Modèle mathématique. - Mathématiques au lycée Bellepierre
publicité
TRIGONOMETRIE I. Le cercle trigonométrique 1) Définitions Le plan est muni d’un repère orthonormal (O, I, J). On appelle cercle trigonométrique de centre 0 le cercle C de rayon 1 orienté dans le sens positif c’est-à-dire ……………….. des aiguilles d’une montre.(On dit aussi sens direct ou sens trigonométrique.) Le repère orthonormal (O, I, J) est dit direct et le plan orienté ( c'est-à-dire tous les cercles du plan sont orientés dans le sens direct ). Imaginons la droite graduée (IK) comme une ficelle qu’on enroule autour du cercle. L’enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique à partir de I permet de repérer chaque point M du cercle par une infinité de réels Si x est un de ces réels alors les autres dont de la forme x + k.2. On dit alors que M est le point – image du réel x et de tous les réels x + k.2. Exemples :Le point I est le point –image de Le point J est le point –image de …………. 2) Le radian Définition : Soit C un cercle de centre O et de rayon 1 , le radian ( rad ) est la mesure de l’angle au centre qui intercepte un arc de longueur 1 . On a la correspondance : rad Le tableau suivant permet de passer des degrés aux radians et inversement, Degrés Radians d α C’est un ……………… Exemple Donner la mesure en radians d’une angle de 126°. Donner la mesure en degrés d’un angle de Error! rad. 3) Cosinus et sinus d’un nombre réel . Le plan est muni d’un repère orthonormal (O, I, J) direct . Définitions : Soit x un nombre réel et M le point –image de x sur le cercle trigonométrique Le cosinus du réel x est l’abscisse du point M. Le sinus du réel x est l’ordonnée du point M. M ( ……………………………… Propriétés : Pour tout réel x et tout entier relatif k : …… cos x …… et …… sin x …… ……………………… ……………………… et ……………………… Relation fondamentale ………………. ……………………… Valeurs remarquables : Mesure x en radians … … … … … … Mesure x en degré … … … … … … cos x … … … … … … sin x … … … … … … II) Mesures d’un angle orienté Définitions : Tout couple (Error!, Error!) de vecteurs non nuls détermine un angle orienté. Soient M et N deux points du cercle trigonomérique repérés par les réels x et y alors une mesure de l’angle orienté ( Error!, Error!) est y – x Soit Error! et Error!deux vecteurs non nuls , il existe des points M et N du cercle trigonométrique tels que Error!et Error! d’une part , Error! et Error! d’autre part soient colinéaires et de même sens . Une mesure en radians de l’angle orienté (Error!, Error!) est une mesure de l’angle orienté ( Error!, Error!). Propriété : Un angle orienté possède une infinité de mesures. Si x est une mesure de l’angle orienté (Error!, Error!) Alors toutes les mesures de cet angles en radians sont de la forme ……………… où k On note (Error!, Error!) = x + 2k près ». . et on lit « l’angle orienté ( u , v ) a pour mesure x à un multiple de 2 On note aussi ………………………… et on lit « l’angle orienté (Error!, Error!) a pour mesure x modulo 2 ». Cas particuliers : L’angle nul (Error!,Error!) = ……………. L’angle plat : (Error!,Error!) = (Error!,Error!) = ……………. Définition : L’angle orienté (Error!, Error!) possède une unique mesure dans l’intervalle …………………. Cette mesure est appelée ……………………………………… (Error!, Error!) Remarques : La mesure principale de l’angle (Error!,Error!)est ……. La mesure principale de l’angle (Error!,Error!)est ……. Exercice : Déterminer la mesure principale d’un angle orienté dont une mesure en radians est Error! , – Error!, Error! III – Trigonométrie Soit ( O ; I, J ) un repère orthonormé direct du plan orienté et C le cercle trigonométrique de centre O. a) Angles associés et trigonométrie Définition : Le cosinus (sinus ) d’un angle orienté (Error!, Error!) est le cosinus ( sinus ) d’une mesure x en radians de cet angle orienté Ainsi cos (Error!, Error!) = cos x et sin (Error!, Error!) = sin x Théorème Quel que soit le nombre réel x, cos (- x) = cos x et sin (- x) = - sin x Ce qui s’énonce aussi : Théorème Pour tout réel x cos ( + x) = sin ( + x) = - sin x cos ( - x) = sin ( - x) = cos ( Error! - x) = sin x sin ( Error! - x) = Exemples cos (- Error! ) = cos ( Error! + x) = sin ( Error! + x) = cos x et sin (– Error!) = cos Error! = cos ( - Error!) = ………………….. et sin Error! = sin ( ) = ………………….. ) = …………………….. et cos (Error!) = cos ( sin Error! = sin ( Exercice :Simplifier des expressions Soit un nombre réel x Exprimer A à l’aide de cos x et sin x. b) Equations trigonométriques ) = …………………….. A = 3 sin ( x + ) – cos (x + Error!) + 2 cos ( Error! - x) – sin (- x) Propriétés Soit α un réel donné ; J L’équation cos x = cos α admet comme solutions les réels … o I L’équation sin x = sin α admet comme solutions les réels… 3 ) Propriétés des angles orientés Théorème : Relation de Chasles Quels que soient les vecteurs non nuls Error! ; Error!, et Error!, w v u (Error!, Error!) + (Error! ; Error!) = (Error! ; Error!) (2) Exemple : si Error! est une mesure de (Error!, Error!) et si - Error! est une mesure de (Error! ; Error!) alors une mesure de (Error! ; Error!) est Théorème Pour tous vecteurs non nuls Error! et Error! : (Error!, Error!) = - (Error! ; Error!) (2 ) (1) (-Error! ; Error!) = (2) (3) (Error! ; - Error!) = (Error! , Error!) + (2 ) (2) ( -Error! ; - Error!) = (Error! , Error!) (2) (4) Les figures ci-dessous illustrent ces résultats et permettent de les retrouver v v u v u v u u Exercice ABC est un triangle équilatéral tel que (Error! ; Error!) =+ Error!. Calculer la mesure principale de chacun des angles orientés (Error!, Error!) ; (Error! ; Error!) ; (Error! ; Error!) ; (Error! ; Error!) 4) Angles orientés et colinéraité Soient Error! et Error! deux vecteurs non nuls Si Error! et Error! sont coliméiares et de même sens alors (Error!, Error!) = Alignement, Parallélisme Les points M, A et B deux à deux distincts, sont alignés si et seulement si : ( MA , MB ) = …………… ou ( MA , MB ) = …………… Soient A, B, C et D des points deux à deux distincts. Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si ( AB , CD ) = ……………… ou ( AB , CD )
