iv- equations differentielles.

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IV- EQUATIONS DIFFERENTIELLES.
Objectifs: étudier les systèmes différentiels linéaires à coefficients constants et les équations différentielles linéaires scalaires d’ordre
1 ou 2.
Rem: relier cette étude à l’enseignement des autres disciplines scientifiques (systèmes mécaniques ou électriques gouvernés par une
loi d’évolution et une condition initiale, traitement du signal).
Rem: étudier le comportement du signal de sortie associé à différents types de signaux d’entrée et de dégager la signification de
certains paramètres ou comportements: stabilité, régime permanent, oscillation, amortissement, fréquences propres, résonance. On peut
être alors amené à étendre la notion de solution (fonction C1 ou C2 par morceaux).
1. Equations différentielles linéaires.
Objectifs:- Etudier les systèmes différentiels linéaires d'ordre 1 à coeffs constants, en relation avec la réduction des matrices
Etudier les équations linéaires scalaires d’ordre 1 ou 2.
Remarque: On prètera une attention particulière aux systèmes autonomes.
Remarques préliminaires.
Définition: une système d’équations différentielles est entièrement caractérisée par la donnée d’une
fonction h : RxRnxRn  Rp . Elle s’écrit en général h(x, y ,y’ ) = 0
Définition: Une solution d’un système différentiel est toute fonction  : I Rn dérivable sur I et telle
que  x  I, h(x, (x) ,’(x) ) = 0
Définition: Un problème de Cauchy est un problème différentiel du type suivant : On donne une
fonction f : RxRn  Rn . Rechercher les solutions  de l’ équation différentielle y’ = f( x, y ) et
satisfaisant à la condition initiale  (0) = y0 donné.
a) Systèmes linéaires à coefficients constants.
Définition: Une solution sur un intervalle I de l'équation différentielle X' = A X, (où A est une matrice
réelle ou complexe) est une fonction  :I Rn ou Cn telle que  t  I, ‘(t) = A.(t)
Théorème: Existence et unicité de la solution sur I du problème de Cauchy.
Remarque: La démonstration de ce résultat est hors programme.
§ Pratique de la résolution de l'équation X'=A X, où A est une matrice réelle ou complexe ( par
réduction de A à une forme diagonale ou triangulaire).
b) Equations linéaires scalaires d’ordre 1 ou 2.
Méthode: Equation (Ec) a(t) x' + b(t) x = c(t) où a. b et c sont continues : I  R ou C.
b
Sur tout intervalle I où a ne s’annule pas, on pose g(t)=exp 
. Sur un tel I, la solution générale de
a
l’équation sans second membre (ESSM : a(t) x' + b(t) x = 0 ) est C.g(t).
Une solution particulière de l’équation complète (Ec) peut être recherchée sous la forme (t). e g (t ) .
La solution générale de (Ec) est alors la somme d’une solution particulière de (Ec) et de la solution
générale del’ESSM.
Théorème: Si a ne s'annule par sur I, l'ensemble des solutions est un espace affine de dimension 1.
Etude sur des exemples du racccordement de solutions en un point où a s’annule.
Méthode: Equation a(t) x" + b(t) x' + c(t) x = d(t) où a, b, c et d sont continues : I  R ou C.
L’équation sans second membre est a(t) x" + b(t) x' + c(t) x = 0
Théorème: Lorsque a ne s'annule pas sur I, il existe une unique solution du problème de Cauchy.
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Remarque: La démonstration de ce résultat est hors programme.
Théorème: Lorsque a ne s'annule pas sur I, l’ensemble des solutions de l'équation homogène est un
espace vectoriel de dimension 2.
Définition: Une base { x1, x2 } de cet espace vectoriel est un système fondamental de solutions,
x (t ) x2 (t )
Définition: Le wronskien est W(x1, x2 ) = 1
.
x1 ' (t ) x2 ' (t )
Méthode: Application à la résolution de l'équation par la méthode de variation des constantes.
Proposition: Expression des solutions dans le cas où l'on connaît une solution de l'équation homogène
associée ne s'annulant pas sur I.
Exemple 1 :
 x'  y  z

Résoudre le systéme différentiel  y '  x z
z'   x  y

On est en présence d’un système diff linéaire, du 1er ordre, à coefs constants, sans sd membre
 0 1 1 


La matrice de ce système est A =  1
0  1 et le système s’écrit alors X’ = A . X.
 1 1 0 


