iv- equations differentielles.

Pc* - Analyse – JFBoutemy Page 66
IV- EQUATIONS DIFFERENTIELLES.
Objectifs: étudier les systèmes différentiels linéaires à coefficients constants et les équations différentielles linéaires scalaires d’ordre
1 ou 2.
Rem: relier cette étude à l’enseignement des autres disciplines scientifiques (systèmes mécaniques ou électriques gouvernés par une
loi d’évolution et une condition initiale, traitement du signal).
Rem: étudier le comportement du signal de sortie associé à différents types de signaux d’entrée et de dégager la signification de
certains paramètres ou comportements: stabilité, régime permanent, oscillation, amortissement, fréquences propres, résonance. On peut
être alors amené à étendre la notion de solution (fonction C1 ou C2 par morceaux).
1. Equations différentielles linéaires.
Objectifs:- Etudier les systèmes différentiels linéaires d'ordre 1 à coeffs constants, en relation avec la réduction des matrices
Etudier les équations linéaires scalaires d’ordre 1 ou 2.
Remarque: On prètera une attention particulière aux systèmes autonomes.
Remarques préliminaires.
Définition: une système d’équations différentielles est entièrement caractérisée par la donnée d’une
fonction h : RxRnxRn  Rp . Elle s’écrit en général h(x, y ,y’ ) = 0
Définition: Une solution d’un système différentiel est toute fonction  : I Rn dérivable sur I et telle
que  x  I, h(x, (x) ,’(x) ) = 0
Définition: Un problème de Cauchy est un problème différentiel du type suivant : On donne une
fonction f : RxRn  Rn . Rechercher les solutions  de l’ équation différentielle y’ = f( x, y ) et
satisfaisant à la condition initiale  (0) = y0 donné.
a) Systèmes linéaires à coefficients constants.
Définition: Une solution sur un intervalle I de l'équation différentielle X' = A X, (où A est une matrice
réelle ou complexe) est une fonction  :I Rn ou Cn telle que  t  I, ‘(t) = A.(t)
Théorème: Existence et unicité de la solution sur I du problème de Cauchy.
Remarque: La démonstration de ce résultat est hors programme.
§ Pratique de la résolution de l'équation X'=A X, où A est une matrice réelle ou complexe ( par
réduction de A à une forme diagonale ou triangulaire).
b) Equations linéaires scalaires d’ordre 1 ou 2.
Méthode: Equation (Ec) a(t) x' + b(t) x = c(t) où a. b et c sont continues : I  R ou C.
Sur tout intervalle I où a ne s’annule pas, on pose g(t)=exp
ab
. Sur un tel I, la solution générale de
l’équation sans second membre (ESSM : a(t) x' + b(t) x = 0 ) est C.g(t).
Une solution particulière de l’équation complète (Ec) peut être recherchée sous la forme (t).
)(tg
e
.
La solution générale de (Ec) est alors la somme d’une solution particulière de (Ec) et de la solution
générale del’ESSM.
Théorème: Si a ne s'annule par sur I, l'ensemble des solutions est un espace affine de dimension 1.
Etude sur des exemples du racccordement de solutions en un point où a s’annule.
Méthode: Equation a(t) x" + b(t) x' + c(t) x = d(t) où a, b, c et d sont continues : I  R ou C.
L’équation sans second membre est a(t) x" + b(t) x' + c(t) x = 0
Théorème: Lorsque a ne s'annule pas sur I, il existe une unique solution du problème de Cauchy.

Pc* - Analyse – JFBoutemy Page 67
Remarque: La démonstration de ce résultat est hors programme.
Théorème: Lorsque a ne s'annule pas sur I, l’ensemble des solutions de l'équation homogène est un
espace vectoriel de dimension 2.
Définition: Une base { x1, x2 } de cet espace vectoriel est un système fondamental de solutions,
Définition: Le wronskien est W(x1, x2 ) =
)(')('
)()(
21
21 txtx
txtx
.
