Physique. Concours Blanc 1. Devoir surveillé N°6.

PCSI. 05/06. 4heures. Calculatrice autorisée.
Physique. Concours Blanc 1.
Devoir surveillé N°6.
Les candidat(e)s veilleront à exposer leurs raisonnements avec clarté et précision, rédiger avec soin dans
un français correct, et reporter les numéros des paragraphes et sous-paragraphes dans la marge pour
chaque question.
Il est demandé de justifier clairement les relations utilisées et les réponses. Toute réponse non justifiée ne
sera pas prise en considération.
Tous les résultats littéraux ou numériques devront être encadrés.
Toutes les grandeurs physiques seront exprimées en fonction des paramètres du problème (ou des
paramètres spécifiés) et simplifiées à l'extrême.
Exercice 1. Mouvement d'une pièce de monnaie sur un disque en rotation.
Pour les applications numériques, on prendra :
- g = 10 N kg-l
- R = l m
- h = l m
- a = 0,1 m
- m = 0,01 kg
- s = 0,53
- d = 0,36
-  = 0,8
Soit un référentiel terrestre galiléen
o
=
, , ,
xo yo z
o
O e e e
, où
z
e
représente la verticale ascendante. Par
rapport à ce référentiel, on considère un disque horizontal en acier, D, de rayon R et de centre O. Le
disque peut tourner autour de l'axe vertical
z
e
passant par son centre O et se situe à une hauteur h du sol
horizontal. On considère le référentiel =
, , ,
x y z
O e e e
lié au disque. Le mouvement de rotation du
disque par rapport à
o
est repéré par l’angle
,
xo x
ee
, orienté de
xo
e
vers
x
e
(cf. figure). Les axes
xo
e
et
xo
e
sont confondus à l'instant de la mise en mouvement du disque qui sera pris comme origine des
temps. Le mouvement donné au disque (à t = 0) est un mouvement de rotation uniforme caractérisé
par
/oz
e
. Le champ de pesanteur terrestre est considéré uniforme
z
g ge
.

Une pièce de monnaie en cuivre est posée sur le disque. Elle est assimilée à un point matériel M, de masse
m. Elle est placée sur le disque avant sa mise en mouvement en A (a, 0, 0) avec 0 < a < R. Le contact
entre M et D est caractérisé par un coefficient de frottement solide statique s > 0 et un coefficient de
frottement solide dynamique d (0 < d < s).
On note :
R N T
la force de contact exercée par le disque sur le point M.
z
N Ne
sa composante normale au disque.
xy
xy
T T e T e
sa composante dans le plan du disque.
x y z
OM xe ye ze  
le vecteur position du point M.
A. Equilibre de la pièce dans R.
On suppose dans un premier temps la pièce en équilibre dans le référentiel R du disque.
Donner l'expression des forces d'inertie dans . Les exprimer en fonction de m, a, et .
Déterminer dans la base de R,
1.1.1 Phase précédant la mise en mouvement de la pièce
a. Exprimer (t),
R/R 0
et d
R/R 0
/dt en fonction de .
b. c. Rappeler les lois de Coulomb sur le frottement entre deux solides.
d. Ecrire les équations d'équilibre de M dans sa position initiale A.
e. Donner la condition pour que M soit à l' équilibre.
f. Déterminer l'accélération maximale d du disque pour qu'au démarrage (à t = 0+) le point M reste
immobile. A.N.
g. Calculer, en fonction de  et du rapport  = d/ et dans le cas  < d, le temps tl au bout duquel
le point M se met en mouvement.
h. Calculer, en fonction de  et , la vitesse angulaire de rotation l atteinte par le disque lorsque le
point M se met en mouvement.
i. Calculer de même, l'accélération maximale r pour que le point M reste immobile pendant au
moins une rotation du disque. A.N. : calculer r et r = d/r.
1.1.2 Conditions initiales du mouvement
On suppose désormais, et pour toute la suite,  < r
a. Montrer qu' alors 2 peut être considéré comme grand devant 1.
b. En déduire une expression approchée de l. A.N.
c. En déduire une expression approchée de tl. A.N. : calculer tr = tl (r).
d. Donner une borne supérieure des erreurs relatives correspondantes : tl / tl et l / l. A.N.
e. Comparer alors ||Tx|| et ||Ty|| à l'instant tl–.
f. En déduire la direction approchée initiale du mouvement de M et des valeurs initiales
approchées Tl– et Tl+ de T à tl– et tl+. A.N.
1.2 Mouvement
Dès que le point M se met en mouvement, la vitesse de rotation du disque est maintenue constante à
la valeur l qu'elle avait à ce moment là.
1.2.1 Equations différentielles du mouvement
a. Etablir les équations différentielles exactes du mouvement de M vérifiées par x, y et z.
b. Calculer, en fonction de  = s – d et de g, l'accélération initiale approchée à tl+. A.N.
1.2.2 Mouvement guidé
A partir de maintenant et pour toute la suite du mouvement sur le disque, la pièce est contrainte
à se déplacer suivant ex.