1ère résolution. x’ = - y +z
x’’= - y’+z’ = -x +z –x +y = -2x + y + z.
x’’’= - 2x’ +y’+z’ = -2x’ +y - z
On en tire
x’’’ + 3 x’ = 0
y = (x’’- x’+2x) /2
z = (x’’+x’+2x) /2
ère
La 1 équation a pour équation caractéristique s3 + 3 s = 0.
La solution générale de cette équation est donc
d’où on déduit
et
3 t + C sin 3 t
x’ = - B 3 sin 3 t + C 3 cos 3 t
x’’ = - 3 B cos 3 t - 3 C sin 3 t
x = A + B cos
3 t + C sin 3 t
y = (2A - B cos 3 t - C sin 3 t + B 3 sin 3 t - C 3 cos 3 t)/2
z = (2A - B cos 3 t - C sin 3 t - B 3 sin 3 t + C 3 cos 3 t)/2
et donc x = A + B cos
Resterait à détailler pourquoi, ainsi, on obtient bien exactement l’ensemble des solutions.
On constate que
x’+y’+z’ = 0
et que
x.x’ +y.y’ +z.z’ = 0.
Les courbes intégrales du système différentiel sont donc l’intersection
des plans
x+y+z = h
et des sphères
x2 +y2 +z2 = R2.
Ce sont donc les cercles d’axe la tri-sectrice (1,1,1)
2ème résolution.
3ème résolution.
Diagonaliser la matrice A… sur C. Valeurs propres : 1, i 3 , -i 3 …..
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Exemple 2 :
1°] Résoudre l’équation différentielle linéaire: y’ sin x - y cos x = - 1
2°] Résoudre l’équation différentielle linéaire: y’ sin x – 2 y cos x = - 1 – cos2x
On est en présence d’équa-diff linéaires, du 1er ordre, à coefs non constants, avec sd membre
1°] a] L’équation sans sd membre est y’ sin x - y cos x = 0.
x
La solution générale est, sur tout intervalle I où sin(x) ne s’annule pas : y = C exp
cos t
 sin t dt .
a
Sur Ik =] k, (k+1) [, yk = Ck exp([ln sin t )]ax ) = Dk sin(x), en prenant par exemple a=

+ k,
2
b] Une solution particulière de l’équation complète est h(x) = cos(x). (évidente)
c] Sur un intervalle Ik = ] k, (k+1)[ , la solution générale de l’équation complète est donc
k(x) = cos(x) + Dk sin(x). La constante Dk étant déterminée à l’aide des conditions initiales.
d] Allons plus loin : Etude au voisinage de zéro.
Pour x > 0 0(x) = cos(x) + D0 sin(x) . En 0 la limite est 1. ’0(0) = D0
Pour x < 0 -1(x) = cos(x) + D-1 sin(x). En 0 la limite est 1. ’-1(0) = D-1
On ne peut donc obtenir une solution dérivable sur ]-,+[ que si D0 = D-1
e] De plus en plus loin … De même
On ne peut obtenir une solution dérivable sur ] (k-1),(k+1)[ que si Dk-1 = Dk
f] Conclusion
Sur un intervalle I quelconque de R les seules solutions sont (x) = cos(x) + D sin(x) .
2°] a] L’équation sans sd membre est y’ sin x – 2 y cos x = 0.
x
2. cos t
dt .
sin t
a

Sur Ik =] k, (k+1) [, yk = Ck exp([ 2. ln sin t )]ax ) = Dk sin2 (x), en prenant par exemple a= + k,
2
La solution générale, sur tout intervalle I où sin(x) ne s’annule pas, est : y = C exp