Méthode: Application à la résolution de l'équation par la méthode de variation des constantes.
Proposition: Expression des solutions dans le cas où l'on connaît une solution de l'équation homogène
associée ne s'annulant pas sur I.
Exemple 1 : Résoudre le systéme différentiel
yxz
zxy
zyx
'
'
'
On est en présence d’un système diff linéaire, du 1er ordre, à coefs constants, sans sd membre
La matrice de ce système est A =
011
101
110
et le système s’écrit alors X’ = A . X.
1ère résolution. x’ = - y +z
x’’= - y’+z’ = -x +z –x +y = -2x + y + z.
x’’’= - 2x’ +y’+z’ = -2x’ +y - z
On en tire x’’’ + 3 x’ = 0
y = (x’’- x’+2x) /2
z = (x’’+x’+2x) /2
La 1ère équation a pour équation caractéristique s3 + 3 s = 0.
La solution générale de cette équation est donc x = A + B cos
3
t + C sin
3
t
d’où on déduit x’ = - B
3
sin
3
t + C
3
cos
3
t
et x’’ = - 3 B cos
3
t - 3 C sin
3
t
et donc x = A + B cos
3
t + C sin
3
t
y = (2A - B cos
3
t - C sin
3
t + B
3
sin
3
t - C
3
cos
3
t)/2
z = (2A - B cos
3
t - C sin
3
t - B
3
sin
3
t + C
3
cos
3
t)/2
Resterait à détailler pourquoi, ainsi, on obtient bien exactement l’ensemble des solutions.
2ème résolution. On constate que x’+y’+z’ = 0
et que x.x’ +y.y’ +z.z’ = 0.
Les courbes intégrales du système différentiel sont donc l’intersection
des plans x+y+z = h
et des sphères x2 +y2 +z2 = R2.
Ce sont donc les cercles d’axe la tri-sectrice (1,1,1)
3ème résolution. Diagonaliser la matrice A… sur C. Valeurs propres : 1, i
3
, -i
3
…..

Pc* - Analyse – JFBoutemy Page 68
Exemple 2 :
1°] Résoudre l’équation différentielle linéaire: y’ sin x - y cos x = - 1
2°] Résoudre l’équation différentielle linéaire: y’ sin x – 2 y cos x = - 1 – cos2x
On est en présence d’équa-diff linéaires, du 1er ordre, à coefs non constants, avec sd membre
1°] a] L’équation sans sd membre est y’ sin x - y cos x = 0.
La solution générale est, sur tout intervalle I où sin(x) ne s’annule pas : y = C exp
x
a
dt
t
t
sin
cos
.
Sur Ik =] k, (k+1) [, yk = Ck
))]sinexp([ln x
a
t
= Dk sin(x), en prenant par exemple a=
2
+ k,
b] Une solution particulière de l’équation complète est h(x) = cos(x). (évidente)
c] Sur un intervalle Ik = ] k, (k+1)[ , la solution générale de l’équation complète est donc
k(x) = cos(x) + Dk sin(x). La constante Dk étant déterminée à l’aide des conditions initiales.
d] Allons plus loin : Etude au voisinage de zéro.
Pour x > 0 0(x) = cos(x) + D0 sin(x) . En 0 la limite est 1. ’0(0) = D0
Pour x < 0 -1(x) = cos(x) + D-1 sin(x). En 0 la limite est 1. ’-1(0) = D-1
On ne peut donc obtenir une solution dérivable sur ]-,+[ que si D0 = D-1
e] De plus en plus loin … De même
On ne peut obtenir une solution dérivable sur ] (k-1),(k+1)[ que si Dk-1 = Dk
f] Conclusion
Sur un intervalle I quelconque de R les seules solutions sont (x) = cos(x) + D sin(x) .
2°] a] L’équation sans sd membre est y’ sin x – 2 y cos x = 0.
La solution générale, sur tout intervalle I où sin(x) ne s’annule pas, est : y = C exp
x
a
dt
tt sin
cos.2
.
