AQUISAV - Evaluation

Aquisav - DOCUMENTATION
Métier : CULTURE GÉNÉRALE
Domaine de compétences : SCI- géométrie dans le plan
Code : COM-201101-012033
Intitulé de la compétence : Identifier et construire les figures planes usuelles
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SOMMAIRE
1)
INTRODUCTION
2)
MEDIATRICES
3)
TRIANGLES
4)
LA FAMILLE DES QUADRILATERES
5)
L’HEXAGONE
6)
LE DEVELOPPEMENT DES SOLIDES
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COURS
I.
INTRODUCTION
Pour construire avec précision et sûreté les différentes figures géométriques les plus courantes,
il est indispensable de bien connaître les propriétés et les particularités de chacune. Ces
connaissances permettent également de réaliser des constructions astucieuses et rapides.
Outre les figures usuelles, les droites particulières comme les médianes ou les médiatrices
donnent des solutions à des problèmes d’équilibre par exemple.
Toutes ces constructions nécessitent l’utilisation des instruments de mesure habituels : règle
graduée, équerre, compas et rapporteur.
II.
MEDIATRICE
La médiatrice d’un segment tient une place à part car, si on l’utilise souvent à partir d’une
figure donnée, elle est parfois très utile pour construire certaines figures. D’ailleurs, on parle de
la médiatrice d’un segment, alors qu’une médiane ou une hauteur ne pourra exister que par
rapport à une figure donnée.
La médiatrice d’un segment passe par le milieu du segment et forme un angle droit. Une
propriété importante de la médiatrice d’un segment est que tous les points de la médiatrice
sont à égale distance des extrémités du segment.
On peut construire la médiatrice à la règle graduée et à l’équerre mais la construction la plus
sûre se fait au compas et à la règle.
Soit le segment [AB].
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A partir du point A et du point B, on trace au compas deux arcs de cercle de même rayon qui se
coupent en M puis à partir du point A et du point B, on trace deux arcs de cercle de même
rayon qui se coupent en N.
La droite (MN) est la médiatrice du segment. Elle coupe le segment [AB] en son milieu et
perpendiculairement.
III.
TRIANGLES
La construction d’un triangle quelconque ne peut se faire que si on connait :
- La longueur des trois côtés
- Ou la longueur de deux côtés et de l’angle compris entre ces deux côtés
- Ou la longueur d’un seul côté et la mesure des deux angles adjacents à ce côté
a) Construction
 1er cas :
Soit un triangle ABC tel que AB = c, BC = a et AC = b
La construction se fait à la règle graduée et au compas.
A la règle, on trace le segment [AB] de longueur c, puis de A on trace au compas un arc
de cercle de longueur b et de B un arc de cercle de longueur a.
Leur intersection donne le troisième sommet C.
On termine la construction à la règle.

2ème cas
Soit ABC un triangle tel que AB = c, AC = b et  = α°.
La construction se fait à la règle graduée et au rapporteur.
On construit le côté [AB] de longueur c puis du point A une demi-droite faisant un angle
α avec le segment [AB].
Du point A on porte la longueur b à la règle graduée, on obtient le point C et on termine
la construction.
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
3ème cas
Soit un triangle ABC tel que AB = c, = α° et = β°.
La construction se fait à la règle graduée et au rapporteur.
On construit le côté [AB] de longueur c puis du point A, on construit au rapporteur un
angle de α° et du point B un angle de β°.
L’intersection des demi-droites donne le point C.
On termine la construction en effaçant les traits inutiles.
REMARQUE
Dans la famille des triangles, il y a une place spéciale pour les triangles rectangles, les triangles
isocèles et les triangles équilatéraux.
Leur construction peut se ramener aux cas précédents avec l’emploi du compas pour reporter
des longueurs égales dans les triangles isocèles et les triangles équilatéraux.
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b) Les droites remarquables du triangle.
 Les médianes
Une médiane passe par le milieu d’un côté et par le sommet opposé.
Les points A’, B’ et C’ étant les milieux des côtés, les segments [AA’] , [BB’]ET [CC’] sont
les médianes du triangle ABC.
Le point G, point d’intersection des médianes est le centre de gravité du triangle ABC.
Pour une plaque de forme triangulaire et d’épaisseur constante, le point G est le point
d’équilibre de la plaque. Il se situe au un-tiers de la longueur de chaque médiane en
partant de la base.