b] Une solution particulière de l’équation complète est h(x) = cos(x). (évidente ou variation de constante)
c] Sur un intervalle Ik = ] k, (k+1)[ , la solution générale de l’équation complète est donc
k(x) = cos(x) + Dk sin2 (x). La constante Dk étant déterminée à l’aide des conditions initiales.
d] Allons plus loin : Etude au voisinage de zéro.
Pour x > 0 0(x) = cos(x) + D0 sin2 (x) . En 0 la limite est 1. ’0(0) = 0
Pour x < 0 -1(x) = cos(x) + D-1 sin2 (x). En 0 la limite est 1. ’-1(0) = 0
On obtiendra donc une solution dérivable sur ]-,+[ pour toute valeur de D0 et D-1 dans IR
e] De plus en plus loin … : De même
On obtiendra une solution dérivable sur ] (k-1),(k+1)[ pour toute valeur de Dk-1 et Dk dans IR
f] Conclusion
Sur un intervalle I quelconque de IR les solutions sont
(x) = cos(x) + Dk sin(x) sur chacun des intervalle Ik = ] k, (k+1)[ coupant I.
L’ensemble des solutions acceptables est donc un espace affine dont la dimension est ègale au nombre
d’intervalles dont l’intersection avec I est non vide ! ! !
g] Morale de l’histoire :
La dimension de l’espace affine des solutions d’une équa-dif linéaire d’ordre n à coefs constants est bien « n ».
Si les coefs sont non constants, il faut vous enlever cette « idée recue » du cerveau : la dimension peut être à
peu près n’importe quel entier … Il faut une étude « k par k » !
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Exemple 3 : Résoudre l’équation différentielle linéaire
x2.y’’ - 2.x.y’ + 2.y = 2 + x3 . sin x.
On est en présence d’une équa-diff linéaire, du sd ordre, à coefs non constants, avec sd membre
a] On n’étudie cette équation que sur des intervalles où x2 (coefficient de y’’) n’est pas nul.
Sur R*+ , par exemple, on peut donc poser x = et ou t = ln(x).
dy dy dt
dy 1
d  dy 1  d 2 y 1 dy  1
d2y

Alors
=
et donc
=
+

=
dx dt dx
dt x
dx  dt x  dt 2 x 2 dt x 2
dx 2
L’équation (Ex) devient donc (Et) ( y - y ) –2 ( y ) + 2y = 2 + h(t)
b] L’équation sans sd membre. ( y - y ) –2 ( y ) + 2y = 0 est à coefficients constants.
L’équation caractéristique est s2-3s+2 =(s-1)(s-2) = 0.
Donc la solution générale de l’équation sans sd membre est y = C1 et + C2 e2t = C1 x + C2 x2
c] Une solution particulière de l’équation complète.
Avec le sd membre « 2 » une solution évidente est y = 1.
Avec le sd membre « 2x3 sin x » aucune solution évidente ne saute aux yeux.
d] Variation de constantes. On pose
Et on impose la condition supplémentaire
y = u x + v x2 sur l’intervalle R*+ .
y’ = u + 2 v x.
x 2 .y' ' - 2.x.y'  2.y  x 3 sin x

Le système (S)  y  u.x  v.x 2
est alors équivalent à (S’)
 y '  u  2vx

 y  u.x  v.x 2

2
u ' x  v' x  0
u '  v'2 x  x.sin x

Dans (S’) , les 2 dernières équations constituent un système linéaire de déterminant x 2.
0
x2
1
Sur R*+ on a donc u’ = 2
= - x.sin x,
x x sin x 2 x
On en tire u=
et v’ =
1 x
x2 1
0
x sin x
  x.sin xdx = x.cos x +  cos xdx = x.cos x - sin x +C
1
= sin x.
et v = - cos x + C2
d’où y = (x.cos x - sin x ) x +( - cos x ) x2 donc y = - x sin x .
Finalement sur R*+, + (x) = 1 – x sin x + C1 x + C2 x2 espace affine de dimension 2
e] Allons plus loin : Sur R*-, le même calcul donne - (x) = 1 – x sin x + C3 x + C4 x2
En zéro, +(0) = 1 = - (0) , ’+(0) = C1 et ’- (0) = C3 ; ’’+(0) = -2+2C2 et ’’- (0) = -2+2C4
Les solutions de (Ex) définies , continues , 2 x dérivables sur R tout entier sont donc définies par
1 - x sin x  C1 x  C2 x 2
(x) = 
1 - x sin x  C1 x  C2 x 2
si x  0
si x  0
qui est un espace affine de dimension 2
f] Attention : Si la solution générale de l’équation sans sd membre était y = C1 x3 + C2 x4 , alors les conditions
de raccord en x = 0 n’imposeraient aucune condition aux constantes C1, C2, C3, C4,
Les solutions de (Ex) définies , continues , 2 x dérivables sur R tout entier seraient alors définies par
1 - x sin x  C1 x 3  C2 x 4 si x  0
(x) = 
qui est un espace affine de dimension 4
1 - x sin x  C2 x 3  C4 x 4 si x  0
et non plus de dimension 2 (cf morale de l’exemple précédent !)
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Exemple 4 :On pose A=  3
(tA) n
0 n !
 x   x(0) 
 =
= A   , 
 y   y ( 0) 
1
 . Calculer exp(t A) =
 2 2
 x' 
En déduire les solutions du pb de Cauchy :  
 y'

