Madame la Présidente

C.Cavarroc – G.Lauton – C.Pohardy
UPEC / DAEU-B – TD 7
DISTANCES – ANGLES – DROITES & CERCLES
13 – 12 – 10
But : le produit scalaire fait le lien entre angles et distances pour les calculs dans une figure (droites, cercles, …).
Angles de vecteurs
On appelle angle de 2 vecteurs U et V la « portion d’espace »
délimitée par U et V dans le plan orienté (positif = sens contraire
Unités d’angles : la
conversion
tours  radians :
des aiguilles d’une montre dit « trigonométrique »). Cet angle noté
1 Tour = 2 π radians
( U ; V ) se mesure par un nombre réel θ, positif ou négatif,
exprimé en tours ou fraction de tour, en degrés, ou en radians.
Périmètre d’un cercle
de rayon 1 :
1 tour = 360 degrés = 2 π radians.
1 Tour = 2 π mètres
1/2 tour = 180 degrés = π radians.
1/4 tour = 90 degrés = π/2 radians.
C’est pour cela que
l’on utilise le radian.
Ci-contre, θ = ( U ; V ) = 1/8 tour ou 45 deg ou π/4 rd.
Fig.1
Fig.2
En fait, la valeur de l’angle est définie à 1 tour près. On écrit donc
y
θ = ( U ; V ) = 1/8 tour + k tours ou 45 deg + 360 k ou π/4 rd + 2 k π.
j
Règles de calcul :
( U ; U ) = 0 + k tours
N (45 deg)
M (30 deg)
V
( U ; – U ) = 1/2 tour + k tours
U
O
( U ; V ) + ( V ; W ) = ( U ; W ) + k tours (relation de Chasles)
x
i
D’où : ( V ; U ) = – ( U ; V ) + k tours
Inclinaison ou angle polaire
Ici (Fig.2) : 15 = 45 – 30.
N.B. : repère (Ox ;Oy) : ( i ; j ) = 1/4 tour + k tours = π/2 rd + 2k π
( i ; U ) et ( i ; V ) mesurent par rapport à Ox les inclinaisons de U
et V, dites angles polaires de U et V. Ici : 30 deg et 45 deg.
Vu la relation de Chasles :
(U;V)=(i;V)–(i;U)
= angle polaire extrémité – angle polaire origine.
1. Angles et triangles
a. Écrire sous la forme ( U ; V ) les 3 angles notés ^A, ^B et ^C du
triangle (ABC) (Fig.3) orientés dans le sens trigonométrique, formés
par les 6 vecteurs joignant entre eux les 3 sommets A, B et C.
Fig.3
Montrer par la relation de Chasles que la somme de ces 3 angles
est égale à 1/2 tour, ou 180 degrés, ou π radians.
K
b. Tracer la bissectrice intérieure issue de A qui partage  en 2 et
croise (BC) en E. Calculer Ê1 = (EA ; EB) et Ê2 = (EA ; EC) en
fonction de ^A, ^B et ^C.
L
c. Tracer les hauteurs issues de A, B et C, qui croisent (BC), (CA)
et (AB) en H, K et L. Montrer que la longueur || CL || est : b sin ^A.
d. Montrer que l’aire S de (ABC) est égale à : S = (1/2) b c sin ^A.
Rappel des notations : a = || BC ||, b = || CA ||, c = || AB ||.
j
i
N.B. : les 3 hauteurs se croisent en un même point.
Pour les calculs dans un triangle (ABC), on désigne souvent par a, b et c les longueurs des côtés opposés aux sommets A, B
et C. On retient pour les angles ^A, ^B et ^C des valeurs comprises entre 0 et 90 deg (aigu) ou entre 90 et 180 deg (Obtu).
e. Toto placé en un point T observe sur le plan du sol 2 plots A
et B distants de 1200 mètres; il sait qu’il est à 900 mètres de A
et il voit le segment AB sous un angle de 45 degrés. Annoter la
figure ci-contre. Déterminer quelle est sa distance à B.
f. Toto, mesurant 1,60 mètres, est placé à 50 mètres d’une
colonne qu’il voit sous un angle de 30 degrés. Annoter la figure
ci-contre. Déterminer quelle est la hauteur de cette colonne?
N.B.
tracer la
hauteur
(AH).
A
Fig.4
B
T
Fig.5
N.B. : placer sur la colonne le point H que Toto voit de sa
hauteur à l’horizontale.
