LES TRIANGLES

Chapitre G2 - LES TRIANGLES
 Savoir construire un triangle…
a) … quand on connaît les longueurs de trois côtés
1er exemple Construisez un triangle ABC tel que AB = 8 cm, AC = 6 cm et BC = 4,5 cm.
2ème exemple Construisez un triangle DEF tel que DE = 10 cm, EF = 3,5 cm et FD = 5,5 cm.
Cette construction n’est pas possible !
Car 3,5 + 5,5 = 9 et 9  10
3ème exemple Construisez un triangle GHI tel que GH = 6 cm, GI = 2,5 cm et IH = 3,5 cm.
Le point I appartient au segment [GH]

b) … quand on connaît les longueurs de deux côtés et la mesure de l’angle entre ces deux côtés
1er exemple Construisez un triangle JKL tel que JK = 6 cm, JL = 3 cm et
KJLˆ
= 50°.
2ème exemple Construisez un triangle MNO tel que MN = 7 cm, MO = 5 cm et
NMO ˆ
= 130°.
c) … quand on connaît la longueur d’un côté et la mesure des deux angles adjacents à ce côté
Exemple Construisez un triangle PQR tel que QP = 3 cm,
RPQ ˆ
= 81° et
RQP ˆ
= 72°.

 Propriétés générales des triangles
a) Inégalité triangulaire ( cf. §  a) )
Propriété
Dans un triangle, la longueur d’un côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.
On a donc :
AB < BC + AC
BC < AB + AC
AC < AB + BC
Conséquence Dans un triangle, si la longueur du plus grand côté est plus petite que la somme
des longueurs des deux autres côtés, alors on pourra construire ce triangle.
Cas de l’égalité Si trois points A, B et C sont tels que AB + BC = AC
alors le point B appartient au segment [AC].
b) Somme des mesures des angles d’un triangle
En réalisant les mesures demandées sur les 4 triangles construits au § , complétez le tableau ci-dessous :
Triangle
Mesure des angles (en °)
Somme des mesures des angles (en °)
ABC
CABˆ
=
CBAˆ
=
BCA ˆ
=
CABˆ
+
CBAˆ
+
BCA ˆ
=
JKL
KJLˆ
= 50°
LKJ ˆ
=
JLKˆ
=
KJLˆ
+
LKJ ˆ
+
JLKˆ
=
MNO
NMO ˆ
= 130°
ONM ˆ
=
MON ˆ
=
NMO ˆ
+
ONM ˆ
+
MON ˆ
=
PQR
RPQ ˆ
= 81°
RQP ˆ
= 72°
QRP ˆ
=
RPQ ˆ
+
RQP ˆ
+
QRP ˆ
=
Remarque : pour la mesure d’un angle, un écart de 1° maximum est acceptable.
Propriété
Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°.
Pour réviser l’utilisation du rapporteur :
 voir le site « le permis rapporteur » :
http://www.ac-amiens.fr/pedagogie/maths/123maths/6/angles/exo_rapporteur/permisrapporteur_record.html
 voir le site « Mathenpoche » : http://mathenpoche.sesamath.net
> niveau 6ème > Géométrie > 4. Angles > Mesure d’angle

 Triangles particuliers
a) Triangle rectangle (cf. Activité 4 p 171)
Propriété
Dans un triangle rectangle, la somme des mesures des deux
angles aigus est égale à 90°.
ABC rectangle en B 
 90
ˆˆ BCACAB
Propriété réciproque
Dans un triangle, si la somme des mesures des deux angles
aigus est égale à 90° alors ce triangle est rectangle.
 906327
ˆˆ DFEFED
 EDF rectangle en D
b) Triangle isocèle ( cf. Activité 5 p 171 )
Propriété
Dans un triangle isocèle, les angles à la base ont la même
mesure.
Conséquence
Si on connaît la mesure d’un angle d’un triangle isocèle, alors
on peut déterminer la mesure des deux autres angles.
c) Triangle équilatéral
Propriété
Un triangle équilatéral est un triangle qui possède :
- trois côtés de même longueur
- trois angles de même mesure : 60°

 Droites remarquables dans un triangle
a) Médiatrices d’un triangle et cercle circonscrit
Rappel de 6ème
La médiatrice est la droite qui est perpendiculaire
à un segment et qui le coupe en son milieu.
 (d) est la médiatrice du segment [AB].
 le point M est à égale distance des points A et B.
Propriété
Dans un triangle, les trois médiatrices se coupent en un même point : on dit qu’elles sont concourantes.
Ce point est le centre du cercle qui passe par les trois sommets du triangle.
Ce cercle est appelé cercle circonscrit au triangle.
b) Médianes d’un triangle
Définition
Dans un triangle, une médiane est une droite qui
passe par un sommet et le milieu du côté opposé
à ce sommet.
 on dit que dans le triangle ICE,
(CJ) est la médiane issue de C.
b) Hauteurs d’un triangle
Définition Dans un triangle, une hauteur est une droite qui passe par un sommet
et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.