a. Etablir l' équation horaire du mouvement de M. On exprimera x, y et z en fonction de a, l, tl et 
= d /s.
b. Déterminer alors, en fonction de l, r = R/a,  et , l'instant ts où la pièce arrive au bord du
disque. A.N. : calculer pour  = r l'instant d'arrivée au bord tb et la durée du mouvement  = tb –
tr.
c. Donner l'expression de l'évolution temporelle de la force de contact R. A.N. : la calculer à tb.
d. Donner une estimation de la limite supérieure du déplacement ys que la pièce aurait eu à l'instant
ts si le mouvement n'avait pas été guidé. A.N. Conclusion ?
2. Sortie du disque
2.1 On s'intéresse ici aux conditions initiales du mouvement de M par rapport au sol (référentiel
R0).
a. Dans les conditions du mouvement guidé, calculer la vitesse Vs de M par rapport à R dans la base
de R. Commenter ce résultat. A,N.
b. Calculer l'angle s qu'elle fait avec
ex0
. A.N. : calculer sa valeur r pour  = r (on précisera le
nombre de tours complets effectués).
c, Soit V0 la vitesse de M par rapport à R0. Calculer sa norme V0. A.N.
d. Calculer l'angle  qu'elle fait avec l'axe
ex0
. A.N. : calculer sa valeur r pour  = r.
2.2 On désigne désormais par t0 = 0 l'instant origine où la pièce quitte le disque. Son point de sortie
M0 est choisi comme origine du référentiel du laboratoire : R0' =
M0,ex0,ey0,ez
.
Le disque a été accéléré avec une accélération angulaire  de telle sorte que la vitesse de M à l'instant
t0 soit parallèle à
ex0
et de même sens : V0 = V0
ex0
avec V0 > 0.
On prendra pour les applications numériques V0 = 10 m/s.
a. Déterminer la vitesse
V1
en M1 à l'instant où le point M entre en contact avec le sol. On donnera
sa norme et ses composantes dans R0'. A.N.
b. Calculer la durée de la chute c. A.N.
c. Calculer alors la distance horizontale parcourue d0. A.N .
A Notion d'harmoniques.
-
+
R2
2R1
R1
C1
C1
e(t)
s(t)
Circuit II
A
B
A.II Filtre sélectif.
On étudie le montage ci-contre:(circuit II)
L’amplificateur opérationnel est idéal
(i+ = 0 et i- = 0)

et fonctionne en régime linéaire
(V+ - V- = 0)
A.II.1. Fonction de transfert.
On impose à l’entrée une tension e(t) sinusoïdale de pulsation .
A.II.1.a. On définit le transfert en tension T()=s(t)/e(t). Montrer que le transfert en tension ne dépend pas du
temps, et justifier que l’étude de l’évolution de T() en fonction de  permet de connaître le comportement en
fréquence du circuit.
A.II.1.b. Pourquoi étudie-t-on le transfert pour une tension sinusoïdale ?
A.II.1.c. Établir le système d’équations vérifiées par VA , VB , S en fonction de E et des éléments du montage.
A.II.1.d. Montrer que l’on peut mettre T() sous la forme
ω
ω
ω
1
11 1
1
1
)(
CR
CRj
T
e
avec
21
21
eRR R.R2
R
A.II.1.e. Mettre T() sous la forme canonique
ω
ω
ω
ω
jQ11
ω
0
0
)(T
et identifier Q et 0 en fonction de R1, R2 et
C1. Calculer la valeur numérique de Q, 0 et f0 = 0/2.
A.II.1.f. Calculer les valeurs à donner à R1, R2 et C1 pour avoir 0 = 36 kHz , le facteur de qualité Q étant
inchangé.
A.II.2. Etude du gain.
On étudie
)(T)(T 
,
A.II.2.a. Montrer que T() passe par un maximum pour une valeur de  que l'on exprimera.
A.II.2.b. Définir, puis calculer les pulsations de coupure à - 3 dB en fonction de 0 et Q.
En déduire la bande passante B .
A.II.2.c. Déduire de ce qui précède une interprétation possible du facteur de qualité Q.
A.II.2.d. Calculer numériquement la bande passante en fréquence Bf (Bf = B / 2).
A.II.2.e. Tracer l’allure de T().
A.II.3 Etude pratique
A.II.3.a. Représenter un montage expérimental qui permettrait de visualiser e(t) et s(t). On fera apparaître tous les
appareils et connexions nécessaires.
A.II.3.b. Décrire un protocole expérimental qui permettrait d'étudier le comportement en fréquence du circuit.
A.II.3.c. L'A.O est alimentée avec une source (+15V, - 15V).
A quoi sert cette alimentation ?
Que se passerait-il si l'amplitude théorique de s(t) dépassait 15 V ?
A.II.3.d. Que se passerait-il si on inversait les bornes + et – de l'A.O. dans le circuit II ?
A.II.4. Analyseur de Fourier élémentaire.
On met à l’entrée de ce circuit II le signal e(t) représenté ci-contre (figure II.4).
avec f =1/T= 3,0 kHz et E = 10 V.
e(t
)
t
T
E
figure II.4

On montre que l’on peut décomposer le signal e(t) en une combinaison linéaire de sinusoïdes sous la forme :
...t.f5.π2sin
π5E2
t.f3.π2sin
π3E2
t.f.π2sin
π
E2
2
E
e(t) 
A.II.4.a. Comment s’appellent les diverses fréquences qui apparaissent dans l’expression de e(t) ?
A.II.4.b. Tracer l'allure du signal de sortie s(t) si le circuit II est réglé pour f0 = 3,0 kHz et Q = 20.
A.II.4.c. Comment pourrait-on utiliser le circuit II pour déterminer le spectre en fréquence de e(t) ?