Sur Ik =] k, (k+1) [, yk = Ck
))]sinln.2exp([ x
a
t
= Dk sin2 (x), en prenant par exemple a=
2
+ k,
b] Une solution particulière de l’équation complète est h(x) = cos(x). (évidente ou variation de constante)
c] Sur un intervalle Ik = ] k, (k+1)[ , la solution générale de l’équation complète est donc
k(x) = cos(x) + Dk sin2 (x). La constante Dk étant déterminée à l’aide des conditions initiales.
d] Allons plus loin : Etude au voisinage de zéro.
Pour x > 0 0(x) = cos(x) + D0 sin2 (x) . En 0 la limite est 1. ’0(0) = 0
Pour x < 0 -1(x) = cos(x) + D-1 sin2 (x). En 0 la limite est 1. ’-1(0) = 0
On obtiendra donc une solution dérivable sur ]-,+[ pour toute valeur de D0 et D-1 dans IR
e] De plus en plus loin … : De même
On obtiendra une solution dérivable sur ] (k-1),(k+1)[ pour toute valeur de Dk-1 et Dk dans IR
f] Conclusion
Sur un intervalle I quelconque de IR les solutions sont
(x) = cos(x) + Dk sin(x) sur chacun des intervalle Ik = ] k, (k+1)[ coupant I.
L’ensemble des solutions acceptables est donc un espace affine dont la dimension est ègale au nombre
d’intervalles dont l’intersection avec I est non vide ! ! !
g] Morale de l’histoire :
La dimension de l’espace affine des solutions d’une équa-dif linéaire d’ordre n à coefs constants est bien « n ».
Si les coefs sont non constants, il faut vous enlever cette « idée recue » du cerveau : la dimension peut être à
peu près n’importe quel entier … Il faut une étude « k par k » !

Pc* - Analyse – JFBoutemy Page 69
Exemple 3 : Résoudre l’équation différentielle linéaire
x2.y’’ - 2.x.y’ + 2.y = 2 + x3 . sin x.
On est en présence d’une équa-diff linéaire, du sd ordre, à coefs non constants, avec sd membre
a] On n’étudie cette équation que sur des intervalles où x2 (coefficient de y’’) n’est pas nul.
Sur R*+ , par exemple, on peut donc poser x = et ou t = ln(x).
Alors
dx
dt
dt
dy
dx
dy 
=
xdt
dy 1
et donc
2
2
dxyd
=
xdt
dy
dx
d1
=
22
21
xdtyd
+
2
1
xdt
dy 
L’équation (Ex) devient donc (Et) (
y
-
y
) –2 (
y
) + 2y = 2 + h(t)
b] L’équation sans sd membre. (
y
-
y
) –2 (
y
) + 2y = 0 est à coefficients constants.
L’équation caractéristique est s2-3s+2 =(s-1)(s-2) = 0.
Donc la solution générale de l’équation sans sd membre est y = C1 et + C2 e2t = C1 x + C2 x2
c] Une solution particulière de l’équation complète.
Avec le sd membre « 2 » une solution évidente est y = 1.
Avec le sd membre « 2x3 sin x » aucune solution évidente ne saute aux yeux.
d] Variation de constantes. On pose y = u x + v x2 sur l’intervalle R*+ .
Et on impose la condition supplémentaire y’ = u + 2 v x.
Le système (S)
vxuy
xvxuy
2'
..
sin x x2.y 2.x.y' - '.y'x
2
32
est alors équivalent à (S’)
xxxvu
xvxu
xvxuy
sin.2''
0''
..
2
2
Dans (S’) , les 2 dernières équations constituent un système linéaire de déterminant x2.
Sur R*+ on a donc u’ =
2
1
x
xxx
x
2sin
02
= - x.sin x, et v’ =
2
1
x
xx
x
sin1
0
= sin x.
On en tire u=
xdxx sin.
=
xx cos.
+
xdxcos
= x.cos x - sin x +C1 et v = - cos x + C2
d’où y = (x.cos x - sin x ) x +( - cos x ) x2 donc y = - x sin x .
