Devoir surveillé N°5.

PCSI. 99/00. Physique.
Devoir surveillé N°5.
Il est rappelé que votre copie est destinée à être lue et corrigée. En conséquence, une
présentation claire et lisible est recommandée. Il en sera tenu compte dans la notation.
Les questions sont numérotées. Les réponses à ces questions devront être données sous
forme littérale la plus simplifiée possible, encadrées, avant toute application numérique. Toute
réponse non justifiée sera considérée comme fausse.
Toutes les applications numériques seront effectuées dans le système international d’unités. Il
ne sera pas tenu compte des applications numériques ne comportant pas d’indications d’unités.
Il est choisi de représenter les vecteurs en caractères gras, non surmontés de flèches. Ainsi le
vecteur
AB
sera écrit AB. La valeur du vecteur AB est écrite AB.
Problème 1. Etude de quelques circuits RC.
De nombreuses parties sont indépendantes. Il est conseillé de prendre rapidement
connaissance de la totalité du sujet.
A. Réponse d'un circuit R-C à un échelon de tension.
Un dipôle AB est constitué d'un résistor de résistance R en série avec un condensateur de
capacité C (figure 1).
Lorsque l'interrupteur K est en position (1), le dipôle est alimenté par une source de tension de
f.é.m. E constante et de résistance r.
Les extrémités A et B du dipôle peuvent être court-circuitées en plaçant l'interrupteur en
position (2).
Figure 1
i(t) désigne l'intensité instantanée du courant dans le dipôle AB et u(t) la tension aux bornes du
condensateur.
Le condensateur étant initialement déchargé, on place l'interrupteur K en position (1), à l'instant
initial t = 0.
1 ) On s'intéresse à la charge du condensateur.
1.1. Déterminer l'équation différentielle liant u(t) et t.
1.2. En déduire la fonction u(t).
1.3. Qu'appelle-t-on constante de temps  du circuit ? Que caractérise-t-elle ?
1.4. Donner l'expression de l'intensité i(t).
1.5. Représenter graphiquement l'allure des fonctions u(t) et i(t).
1.6. Application numérique. R = 1 k; r = 100 ; C = 15 F.
Donner une estimation du temps nécessaire pour que le régime permanent soit
pratiquement établi dans le circuit ( on admettra que c’est le cas à partir du moment où
la tension u est supérieure à 0,99 fois la tension du régime permanent ).
1.7 Montrer qu'au bout d'un temps infini, l'énergie fournie par le générateur est également
répartie entre le condensateur et la résistance ( r + R ).
2) Au bout d'un temps très long t', on bascule l'interrupteur en position (2).
2.1.Déterminer la fonction u(t).
2.2. Donner l'expression de i(t).
2.3. Représenter graphiquement ces deux fonctions.

2.4. Donner, sans démonstration, la forme sous laquelle le condensateur restitue, au
cours de la décharge, l'énergie qu'il avait emmagasinée.
B) Résistance de fuite d'un condensateur.
Le condensateur de capacité C n'est plus idéal et présente une résistance de fuite notée Rf.
La tension aux bornes du condensateur est mesurée grâce à un voltmètre électronique parfait
(résistance interne infinie) (figure 2).
(1) A
(0) K
r (2) V condensateur
réel
R
E
B
Figure 2
On place l'interrupteur K en position (1). Lorsque le condensateur est chargé, le voltmètre
indique la tension U0.
On ouvre l'interrupteur (position neutre (0)). Au bout d'un temps t1, le voltmètre indique la
tension U1 (avec U1 < U0).
On charge à nouveau le condensateur (K en position (1)). Lorsque le voltmètre indique la
tension U0, on place brusquement l'interrupteur en position (2) afin de court-circuiter les pôles A
et B. Au bout d'un temps t2, le voltmètre indique la tension U2 (avec U2 < U1 < U0).
1. Le condensateur réel peut être schématisé par une association parallèle de deux
dipôles : capacité pure C et résistance Rf .
Exprimer Rf en fonction des données de l'énoncé.
2. Exprimer, de la même façon, la résistance R.
3. Application numérique :
C = 15 F; U0 = 7,00 V; U1 = 6,00 V; U2 = 5,00 V; t1 = t2= 30 s.
3.1. Calculer Rf.
3.2. Calculer R.
C) Circuit R-C avec A.O. idéal : montage intégrateur.
On étudie le circuit ci-dessous (figure 3), alimenté par la tension d'entrée Ve(t). L'amplificateur
opérationnel (A.O.) est supposé idéal et en fonctionnement linéaire. Le condensateur utilisé est
idéal, et sa capacité est notée C.
Figure 3
L'interrupteur K est ouvert.
1.1. Exprimer la tension de sortie VS(t) en fonction de R, C et Ve(t).
1.2. Quelle doit être la valeur de Vs à l'instant initial t = 0, pour que le circuit fonctionne en
circuit intégrateur ?
L'interrupteur K est en position fermée.
2. Quelle est la valeur de Vs?

