Mouvement d`une pièce de monnaie sur un disque en rotation

Mouvement d'une pièce de monnaie sur un disque en rotation.
Pour les applications numériques, on prendra :
- g = 10 N kg-l
- R = l m
- h = l m
- a = 0,1 m
- m = 0,01 kg
- s = 0,53
- d = 0,36
On donne :
11
e e ; e e
22
x x x x
chx shx
Soit un référentiel terrestre galiléen
o
=
, , ,
xo yo z
o
O e e e
, où
z
e
représente la verticale ascendante. Par
rapport à ce référentiel, on considère un disque horizontal en acier, D, de rayon R et de centre O. Le
disque peut tourner autour de l'axe vertical
z
e
passant par son centre O et se situe à une hauteur h du sol
horizontal. On considère le référentiel =
, , ,
x y z
O e e e
lié au disque. Le mouvement de rotation du
disque par rapport à
o
est repéré par l’angle
,
xo x
ee
, orienté de
xo
e
vers
x
e
(cf. figure). Les axes
xo
e
et
xo
e
sont confondus à l'instant de la mise en mouvement du disque qui sera pris comme origine des
temps. Le mouvement donné au disque (à t = 0) est un mouvement de rotation uniforme caractérisé
par
/oz
e
. Le champ de pesanteur terrestre est considéré uniforme
z
g ge
.
Une pièce de monnaie en cuivre est posée sur le disque. Elle est assimilée à un point matériel M, de masse
m. Elle est placée sur le disque avant sa mise en mouvement en A (a, 0, 0) avec 0 < a < R. Le contact
entre M et D est caractérisé par un coefficient de frottement solide statique s > 0 et un coefficient de
frottement solide dynamique d (0 < d < s).
On note :
R N T
la force de contact exercée par le disque sur le point M.
z
N Ne
sa composante normale au disque.

xy
xy
T T e T e
sa composante dans le plan du disque. On pourra aussi écrire :
T Tu
où
u
est un
vecteur unitaire défini par la vitesse de M dans soit
/
/
M
M
vv
T T T v
v
x y z
OM xe ye ze  
le vecteur position du point M.
A. Equilibre de la pièce dans R.
On suppose dans un premier temps la pièce en équilibre dans le référentiel du disque.
1. Donner l'expression des forces d'inertie dans . Les exprimer en fonction de m, a, et .
2. Rappeler les lois de Coulomb sur le frottement entre deux solides.
3. Ecrire les équations d'équilibre de M dans sa position initiale A.
4. Donner la condition que doit vérifier pour que M soit à l’équilibre dans . Faire
l’application numérique. On note
l
cette valeur particulière.
B. Mouvement sur le disque.
La vitesse de rotation du disque est réglée sur la valeur
l
. Le point M se met alors en mouvement.
5. Etablir les équations différentielles exactes du mouvement de M vérifiées par x, y et z en
fonction de
, , , , , ,
dg x y x y
.
A partir de maintenant et pour toute la suite du mouvement sur le disque, la pièce est contrainte à se
déplacer suivant
x
e
.
6. Etablir l’équation horaire du mouvement de M. On exprimera x, y et z en fonction de a, , t et
=
d / s.
7. Déterminer alors, en fonction de , r = R/a et , l'instant
s
t
où la pièce arrive au bord du disque.
Faire l’application numérique.
8. Dans les conditions du mouvement guidé, exprimer
/M
v
vitesse de M dans . Quelle est sa
valeur à la date
s
t
. Faire l’application numérique.
9. Soit
/o M o
vv
la vitesse de M par rapport à
o
. Exprimer cette vitesse. Quelle est sa valeur à
la date
s
t
. Faire l’application numérique.
10. Donner l'expression de l'évolution temporelle de la force de contact
R
en fonction de
, , , , ,
d
m g a
.
DTL6.CB. 05/06.