Finalement sur R*+, + (x) = 1 – x sin x + C1 x + C2 x2 espace affine de dimension 2
e] Allons plus loin : Sur R*-, le même calcul donne - (x) = 1 – x sin x + C3 x + C4 x2
En zéro, +(0) = 1 = - (0) , ’+(0) = C1 et ’- (0) = C3 ; ’’+(0) = -2+2C2 et ’’- (0) = -2+2C4
Les solutions de (Ex) définies , continues , 2 x dérivables sur R tout entier sont donc définies par
(x) =
0 xC x C sin x x - 1
0 xC x C sin x x - 1
2
21
2
21
xsi
xsi
qui est un espace affine de dimension 2
f] Attention : Si la solution générale de l’équation sans sd membre était y = C1 x3 + C2 x4 , alors les conditions
de raccord en x = 0 n’imposeraient aucune condition aux constantes C1, C2, C3, C4,
Les solutions de (Ex) définies , continues , 2 x dérivables sur R tout entier seraient alors définies par
(x) =
0 xC xC sin x x - 1
0 xC xC sin x x - 1
4
4
3
2
4
2
3
1
xsi
xsi
qui est un espace affine de dimension 4
et non plus de dimension 2 (cf morale de l’exemple précédent !)

Pc* - Analyse – JFBoutemy Page 70
Exemple 4 :On pose A=
3 1
2 2
. Calculer exp(t A) =
( )
!
tA
n
n
0
En déduire les solutions du pb de Cauchy :
'
'
y
x
= A
y
x
,
)0(
)0(
y
x
=
0
1
a] On constate que A=
3 1
2 2
= B + I avec B=
12
12
et I=
10
01
Or B2 = 3B, et Bn = 3n-1 B (récurrence évidente) d’où An =
nkk
nBC
0
= I +
nkk
nBC
1
1
3
C’est à dire An = I +
3
1
nkk
n
C
013
B = I +
314 
n
B
On peut donc écrire exp(tA) = (
0!n
tn
) I +
3
1
0!14 n
nt
n
B = et I +
3
1
(e4t-et)B
b] La solution du problème proposé est donc
)(
)(
ty
tx
= exp(tA)
0
1
.
C’est à dire x(t) = et +
3
1
(e4t-et).2
y(t) = +
3
1
(e4t-et).2
Ex1**Résoudre les équations différentielles linéaires:
a] y’ cos2 x - y = exp( tan x ) b] - y’ sin x + y cos x = 1
c] x.y’ - 2.y + x = 0 d] x.y’ ln x - ( 1+ 3 ln x ).y = 0
e] 2 ( x - 1). y’ +y = x2+sin 2.x.
Ex2**Pour cette dernière équation, déterminer un développement limité à l’ordre 4 en 0 de celle des
solutions f qui vérifie f(0) = 0.
Ex3**Résoudre les équations différentielles linéaires:
a] y’’ + y = cos x.
b] y’’ - 3 y’+ 2 y = 2.
c] x2.y’’ - 2.x.y’ + 2.y = 2 + 2.x3 . sin x.
Ex4*Résoudre l’équation différentielle 2.x.y.y’ - y2 + 3 x2 = 0.
Ex5* 1°] Résoudre les systémes différentiels
a] (S1)
x x y z
y x y z
z x y z
'
'
'
2
2 4 2
2
b] (S2)
x x y z
y x y z t
z x y z t
'
'
'
4 3 9 1
3 4 9
3 3 8 2
c] (S3)
x x y e
y x y e
t
t
''
''
3
2 2 2
d] (S4)
x x z
y x y z
z x y z
''
''
''
2 4
3 4 12
2 5
e] (S5)
x x y
y x y
'
'
3
2 2
f] (S6)
yxz
zxy
zyx
'
'
'
2°] On pose A=
3 1
2 2
. Calculer exp(t A) =
( )
!
tA
n
n
0
Comparer aux résultats du 1°] (S5)