La tension d'entrée Ve(t) est un signal en créneaux de période T.
Ve(t)= +V0 pour 0 < t < T/2
Ve(t)= -V0 pour T/2 < t < T.
A l'instant initial t = 0, on ouvre l'interrupteur K.
3.1. Déterminer la tension VS(t).
3.2. Représenter graphiquement la fonction Vs(t) dans l'intervalle [0, 2 T].
D) Simulation d'une bobine réelle.
Le montage suivant fait intervenir un condensateur de capacité C et deux résistors de
résistances respectives R1 et R2 (figure 4). On travaille en régime harmonique.
Figure 4
Ce circuit est équivalent, entre les bornes d'entrée M et N, à une bobine d'inductance pure L
montée en parallèle avec une résistance pure r.
1. Déterminer l’admittance complexe d’entrée. En déduire l’expression de L et de r en
fonction de R1 , R2 et C.
2. Application numérique. R1 = 2 k; R2= 1 k ; C = 15 F.
Calculer L et r.
3. Les inductances usuelles valent quelques dixièmes de henry. Quel est l'intérêt d'un tel
montage ?
Problème 2. Mouvements d'une particule en contact avec une cuvette
paraboloïque.
On désire étudier les mouvements possibles d'un point matériel M, de masse m, sous l'action
du champ de pesanteur g , à l'intérieur d'une cavité fixe que l'on suppose solidaire d'un
référentiel terrestre R (O, ex, ey, ez ) supposé galiléen. La surface extérieure de cette cavité est
un paraboloïde de révolution P, d'axe vertical ascendant Oz , dont l'équation en coordonnées
cylindriques (r, , z) est r2 = az avec a > 0 (Figure A-l).
Cette surface étant parfaitement lisse, le point matériel M glisse sans frottement sur P.
Compte tenu de la symétrie du problème, on utilisera les coordonnées cylindriques de M , la
base de projection étant celle de Rc(O, er, e, ez) (Figure A-l).

1. Moment cinétique.
1.1.Quelle est, en fonction des coordonnées et de leurs dérivées, l’expression, dans la
base de RC , de la vitesse de M par rapport à R .
1.2.Même question pour l'expression, dans la base de RC , du moment cinétique en O, LO
, par rapport à R. En déduire sa projection selon l'axe Oz.
1.3.Sachant que la réaction R qu'exerce P sur M est contenue dans le plan OHP et en
appliquant le théorème du moment cinétique en O, sous forme vectorielle, montrer
que la projection de LO sur Oz se conserve au cours du temps. Expliciter cette relation
de conservation en fonction de r et  . Dans la suite, pour simplifier l'écriture, on
désignera par L cette constante, qui sera prise comme une donnée.

2. Energie
2.1.Quelle est, en fonction des coordonnées et de leurs dérivées, l'expression de l'énergie
cinétique Ek de la particule M par rapport à R?
2.2.Justifier l'existence d'une énergie potentielle Ep dont dérivent les forces extérieures
agissant sur M. Exprimer Ep en fonction de r en supposant que Ep (0) = 0 .
2.3.Que peut-on dire de l'énergie mécanique de M dans le champ de pesanteur ?
3. Discussion générale du mouvement.
3.1.Déduire de ce qui précède une équation du premier ordre, à une seule inconnue, de la
forme :
mef,p E)r(E)r(Grm 
2
2
1
où G(r) est positif et sans dimension et où Ep,ef (r) est une
énergie potentielle effective.
Expliciter G(r) et Ep,ef (r) .
3.2.Représenter avec soin le graphe Ep,ef (r). Montrer que Ep,ef (r) passe par un minimum
pour une valeur rm de r que l'on exprimera en fonction de L, m, a et g, intensité du
champ de pesanteur.
3.3.Discuter, à l'aide du graphe Ep,ef (r), la nature du mouvement de M. En déduire que la
trajectoire de M sur P est nécessairement tracée sur une région de P limitée par deux
cercles définis à l'aide des constantes du mouvement et des données du problème.
Donner l’allure de la trajectoire de M.
4. Etude de quelques mouvements particuliers.
4.1.A quelle condition sur L la trajectoire de M sur P est-elle une parabole méridienne ?
4.2.Déterminer les conditions initiales auxquelles il faut satisfaire pour que la trajectoire de
M sur P soit un cercle horizontal.
4.3.Une petite perturbation écarte légèrement la coordonnée r de la valeur rm pour laquelle
Ep,ef (r) est minimal. Montrer que  = r - rm oscille avec une période que l'on calculera
dans le cas où rm = 1 m et a = 2 m . On rappelle que g = 9,8 1 m. s-2 .
Tourner la page !