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Semestre 1 – GD Math 112
A - Le langage mathématique : prise de contact
Eléments de logique : élément, ensemble, appartenance, complémentaire, intersection, réunion, inclusion, égalité, partition
(relation d'équivalence), propositions, quantificateurs, négation, conjonction, disjonction, implication, implication
réciproque, contraposée, équivalence.
Fonctions et applications : domaine de départ et d'arrivée, domaine de définition, image directe, image réciproque,
restriction, prolongement, composition, injections, surjections, bijections
Exemples de raisonnements : raisonnement direct, par disjonction des cas, par contraposition, équivalence prouvée par deux
implications, raisonnement par l'absurde, etc (à traiter en TDI pour proposer des exemples adaptés à chaque public)
B - Les bases du calcul algébrique dans R et C
Manipulation des symboles $sum$ et $prod$ illustrée par les formules à connaître et les suites numériques : identités
remarquables, formule du binôme de Newton, somme des premiers termes d'une suite arithmétique ou géométrique.
Les nombres complexes (indispensable en particulier aux parcours physique, chimie) : forme algébrique et forme
trigonométrique, écriture de certaines transformations du plan à l'aide des nombres complexes, les formules d'Euler et de
Moivre, linéarisation et application au calcul des primitives de polynômes trigonométriques, racines carrées d'un nombre
complexe, équation du second degré à coefficients complexes
C - Algèbre linéaire élémentaire et géometrie dans le plan et dans l'espace
Rn et ses sous-espaces vectoriels : combinaison linéaire de vecteurs, définition de sous-espace vectoriel, espace vectoriel
engendré par une famille finie de vecteurs, famille génératrice, vecteurs linéairement indépendants, bases, définition et
caractérisation, calcul pratique du rang d'un système de vecteurs de R n et d'une base de l'espace vectoriel engendré par ces
vecteurs par la méthode de Gauss (les coordonnées des vecteurs sont écrits en colonnes)
Applications linéaires de Rp dans Rn et calcul matriciel :
définition et écriture relativement aux bases canoniques de R p dans Rn, noyau et image d'une application linéaire, retour sur
les notions d'injection, surjection, bijection introduites au début du semestre, détermination pratique d'une base de l'image,
rang d'une application linéaire.
Opérations sur les matrices introduites en s'appuyant sur le lien avec les applications linéaires, caractérisations d'une matrice
carrée inversible.
Discussion et résolution de systèmes linéaires. Méthode de Gauss, équations et inconnues principales, inconnues
secondaires, rang du système, lien avec les applications linéaires, méthode de Gauss-Jordan pour le calcul de l'inverse d'une
matrice carrée inversible
D - Le plan et de l'espace (notions indispensables aux parcours physique).
Géométrie vectorielle et affine : vecteurs colinéaires, vecteurs indépendants, déterminants d'ordre 2 et 3, représentations
paramétriques et implicites de droites et de plans,
Eléments de géométrie euclidienne :
produit scalaire, cosinus d'un angle de deux vecteurs, bases orthonormées directes ou indirectes, produit mixte, produit
vectoriel, retour sur les équations de droites et de plan, écriture matricielle de certaines transformations du plan.
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Semestre 2 – GD MAT 123
La relation d'ordre dans R
manipulations d'inégalités dans R, la valeur absolue, la propriété de la borne supérieure, conséquences pour les suites et les
fonctions
Limites dans R et C
définition epsilonesque des limites, preuve des théorèmes admis dans le secondaire sur les limites
Etude des suites
suites de Cauchy, suites extraites, introduction aux séries numériques (définition, séries géométriques, exponentielle) liens
entre limite d'une fonction en un point et limites de suites.
Continuité
définition et caractérisations, preuve du théorème des valeurs intermédiaires, image d'un segment par une application
continue, continuité uniforme.
