
Un angle orienté possède une infinité de mesures.
Si x est une mesure de l’angle orienté (
Error!
,
Error!
)
Alors toutes les mesures de cet angles en radians sont de la forme ……………… où k .
On note (
Error!
,
Error!
) = x + 2k et on lit « l’angle orienté (
u
,
v
) a pour mesure x à un multiple de 2
près ».
On note aussi …………………………
et on lit « l’angle orienté (
Error!
,
Error!
) a pour mesure x modulo 2 ».
Cas particuliers :
 L’angle nul (
Error!
,
Error!
) = …………….
 L’angle plat : (
Error!
,
Error!
) = (
Error!
,
Error!
) = …………….
Définition :
L’angle orienté (
Error!
,
Error!
) possède une unique mesure dans l’intervalle …………………. Cette mesure est
appelée ……………………………………… (
Error!
,
Error!
)
Remarques :
 La mesure principale de l’angle (
Error!
,
Error!
)est …….
 La mesure principale de l’angle (
Error!
,
Error!
)est …….

u
w
v
oI
J
Exercice : Déterminer la mesure principale d’un angle orienté dont une mesure en radians est
Error!
, –
Error!
,
Error!
III – Trigonométrie
Soit ( O ; I, J ) un repère orthonormé direct du plan orienté et C le cercle trigonométrique de centre O.
a) Angles associés et trigonométrie
Définition :
Le cosinus (sinus ) d’un angle orienté (
Error!
,
Error!
) est le cosinus ( sinus ) d’une mesure x en radians de cet
angle orienté
Ainsi cos (
Error!
,
Error!
) = cos x et sin (
Error!
,
Error!
) = sin x
Théorème
Quel que soit le nombre réel x, cos (- x) = cos x et sin (- x) = - sin x
Ce qui s’énonce aussi :
Théorème
Pour tout réel x
cos ( - x) =
sin ( - x) =
cos ( + x) =
sin ( + x) = - sin x
cos ( Error! - x) = sin x
sin ( Error! - x) =
cos ( Error! + x) =
sin ( Error! + x) = cos x
Exemples cos (-
Error!
) = et sin (–
Error!
) =
cos
Error!
= cos ( -
Error!
) = ………………….. et sin
Error!
= sin ( ) = …………………..
sin
Error!
= sin ( ) = …………………….. et cos (
Error!
) = cos ( ) = ……………………..
Exercice :Simplifier des expressions
Soit un nombre réel x
Exprimer A à l’aide de cos x et sin x. A = 3 sin ( x +  ) – cos (x +
Error!
) + 2 cos (
Error!
- x) – sin (- x)
b) Equations trigonométriques
Propriétés
Soit α un réel donné ;
L’équation cos x = cos α admet comme solutions les réels …
L’équation sin x = sin α admet comme solutions les réels…
3 ) Propriétés des angles orientés
Théorème : Relation de Chasles
Quels que soient les vecteurs non nuls
Error!
;
Error!
, et
Error!
,

(
Error!
,
Error!
) + (
Error!
;
Error!
) = (
Error!
;
Error!
) (2)
Exemple : si
Error!
est une mesure de (
Error!
,
Error!
) et si -
Error!
est une mesure
de (
Error!
;
Error!
) alors une mesure de (
Error!
;
Error!
) est
Théorème
Pour tous vecteurs non nuls
Error!
et
Error!
:
 (Error!, Error!) = - (Error! ; Error!)
(2 ) (1)
 (-Error! ; Error!) = (2)
(3)
 (Error! ; - Error!) = (Error! , Error!) + 
(2 ) (2)
 ( -Error! ; - Error!) = (Error! , Error!)
(2) (4)
Les figures ci-dessous illustrent ces résultats et permettent de les retrouver
u
v
u
v
u
v
u
v
Exercice
ABC est un triangle équilatéral tel que (
Error!
;
Error!
) =+
Error!
.
Calculer la mesure principale de chacun des angles orientés (
Error!
,
Error!
) ; (
Error!
;
Error!
) ; (
Error!
;
Error!
) ; (
Error!
;
Error!
)
4) Angles orientés et colinéraité
Soient
Error!
et
Error!
deux vecteurs non nuls
Si
Error!
et
Error!
sont coliméiares et de même sens alors (
Error!
,
Error!
) =
Alignement, Parallélisme
Les points M, A et B deux à deux distincts, sont alignés si et seulement si : (
MA
,
MB
) = …………… ou
(
MA
,
MB
) = ……………
Soient A, B, C et D des points deux à deux distincts.
Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si (
AB
,
CD
) = ……………… ou (
AB
,
CD
)