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GL
1
Produit scalaire
Partant de 2 vecteurs U et V tels que ( U ; V ) = θ, on calcule :
U . V = || U || x || V || cos θ
C’est un nombre appelé produit scalaire des 2 vecteurs ; il est
égal à 0 s’ils sont perpendiculaires car cos π / 2 = 0. Inversement,
si U . V = 0 et U ≠ 0 ≠ V , alors UV. Cette opération vérifie :
U . V = V . U ; a U . b V = (a b) U . V ; : U . ( V + W) = U . V + U . W.
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On écrit pour les vecteurs unitaires i
. i j
et j la table de multiplication de ce
i 1 0
produit scalaire :
j 0 1
si U = a i + b j et V = c i + d j alors : U . V = a c + b d
Si (D) est une droite dirigée par U (a ; b) et si (D’)(D),
(D’) est dirigée par U’ (–b ; a) car U . U’=0. Les pentes
sont : m = b/a et m’ = – a/b. On note : m . m’ = – 1 .
2. Applications du produit scalaire
Calcul d’angles :
d. En partant de BC = AC – AB, montrer l’égalité
a. Pour le triangle de la figure 3 (page 1), calculer à l’aide de
produits scalaires les 3 angles au sommet ^A, ^B et ^C.
(théorème d’Al Kashi) : a2 = b2 +c2 – 2 b c cos ^A.
b. Comparer avec le calcul basé sur des tangentes d’angles.
c.  Dans le plan repéré par (O, i, j), on place les points A (4,0) et
B (0,3), et on trace dans le quadrant { x  0 et y  0 } le carré
(AMNB) dont AB est l’un des 4 côtés, de centre P. Dessiner ce
carré. Déterminer, l’angle (PA ; PO) exprimé en degrés.
e.
En calculant OM . ON (Fig.2), montrer que :
cos (45 – 30) = cos 45 cos 30 + sin 45 sin 30.
En partant de AM  CB = 0, où M (x ; y) est un
point quelconque de la hauteur (Δ) = (AH), écrire
directement l’équation de cette droite.
e.
g.  Un vecteur V se projette orthogonalement en W sur un axe
dirigé par un vecteur unitaire u (fig 6). On note V ’ le symétrique de
V par rapport à l’axe. Montrer que : W = ( V . u ) u et que :
V ’ = 2 W – V. En déduire le vecteur OA’ où A’ est le symétrique
(Fig.3) du point A par rapport à (BC), et les coordonnées de A’.
Fig.6
N.B. : V = W + U où U  W. Calculer : W . U = …
3. Cercles du plan
T
Cercle (C) de centre O et de rayon R : En tout point T du cercle, la
droite (D) tangente à (C) issue de T est perpendiculaire au rayon [OT].
Étant donné une corde [AB] du cercle (C) :
- sa médiatrice (Δ) passe par le centre O et ( OA ; OB ) s’appelle
angle au centre ; appelons α sa valeur.
(D)
(Δ)
(Δ)
O
O
N
- de tout point M du cercle (situé du côté du centre par rapport à
elle) on « voit » la corde [ AB ] sous un angle constant θ = α / 2.
Si R=1 : Longueur Arc de cercle AB = angle (OA ; OB) en rd.
a. Dans le cercle de centre O (ci-contre)
on figure une corde MN de longueur 12
et la flèche HP de longueur 2. Quel est le
rayon R du cercle?
Fig.8
Une autre corde M ’N ’ a pour longueur
16. Trouver la longueur de flèche H ’ P.
c. Par 3 points M, N, P non alignés il passe un cercle (C) et un
seul. Proposer une façon de trouver le centre O de ce cercle (C).
Fig.10
’
θ
θ
A
Fig.7
M
B
N.B. : θ = (NA ; NB) = (MA ; MB)
b. Dans une coupe de glace
de forme conique (1/2-angle
au sommet 30 deg, hauteur
10) on pose une boule de
centre O, de sommet S à la
hauteur du bord. Quel est
son rayon R ?
Fig.9
Application numérique : calculer les coordonnées de ce
centre pour les points A, B, C de la figure 3.
c.  Présenter le calcul de la longueur d’une courroie
reliant deux roues circulaires (C) et (C’) de rayons
R = 4 et R ’’ = 1, avec un entraxe OO ’ de longueur 6.
N.B. : on pourra tracer le rectangle (O’T’TU).
d.  On marque sur la courroie un point M qui au
départ coïncide avec le point T sur la roue (C). Où se
trouve ce point mobile M après un tour complet (sens
trigo.) de la petite roue (C’) ? Même question si c’est
la grande roue (C) qui a effectué un tour complet.
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