Dérivabilité
définition et caractérisations, sens de variation d'une fonction, extremum, point d'inflexion, preuve du théorème de Rolle et
de celui des accroissements finis, inégalité des accroissements finis et application à l'approximation, applications
contractantes, itérations et méthode de Newton, dérivées d'ordre supérieur, formule de Leibniz, formule de Taylor-Lagrange.
Comparaison des fonctions et développements limités
critères et théorèmes de comparaison, croissance comparée des fonctions usuelles, utilisation des équivalents (pour lever
une indétermination dans un calcul de limites), les développements limités, développements limités des fonctions de
référence
(la formule de Taylor-Young est admise), opérations sur les développements limités.
Applications des développements limités
calcul de limites (en cas d'indétermination et si les équivalents ne suffisent pas), tangente éventuelle à une courbe et position
par rapport à cette tangente, asymptote éventuelle à une courbe et position par rapport à cette asymptote.
Equations différentielles
du premier ordre, à variables séparées et linéaires à coefficients variables (structure de l'ensemble des solutions, méthode de
variation de la constante), linéaires du second ordre avec un premier membre à coefficients constants.
Applications du calcul matriciel
équation différentielle linéaire d'ordre supérieur (écriture matricielle de l'équation, méthode de variation des constantes).
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Semestre 2 – GD MAT 124
Algèbre
a) Structures algébriques : relations binaires, lois de composition et morphismes, groupes, exemples fondamentaux
(construction de Z à partir de N et de Q à partir de Z, première approche du groupe symétrique, du groupe des nombres
complexes de module 1, du groupe des racines n-ièmes de l'unité et de Z/nZ), sous-groupes, noyaux, puissances et ordre d'un
élément, anneaux et corps.
b) Arithmétique : nombres premiers, division euclidienne, pgcd et ppcm, sous-groupes de Z, congruences.
c) Polynômes et fractions rationnelles : anneau des polynômes, racines, formules de Taylor, corps des fractions rationnelles,
décompositions des polynômes et des fractions rationnelles.
d) Espaces vectoriels : les propriétés d'espace vectoriel vues au MAT110 traitées dans le cadre général, en particulier on sort
du cadre de Rn avec des exemples d'espaces de fonctions, de polynômes, etc. Sous-espaces vectoriels, familles génératrices,
familles libres, supplémentaires, dimension, bases, applications linéaires, projecteurs et symétries, récurrences linéaires.
2- Analyse
a) Intégration d'une fonction continue par morceaux à valeurs réelles : sommes de Darboux et sommes de Riemann,
approximations d'une intégrale définie, inégalités de la moyenne, propriétés d'une intégrale fonction de sa borne supérieure
et théorème fondamental du calcul intégral. Formules de Taylor avec reste intégral, applications.
b) Techniques de calcul de primitives : formule d'intégration par parties et dérivée d'un produit de fonctions, formule du
changement de variables et dérivée d'une composée de fonctions, primitives de fractions rationnelles (forme de la
décomposition à connaître et savoir trouver uniquement dans le cas de pôles tous réels et simples, sinon la donner), table
des dérivées et primitives des fonctions usuelles à savoir par coeur.
Compétences visées :
Définir les structures fondamentales de l'algèbre. En analyse, approfondir la notion d'intégrale et les techniques de calcul de
primitives.
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Semestre 3 – GD MAT 231
Programme résumé :
Arithmétique des entiers et des polynômes à une indéterminée à coefficients réels ou complexes.
Algèbre linéaire :
Espaces vectoriels de dimension finie, théorème de la base incomplète. Applications linéaires, noyau, image, rang.
Déterminant d'une famille de vecteurs dans une base, d'un endomorphisme. Calcul en ligne et en colonne.
Réduction des endomorphismes, valeurs propres et vecteurs propres, diagonalisation.
Compétences visées :
Bonne compréhension des bases de l'arithmétique élémentaire.
Aisance dans l'utilisation des outils de l'algèbre linéaire.