1
 
0
a] On constate que A=  3 1 = B + I avec B=  2 1 et I=  1 0 
 2 2
 2 1
0 1
Or B2 = 3B, et Bn = 3n-1 B (récurrence évidente) d’où An =
n
 Cnk B k = I +
n
C
0
k
n
3k 1 B
1
1

4 1
B
  Cnk 3k  1 B = I +
3 0
3


1  4n  1 n
1
tn
On peut donc écrire exp(tA) = (  ) I + 
t B = et I + (e4t-et)B
3 0 n!
3
0 n!
 x(t ) 
1
 = exp(tA)   .
b] La solution du problème proposé est donc 
 y (t ) 
0
1
C’est à dire x(t) = et + (e4t-et).2
3
1
y(t) = + (e4t-et).2
3
C’est à dire An = I +
n
n
Ex1**Résoudre les équations différentielles linéaires:
a] y’ cos2 x - y = exp( tan x )
c] x.y’ - 2.y + x = 0
e] 2 ( x - 1). y’ +y = x2+sin 2.x.
b] - y’ sin x + y cos x = 1
d] x.y’ ln x - ( 1+ 3 ln x ).y = 0
Ex2**Pour cette dernière équation, déterminer un développement limité à l’ordre 4 en 0 de celle des
solutions f qui vérifie f(0) = 0.
Ex3**Résoudre les équations différentielles linéaires:
a] y’’ + y = cos x.
b] y’’ - 3 y’+ 2 y = 2.
c] x2.y’’ - 2.x.y’ + 2.y = 2 + 2.x3 . sin x.
Ex4*Résoudre l’équation différentielle 2.x.y.y’ - y2 + 3 x2 = 0.
Ex5* 1°] Résoudre les systémes différentiels
 x' 
x'  4 x  3y  9z  1
x  2y  z
b] (S2)  y '  3x  4 y  9 z  t
a] (S1)  y '  2 x  4 y  2 z
z '   x  2 y  z

 x ''  3x  y  et
c] (S3) 
 y ''  2 x  2 y  e2 t
 x '  3x  y
e] (S5) 
 y'  2 x  2 y
 z '  3 x  3 y  8 z  t 2

4z
 x ''  2 x 
d] (S4)  y ''  3x  4 y  12 z
z ''  x  2 y  5z

f] (S6)
2°] On pose A=  3
1
 . Calculer exp(t A) =
 2 2
 x'  y  z

 y '  x z
z'   x  y

(tA) n
0 n! Comparer aux résultats du 1°] (S5)

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Ex6*Résoudre le système (S6) xy'' yx zz
de toutes (ou presque) les manières possibles.
z'   x  y

a] Par diagonalisation.
b] En transformant le système (si c’est possible) en un système équivalent constitué d’une équation
d’ordre 3 (en x par exemple) et de 2 équations donnant y et z en fonction de x et de ses dérivées...Et si
ce n’est pas possible!???
n
 ( tA)
c] En calculant exp(t A) = 0
où A est la matrice du système.
n!
d] en utilisant des intégrales premières.
e] Interprèter le sysème Physiquement :
P(x, y, z)  z - y

recherche des lignes de champs du champ de vecteurs Q(x, y, z)  x - z
R(x, y, z)  y - x

Ex7**Déterminer les fonctions f 2 fois dérivables telles que f ’(x) = f (1-x).
On montrera que f est solution d’une équation différentielle qu’on résoudra, puis on en tirera les
conclusions qui s’imposent
Ex8**Résoudre le système différentiel (S)  x'  t. x  (1  t ). y  (1  t )
2
 y' 