Les médiatrices
Voir chapitre I pour la construction de la médiatrice d’un segment.
Le point O, point d’intersection des médiatrices étant à égale distance des extrémités de
chaque segment, est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
 Les bissectrices
La bissectrice d’un angle le partage en deux angles égaux.
On construit la bissectrice d’un angle au compas ou au rapporteur.
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Le point O, point d’intersection des bissectrices est le centre du cercle inscrit dans le
triangle ABC.
Le cercle est tangent à chaque côté du triangle.
 Les hauteurs
La hauteur d’un triangle est comme la hauteur d’une montagne, la distance la plus
courte entre le sommet et la base. A partir de chaque sommet, on construit la droite
perpendiculaire à la base opposée à ce sommet.
Le point d’intersection des trois hauteurs se nomme l’orthocentre.
IV.
LA FAMILLE DES QUADRILATERES
Un quadrilatère est une figure géométrique qui a quatre côtés.
a) Le parallélogramme
Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés parallèles et égaux deux à deux.
Soit ABCD un parallélogramme tel que AB = CD = a, BC = DA = b et de hauteur h = c.
On trace le segment [AB] de longueur a, puis en un point quelconque on trace une
droite perpendiculaire sur laquelle on mesure une longueur c. A l’extrémité de ce
segment, on trace une nouvelle droite perpendiculaire : on obtient ainsi une parallèle à
(AB].
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Du point A puis du point B, on construit un arc de cercle de rayon b en coupant la
droite parallèle à [AB].
Les points d’intersection donnent D et C.
On termine la construction.
b) Le rectangle
Un rectangle a ses côtés parallèles et égaux deux à deux (comme le parallélogramme)
qui se coupent à angle droit.
On peut faire la construction à la règle graduée et à l’équerre.
Soit un rectangle ABCD de longueur L = a et de largeur l = b.
On construit un segment de longueur a puis à chaque extrémité, on dresse à l’équerre
une demi-droite perpendiculaire à ce segment.
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Sur chaque demi-droite on construit à la règle graduée un segment de longueur b et
on termine la construction.
c) Le carré
Le carré a quatre côtés égaux parallèles deux à deux et perpendiculaires.
Même construction que le rectangle.
Soit un carré ABCD de côté a.
REMARQUE : un carré est un rectangle particulier avec tous les côtés de même
longueur.
d) Le losange
Le losange a quatre côtés égaux et ses diagonales se coupent perpendiculairement en
leur milieu.
Pour déterminer un losange, il faut connaître la longueur des diagonales.
Si on ne connaît que la longueur des côtés, il y a une infinité de possibilités.
Soit un losange de grande diagonale D de mesure a et de petite diagonale d de mesure b
On trace la grande diagonale D à la règle graduée puis sa médiatrice au compas qui
portera la petite diagonale d.
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Sur la médiatrice de D on a placé les points A et C
On termine la construction des côtés du losange.
REMARQUE : un carré est un losange particulier dont les diagonales sont égales et les
côtés perpendiculaires.
V.
L’HEXAGONE
L’hexagone régulier est un polygone à six côtés égaux.
Pour dessiner un hexagone de côté a, on trace un cercle de rayon a. On place un point, ici B, sur
le cercle et à partir de B, au compas, on reporte sur le cercle des distances égales au rayon.
On obtient ainsi les sommets de l’hexagone.
On termine la construction à la règle.
REMARQUE : si l’on joint chaque sommet au centre du cercle, on obtient six triangles
équilatéraux. On peut en déduire que l’angle intérieur séparant deux côtés consécutifs de
l’hexagone mesure 120°.
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BONUS : on utilise parfois l’hexagone pour créer un motif décoratif : une rosace à six branches.
VI.
DEVELOPPEMENT DES SOLIDES ELEMENTAIRES
a) Le cube
Un cube a six faces identiques qui sont des carrés.
Vue d’un cube en perspective cavalière.
Un des développements du cube :
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b) Le cylindre
Un cylindre a deux bases parallèles qui sont des disques et une face perpendiculaire à ces
disques.
Cylindre de hauteur H et de rayon R.
Pour développer ce cylindre, il faut calculer les dimensions du rectangle que l’on obtient en
déployant le « tube ». Une dimension de ce rectangle est égale à la longueur de la hauteur
H, et l’autre dimension est égale à la longueur du cercle de rayon R, soit 2πR.
Les bases sont les cercles de rayon R.
Développement du cylindre.
c) La pyramide
Soit une pyramide régulière à base carrée.
Pour développer cette pyramide, on construit un carré puis, sur chaque côté de ce carré, on
construit un triangle isocèle dont les côtés égaux sont les arêtes de la pyramide.
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