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Semestre 3 – GD MAT 232
Programme résumé :
Définition des réels. Compléments sur les suites réelles ou complexes, critère de Cauchy.
Compléments sur les séries numériques : critère de Cauchy, séries géométriques, séries de Riemann.
Séries à termes positifs : théorème de comparaison, règle de d'Alembert, de Cauchy, comparaison à une série de Riemann.
Séries absolument convergente. Séries alternées.
Sommation par paquets finis ou infinis, produit de Cauchy, théorème de Fubini.
Intégrale d'une fonction continue sur un intervalle fermé borné.
Définition d'intégrales convergentes. Théorème de comparaison.
Intégrales absolument convergentes. Lien avec les séries.
Normes sur les espaces vectoriels de fonctions. Différentes convergences de suites de fonctions.
Premiers résultats sur la convergence, la dérivabilité et l'intégrabilité des séries de fonctions.
Compétences visées :
Compléter les connaissances sur les suites, la notion d'intégrale, les séries, les réels. Etude des intégrales généralisées.
Introduction à l'étude des suites et séries de fonctions.
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Semestre 3 – GD MAT 233
Programme résumé :
Fonctions de plusieurs variables réelles.
Courbes paramétrées.
Intégrales curvilignes, courbure des courbes planes. Intégrales doubles et triples. Equations différentielles
Intégrales doubles et triples.
Equations différentielles y'=f(x,y).
Compétences visées :
Savoir tracer et étudier des courbes planes (points de rebroussement, tangentes, courbure, cercle osculateur). Déterminer le
domaine de définition d'une fonction, continuité et dérivabilité, extrema locales (leur nature). Savoir décrire la nature des
solutions d'une équation différentielles de premier et deuxième ordre en particulier pour les équations linéaires.
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Semestre 4 – GD MAT 241
Programme résumé :
Formes bilinéaires, formes quadratiques; représentation matricielle. Applications aux coniques et quadriques. Formes
sesquilinéaires, formes hermitiennes, matrices hermitiennes.
Espaces euclidiens, bases orthonormées, procédé d'orthonormalisation de Schmidt.
Endomorphisme orthogonal, matrice orthogonale.
Réduction des endomorphismes symétriques.
Compétences visées :
Les outils et les résultats de l'algèbre bilinéaire.
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Semestre 4 – GD MAT 242
Programme résumé :
Rappels sur R et sur la borne supérieure. Rappels sur les suites et séries numériques.
Suites et séries de fonctions; les différents types de convergence, continuité, dérivation et intégration.
Séries entières, fonctions développables en séries entières.
Séries trigonométriques et séries de Fourier; coefficients de Fourier réels et coefficients complexes. Théorèmes de
convergence. Egalité de Parseval et applications.
Compétences visées :
Les outils et résultats des suites et séries de fonctions, des séries entières et des séries de Fourier
Programme L1 L2 | 9
Semestre 4 – GD MAT 243
Programme résumé :
Analyse combinatoire.
Espaces probabilisés, probabilités conditionnelles, événements indépendants.
Variable aléatoire discrète, loi d'une variable aléatoire, espérance, variance,covariance, fonction génératrice, variables
aléatoires indépendantes.
Variables aléatoires à densité, fonction de répartition, espérance, variance, covariance. Couple de variable aléatoire à valeurs
réelles, densité, changement de variables, indépendance.
Théorème de De Moivre-Laplace. Loi des grands nombres.
Compétences visées :
Acquisition des premiers outils du calcul des probabilités.
Programme L1 L2 | 10
Semestre 1 – GD MAT 112
Semestre 2 – GD MAT 123
Semestre 2 – GD MAT 124
Semestre 3 – GD MAT 231
Semestre 3 – GD MAT 232
Semestre 3 – GD MAT 233
Semestre 4 – GD MAT 241
Semestre 4 – GD MAT 242
Semestre 4 – GD MAT 243
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