Exercices résolus 1. Vous échappez sur votre plancher de bois le

Exercices résolus
1. Vous échappez sur votre plancher de bois le contenu d'une boîte de cure-dents. Ceux-ci se
répandent par terre en des positions et des angles aléatoires, indépendamment les uns des
autres.
Soient b = longueur d'un cure-dent, d = largeur d'une latte de votre plancher, d ≥ b et n =
nombre de cure-dents, combien de cure-dents chevaucheront deux lattes ? Construire un
simulateur à cette fin. -----------------------------------
1) Pour générer aléatoirement la position d’un cure-dent, (i) fixer le point milieu, m du cure-
dent avec les lignes frontières des lattes, (ii) fixer l'angle  que fait le cure-dent avec les
lignes frontières des lattes. m et  sont alors considérées comme des variables aléatoires
I.I.D.
2) On peut considérer 2 lignes seulement pour éviter la duplication. Lorsque m est fixée,
nous devons choisir la ligne frontière la plus proche du cure-dent. Nous considérons alors
la demie latte correspondante.
3) a = dist (m, ligne frontière la plus proche) est une v.a.  U [0, d / 2].
4)  est une v.a.  U [0, ].
5) Si b/2 sin  ≥ a alors le cure-dent touche la ligne.

Soit p  probabilité qu’un cure-dent touche une ligne,
NS  Nombre de cure-dents qui touchent une ligne en N essais ~ Binomiale (p, N)
p un estimé de p (= NS/N),
E [p] = E [NS / N] = p car E [NS] = Np
Var [p] = p (1-p) / N car Var [NS] = Np (1-p)
On suppose que (p - p) / { p (1 - p) / N}1/2 suit une loi N(0,1).
P [-Z .025 ≤(p - p)(p (1 - p)/N) ≤.025 ] = .95
P [p -Z .025 (p (1 - p )/N)1/2 ≤ p ≤ p + Z .025 (p (1 - p )/N)1/2 ] = .95
Avec N = 3000 cure-dents, p = 0.3133  P[0.2967 ≤ p ≤ 0.3299] = 0.95.
Solution théorique (calcul de p) :

Les 2 surfaces ombrées désignent les positions où un cure-dent touche une ligne.
Les 2 courbes frontières sont désignées par b/2 sin .
p = [ 2  b/2 sin d / d = 2b / d .
0
2b / pd  3.1416
En utilisant le simulateur construit avec les données suivantes:
durée du réchauffement = 1000,
durée de la simulation = 4000,
largeur de la latte = 4.0,
longueur du cure-dent = 
on a obtenu les résultats suivants :
nombre de chevauchements = 1537,
probabilité qu'il y ait un chevauchement = 0.512
alors que la valeur théorique est p = 0.5.
Notre simulateur peut aussi être utilisé pour évaluer la valeur de . Il existe toutefois de
meilleures approches.
2. Des clients arrivent à un comptoir de service au rythme d’un à toutes les 5 ± 2 minutes.
Leurs requêtes sont traitées par l’un ou l’autre (le premier disponible) des 3 commis qui
prennent 8 ± 4 minutes pour chaque requête. Lorsque la requête d’un client est traitée,
celui-ci se déplace vers un autre comptoir où un magasinier répond à chaque requête une à
la fois en prenant 4 ± 3 minutes. Simuler la longueur moyenne de la file d’attente des
clients à chacun des 2 comptoirs et mesurer les durées nécessaires pour traiter et répondre
à 1000 requêtes.

Écrire un programme de simulation en GPSS.
SIMULATE
GENERATE 5,2
QUEUE FILE_COMMIS
ENTER COMMIS
DEPART FILE_COMMIS
ADVANCE 8,4
LEAVE COMMIS
QUEUE FILE_MAGASINIER
SEIZE MAGASINIER
DEPART FILE_MAGASINIER
ADVANCE 4,3
RELEASE MAGASINIER
TERMINATE 1
COMMIS STORAGE 3
START 1000
END
3. Des messages arrivent au rythme de un à toutes les 7±3 secondes. Ils sont transmis à l'une
des 4 destinations suivant les probabilités suivantes:
1 0.2 2 0.3 3 0.35 4 0.15
Tous les messages sont d'abord expédiés par une ligne principale vers un centre de
commutation qui les envoient à leur destination au moyen de lignes individuelles. Un seul
message peut être transmis sur une ligne donnée. Si cela est nécessaire, le centre de
commutation peut stocker les messages en attendant que la ligne qui doit les transmettre
devienne libre. La longueur des messages est uniformément distribuée allant de 10 à 100
caractères. La ligne principale peut transmettre des messages au rythme de 10 caractères à
la seconde, tandis que les autres lignes les transmettent au rythme de 5 caractères à la
seconde. Simuler la transmission de 1000 messages et mesurer la longueur moyenne des
files d'attente pour chacune des lignes. Les paramètres de chaque transaction contiendront
les caractéristiques des messages : longueur et destination.
Écrire un programme de simulation en GPSS.
SIMULATE
DEST FUNCTION RN2,D4
.2,1/.5,2/.85,3/1.0,4
LONG FUNCTION RN2,C2
0,10/1,101
DUREE1 VARIABLE P2/10

DUREE2 VARIABLE P2/5
GENERATE 7,3
ASSIGN 1,FN$DEST
ASSIGN 2,FN$LONG
QUEUE LIGNE_PRINCIPALE
SEIZE LIGNE_PRINCIPALE
DEPART LIGNE_PRINCIPALE
ADVANCE V$DUREE1
RELEASE LIGNE_PRINCIPALE
QUEUE P1
SEIZE P1
DEPART P1
ADVANCE V$DUREE2
RELEASE P1
TERMINATE 1
START 1000
END
4. Une banque emploie trois caissiers. Les trois travaillent à peu près au même rythme et ont
des tâches identiques. La plupart du temps, tous sont au travail, mais 15% des jours,
seulement deux des trois sont présents, et 5% des jours, seulement un des trois est présent
(les autres ne se rapportant pas au travail pour une raison quelconque).
La banque ouvre à 10 heures et ferme à 15 heures. Les clients arrivent selon un processus
de Poisson non stationnaire à partir de 9:45 heures. De 9:45 heures à 11 heures et de 14
heures à 15 heures, ils arrivent au taux d'un client par deux minutes en moyenne. De 11
heures à 14 heures, ils arrivent au taux d'un client par minute. Les clients qui arrivent
avant 10 heures doivent attendre dehors l'ouverture de la banque. À 15 heures, on ferme la
porte, mais tous les clients déjà entrés se font servir.
Les clients forment une seule file d'attente pour les caissiers. Lorsqu'un client arrive et
qu'il y a n autres personnes devant lui dans la file d'attente, alors il renonce à attendre et
quitte immédiatement la banque avec une probabilité Pb(n). On a :
Pb(n) = 0 pour tout n < 6,
1 pour tout n > 9,
(n - 5) / 5 pour tout n = 6, 7, 8, 9.
Le client à la tête de la file va toujours au premier caissier qui se libère. Les durées de
service des clients sont des variables aléatoires indépendantes de loi d'Erlang de
paramètre k = 2 et de moyenne égale à deux minutes. On veut estimer le nombre de