Exercices sur le régime alternatif sinusoïdal 1 – En monophasé Une charge A inductive de 15kVA de facteur de puissance 0,6 et une charge B de 12kVA, capacitive de facteur de puissance 0,9 sont en parallèle sur une source alternative monophasée 220V,60Hz (Canada). Calculer : a) La puissance active, la puissance réactive et la puissance apparente totales b) Le facteur de puissance vu de la source c) La puissance réactive du condensateur portant le facteur de puissance global à 0,98. Réponses : a) 19,8 kW, 6,8kvar, 20,9 kVA b) 0,95 c) -2,8 kvar 2 – En triphasé Dans un atelier alimenté en 400V, on trouve Un moteur asynchrone triphasé dont les caractéristiques constructeur sont : Puissance mécanique : Pu=2000W ; rendement =92%, facteur de puissance F=0,8 Vitesse nominale : N=1440tr/min Tensions 230V/400V Un radiateur 230V, 1300W a) Donner : le couplage du radiateur, le courant appelé sur le réseau , la résistance du radiateur Couplé en étoile sous 400V, chacune des trois résistances qui composent le radiateur est sous tension simple V=230V. Chaque résistance est parcourue par le courant de ligne. Le courant est alors donné par la formule générale, sachant que le facteur de puissance vaut 1. P I 1,9A 3U La résistance d’un élément de radiateur est donnée par Cliquer sur « affichage » puis sur « plein écran » 1 R V 120 I b) Pour le moteur, calculer : Le couple utile Cu, la puissance active absorbée Pa, le courant appelé sur le réseau I, la puissance apparente S, la puissance réactive Q. Sur le réseau 400V, le moteur doit être couplé en étoile lui aussi. Chaque en roulement est sous 230V, tension donnée par la plaque. Sur un « ancien » réseau 230V, il faudrait le coupler en triangle. Le couple utile est le quotient de la puissance utile en watt et de la vitesse en rd/s. P Pu 2000.60 Cu u 13,3N.m N 2.1440 2 60 La puissance active absorbée se calcule à partir de la puissance utile et du rendement. P 2000 Pa u 2175 W 0,92 Pa 2175 Pa 3U.I.F I 3,9A 3U.F 3.400.0,8 S 3.U.I 3.400.3,9 2720VA Q S 2 P 2 2720 2 2000 2 1630 var c) Pour l’installation complète calculer : La puissance active, la puissance réactive , la puissance apparente, le courant en ligne It le facteur de puissance Ft. On n’a pas le droit d’additionner les courants sans précaution. En alternatif les intensités efficaces ne s’additionnent pas. Mais on peut additionner les puissances actives et réactives. En alternatif les puissances apparentes ne s’additionnent pas. Cliquer sur « affichage » puis sur « plein écran » 2 Pt 2175 1300 3475 W Q t 1630 0 1630 var S t 3500 2 1630 2 3840 VA It St 3840 5,5 A 3,9 1,9 3U 3.400 P 2475 Ft t 0,905 S t 3840 d) Correction du facteur de puissance à la valeur Fc=0,96 1300 2720 Une table donne pour une correction de 0,90 à 0,96 : 192var par kW de charge. En déduire la puissance réactive à apporter par condensateurs pour faire la correction. La puissance réactive (comptée négative) à apporter par condensateur, vaut donc -192x3,475=-667var. Vérifier ce calcul en employant le théorème de Boucherot des puissances. On compose les puissances active et réactive. On appelle Pcor et Qcor ces puissances après correction. Les condensateurs n’apportent dans l’absolu aucune puissance active, mais la puissance réactive Qc à calculer. Pcor Pt Q cor Q t Q c Fcor Pcor 2 2 Pcor Q cor 2 P P 2 Q cor )Fcor 2 Q cor P2 2 Fcor 2 P Q cor 3475 3475 2 0,96 1 0,96 2 2 3475 2 1 1013 var Q c Q cor Q t 1013 1630 617 var Les deux résultats sont légèrement différents en raison du mode de calcul. Méthode graphique par le triangle des puissances : Sc=3620VA Qt=1630var Qc=1020var P=3475 W Cliquer sur « affichage » puis sur « plein écran » 3 On construit à gauche le triangle des puissances avant correction (1cm pour 1000W ou 1000VAR). P Ensuite on calcule Scor par S cor 3620VA 0,96 On construit à droite le triangle des puissances après correction. Pour cela, on trace une verticale menée de la pointe de P. De l’origine de P, on conduit un vecteur de 3,62cm en l’ajustant pour qu’il coupe la verticale. On trace alors Qcor en reliant les deux pointes des vecteurs. On mesure Qcor qui vaut ici, à la précision du tracé 1,07cm soit 1020var. Qc vaut alors 1020-1630=-610var. Calculer la capacité des condensateurs couplés en triangle et le nouveau courant en ligne. Chaque condensateur est sous la tension composée. Q c 3U.Jc Jc C.U Q c 3CU2 C Qc 660 4,4µF 3U 3.314.