x
2 2
t . y  t .(1  t 2 )
On pourra vérifier que ( x = t2 + 1, y = t) est solution du système sans second membre associé à (S), puis
trouver une autre solution simple...
2. Notions sur les équations différentielles non linéaires.
Objectifs: En dehors du cas des équations à variables séparables, tout exercice d’intégration d’une équation différentielle non linéaire
ou d’un système autonome devra comporter l’indication d’une méthode.
Equations différentielles à variables séparables ; cas particulier des équations incomplètes.
On illustrera la notion de courbe intégrale.
Définition: Un système de 2 équations différentielles du 1er ordre est dit autonome si il est de la forme :
 dx
 dt   ( x, y )
(S) 
où  et  ne dépendent pas de t
 dy   ( x, y )
 dt
Définition Si  et  sont des fonctions de classe C1 sur un ouvert  de IR2, les trajectoires sont les
graphes des solutions de (S)
Définition : Courbes intégrales du champ de vecteur
Théorème: Existence et unicité d’une solution maximale du problème de Cauchy. (démo hors
programme).
§ Algorithme de recherche de solutions approchées d’une équa-diff scalaire d’ordre 1 ou d’un système
autonome de 2 équations d’ordre 1 par la méthode d’Euler.
§ Exemples de construction de courbes intégrales d’une équa-diff, de trajectoires d’un système
autonome de 2 équations différentielles d’ordre 1.
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Exemple :
2
2
Trouver les solutions de l’équation d y2  d x2 =1
dx
dy
Si f est une solution de (E) alors f doit être un C2 difféomorphisme
1
 f ' ' f 1
et f a pour dérivée seconde
donc f est solution de y ’’( 1 - 3 ) = 1
3
1
y'
f' f
–1
Si donc on pose t = y ’, t est solution de l’équation à variables séparées (E2) t’ (1-1/t3) = 1.
On intègre en introduisant une primitive F(t) = t +
1
de (1-1/t3) d’où (E2)
2
2t
F’(t).t’ = 1.
Les solutions de (E) vérifient donc
1
= x – x0 , y ’ = t }
2t 2
dy dy
dy
On transforme
=
t’ = t en
= (t - 1/t2)
dx dt
dt
{F(t) = t +
d’où y-y0 = t2/2 + 1/t
Finalement les solutions s’obtiennent par étude du
graphe de
1
2t 2
t2 1
y - y0 =
+ }
t
2
x – x0 = t +
On y lit que l’équation différentielle initiale admet 3
solutions correspondant respestivement à
t ] - , 0[,t ] 0, 1 [,t ] 1, +  [.
Ex1**Résoudre les équations différentielles
suivantes:
a] y. y ’’+ y ’2 /2 = 1/ y2
c] y’ = ex+y
e] x = y ’ + exp( y’)
b] y2 + y ’2 = 1
d] (1+ y’) cos (x+y) = y. y ’
f] y3 - y ’3 - 3 ayy’ = 0
Ex3**On donne l’équation diff (E)
( x + y y’ )2 (x2 + y2) - (x2 - y2+ 2 x y y’) 2 = 0 .
a] Intégrer (E) en utilisant les coordonnées polaires.
b] Etudier les courbes intégrales.
c] Ecrire l’équation obtenue en faisant « y=tx ».
Ex2**Résoudre l’équation (E)
y2 ( x + y y’ )2 - (x2 + y2) ( x y’ - y ) 2 = 0
en utilisant les coordonnées polaires.
Ex4**Trouver les solutions de l’équation
d 2 y d 2 x =1

d x2 d y2
Ex5**On donne l’équation différentielle
(E) x y y’’ = y’ (2 x y’ + a y)
Effectuer le changement de fonction u = x y’/y pour intégrer cette équation.
Ex6**On donne l’équation différentielle
a] Intégrer cette équation différentielle.
b] Etudier les courbes intégrales.
(E) (1+x2) y’ = 1 + y2 .
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Ex7**On donne la famille des courbes
(C ) y3 =  (y2 - x2 ).
a] Déterminer l’équation différentielle de cette famille de courbes, c’est à dire une relation entre x, y,
coordonnées d’un point d’une des courbes de la famille, et y ’ pente de la tangente à la courbe (C ) en
ce point.
b] Une courbe ( ) est dite orthogonale à la famille (C ) si et ssi par tout point M de () il passe une
courbe de la famille (C) et si les tangentes en M à () et à (C) sont orthogonales. Déterminer les
courbes orthogonales à la famille (C ) du a].
Ex8**On donne la famille des cercles (C ) tangents en O à Oy.
a] Déterminer l’équation de cette famille de cercles.
b] Déterminer les courbes orthogonales à la famille des cercles (C ) ci-dessus.
Ex9**La tangente en M à une courbe ( ) coupe l’axe Ox en T. Déterminer les courbes
( ) telles que || MT || = a (constante ). (On peut prendre comme paramètre t, mesure algébrique de OT,
ou mieux encore, v tel que y = a / ch v )
Ex10**La tangente en M à une courbe ( ) coupe l’axe Ox en T, la normale à ( ) coupe l’axe Ox
en N. Déterminer les courbes ( ) telles que
OT
= a (constante)
ON
Examiner de plus près l’éventualité a = -1
Ex11**Un point M # O étant donné, on désigne par M la perpendiculaire en O à OM. La tangente
en M à une courbe ( ) coupe M en T ’, la normale à ( ) coupe M en N ’.
Déterminer les courbes ( ) telles que l’aire du triangle M T ’ N ’ soit une constante a.