Exercice

Triangle rectangle et cercle circonscrit.
Exercices.
Exercice 1 : (Démonstration de la réciproque de la propriété du cercle circonscrit)
Le triangle ABC de la figure ci-contre est inscrit dans un cercle ayant pour
diamètre le côté [AB].
a) Justifier que le triangle AOC est isocèle en O,
puis démontrer que : ACO =90° - a/2.
b) Démontrer de même que : OCB = 90° - b/2.
c) Déduire des questions précédentes une expression
de l’angle ACB en fonction de a et b.
d) Que peut-on dire des angles a et b ?
En déduire la mesure de l’angle ACB, puis la nature du
triangle ABC.
Exercice 2 : (Démonstration de la réciproque de la propriété de la médiane)
Dans le triangle ACB ci-contre, on a : OA = OB = OC
( la médiane relative à un côté du triangle est égale
à la moitié de la longueur de ce côté).
Construire le point D, symétrique du point C par
rapport au point O.
Quelle est la nature du quadrilatère ADBC.
En déduire la nature du triangle ACB.
Exercice 3 :
1) Compléter les deux propriétés suivantes :
Si un triangle est rectangle, alors la médiane relative à l’hypoténuse a pour
longueur la ……………… de celle de ……………………..
Si la médiane relative à un côté d’un triangle a pour longueur la ……………….. de celle
de ce côté, alors ce triangle est ……………………
2) Laquelle de ces deux propriétés permet de démontrer qu’un triangle est
rectangle ?
Exercice 4 :
Dans la figure ci-contre :
Le triangle FED est rectangle en E ; H est le milieu de l’hypoténuse [DF] ; l’angle
EDH = 28°. Calculer la mesure des angles de chacun des triangles DHE et EHF.

Exercice 5 :
1) Tracer un segment [AB], puis, sans utiliser d’équerre, construire un
triangle ABC rectangle en C.
2) On considère un segment [AB]. Où doit-on placer un point M pour être sûr
que le triangle AMB soit rectangle en M ?
3) Tracer une droite (d), placer deux points E et F de part et d’autre de (d),
puis construire un point G appartenant à (d) tel que le triangle FGE soit
rectangle en G.