( 400 2 ) La batterie de condensateurs se compose de 3 condensateurs de 4,7µF (valeur normalisée) de tension d’isolement au moins 400V, couplés en triangle. 2 Le nouveau courant en ligne est calculé à partir de Scor. S 3620 Icor cor 5,2A 3U 3.400 Ce courant est plus faible qu’avant correction. Le but de réduire les pertes par effet Joule en ligne est atteint. 3 - Problème de sysnthèse On considère un four électrique caractérisé par sa résistance r, dont la puissance nominale est P=1000W. Il est alimenté par un réseau alternatif sinusoïdal monophasé de tension efficace nominale U=200V, f=50Hz. Partie 1 1.1-Quelle est l’intensité nominale dans le four. 1.2- Quelle est sa résistance r P UI 1000 I 5A 200 U 200 r 40 I 5 Cliquer sur « affichage » puis sur « plein écran » 4 Partie 2 Afin de faire varier la puissance thermique du four, on envisage plusieurs solutions que l’on examine. Les buts poursuivis sont d’avoir un rendement maximal quelle que soit la puissance fournie au four et de pouvoir faire varier cette puissance de la valeur nulle à la valeur nominale. A - On relie le four au secteur par l’intermédiaire d’un simple rhéostat de résistance totale R=160. Selon la position du curseur la partie de la résistance utilisée du rhéostat vaut R. le coefficient varie entre 0 et 1. 2.1- En fonction de , donner l’expression littérale de l’intensité I dans le four, de la puissance P fournie au four et du rendement de l’installation . U I R r α I P η U P rI2 r R r P r UI R r 1 1A 40W 0,2 0 5A 1000W 1 2 2.2 – Commenter le résultat, vis à vis des buts poursuivis. Deux défauts : P ne s’annule pas et le rendement décroît lorque la puissance demandée est faible. Schéma du montage : U I Four B - On relie le four au secteur par l’intermédiaire du même rhéostat, branché en potentiomètre. Schéma du montage : U J Cliquer sur « affichage » puis sur « plein écran » I Four 5 2.3 – Déterminer l’équivalent de Thévenin du montage potentiométrique c’est à dire la f.e.m. (efficace) E et la résistance interne r, en fonction de U, , R. La f.e.m. équivalente de Thévenin est e U . L’impédance (résistance équivalente) est R(1 ) . 2.4 – Donner l’expression de l’intensité I dans le four et la puissance P qu’il reçoit en fonction de . I U r R(1 ) 2.5 – Donner l’expression du rendement en fonction de R, r et . Calculer numériquement le rendement pour =0 et =1. r.I2 U.J U J rR r R 2 r R (r R )(r R(1 ) R(1 ) Pour 0 , 0 Pour 1 0,8 2.6 – Commenter le résultat, vis à vis des buts poursuivis Pour 0 , le rendement est nul. Il n’y a certes pas de puissance transmise au four ce qui était souhaité et présente un plus par rapport à la solution du 2)2. Mais le réseau fournit UJ soit 1250W. C - On relie le four au secteur par l’intermédiaire d’une bobine à point milieu de résistance variable et de réactance variable. La résistance vaut au maximum R et la réactance vaut aussi au maximum X. Soit désignant un nombre compris entre 0 et 1. La résistance utilisée R est proportionnelle au nombre de spires utilisées n dans la bobine. La réactance utilisée x est proportionnelle à n². Le nombre total de spires est N. On prendra R=16 et X=314 (à 50Hz). 2.7 – Montrer que x=²X. Une résistance est proportionnelle au nombre de spire, alors qu’une réactance est proportionnelle au carré du nombre de spires. Cliquer sur « affichage » puis sur « plein écran » 6 R,X r0, x r0 k.n R k.N x p.n 2 X p.N2 r0 n x 2 R N X x 2X r0 R 2.8 – Exprimer I en fonction de X , R, U et . I U (r0 r ) 2 x 2 U ( R r ) 2 ( X ) 2 2.9 – Exprimer P en fonction de X, U, R, r. P rI2 rU 2 ( R r ) 2 ( X ) 2 2.10- Exprimer le rendement fonction de r, R Préseau (r R)I2 r r R 2.11 – Exprimer le facteur de puissance de l’installation, en fonction de , R,r, X. cos R r R r Z (R r )2 (X)2 2.12 – Calculer numériquement le rendement et le facteur de puissance pour =0 et =1. Pour 0 , le rendement et le facteur de puissance sont égaux à 1. Pour 1, le rendement est 0,71 et le facteur de puissance 0,17, ce qui est faible. U Four I Cliquer sur « affichage » puis sur « plein écran » 7