MPSI Chapitre 29 CHAMP MAGNÉTOSTATIQUE MOUVEMENT D’UNE PARTICULE CHARGÉE DANS LES CHAMPS E ET B 29-1 Actions magnétiques subies par un faisceau de particules chargées, définition du champ magnétostatique 29-1-1 Action d'un champ magnétostatique sur un faisceau d'électrons Cette action a été étudiée à partir de 1891 par Joseph-John Thomson sur de qu'on appelait alors les rayons cathodiques, faisceaux d'électrons émis par une cathode et se déplaçant dans urne ampoule de verre où règne ion vide poussé. Les faisceaux d'électrons sont sensibles aussi bien aux champs magnétiques créés par les courants qu'à ceux qui sont dus aux aimants. La force subie est à la fois orthogonale au champ magnétique et au vecteur vitesse des électrons. On peut le vérifier avec l'expérience suivante Un canon à électrons émet un faisceau d'électrons dans le vide, dans le champ magnétique créé par des bobines d'Helmoltz. Ce champ est pratiquement uniforme entre les deux bobines de même rayon, de même axe, parcourues par un même courant, dans le même mens de rotation, séparées par une distance égale à leur rayon. Si l'on oriente le champ parallèlement à la vitesse des électrons, aucune déviation du faisceau n'a lieu. Si l'on oriente le champ perpendiculairement à la vitesse des électrons, le faisceau se courbe et forme un cercle. Si l'orientation du champ est quelconque, la trajectoire des électrons est hélicoïdale. 29-1-2 Définition du champ magnétostatique Cette expérience, (que l'on étudiera plus en détail ultérieurement), permet de définir le champ magnétique permanent (ou stationnaire) ou "champ magnétostatique" par la formule : F q v B L'unité SI de B est le tesla de symbole T. T = N.C–1.(m.s–1)–1 = kg.m.s–2.A–1.s–1.m–1s = kg.A–1.s–2. En présence d'un champ électromagnétique la force totale subie par la charge ponctuelle q est la force de Lorentz F q E v B . La force magnétostatique intervient seule en l'absence de champ E , ce qui n'est possible que si B est stationnaire, car toute variation dans le temps de B entraîne l'existence d'un champ E et réciproquement (voir cours de math.spé.). 29-1-3 Le champ magnétique est un vecteur axial ou pseudo vecteur La définition de B fait intervenir un produit vectoriel. F et v sont des "vecteurs vrais", leur sens a une signification intrinsèque qui ne dépend pas d'une convention de l'espace. Le sens de B par contre n'est défini que grâce à une convention d'orientation de l'espace : règle du trièdre direct, règle des trois doigts ou règle du tire-bouchon. Il en est de même pour un vecteur surface ou pour le moment d'une force ou d'un couple. 29-2 Mouvements de particules chargées dans des champs électrostatique et magnétostatique 29-2-1 Cas général On ne s’intéresse qu’à une particule chargée se déplaçant dans le vide. Si les champs sont suffisamment intenses, on peut le plus souvent négliger le poids de la particule devant la force de Lorentz. La deuxième loi de Newton donne : m a q E v B . La puissance développée par cette force est : P m a . v q E v B . v q E . v . On voit que la puissance de la force magnétique est nulle. La force électrique dérive de l’énergie potentielle Ep = q V, on a donc dEc = W = – dEp = q dV et m 2 2 v 2 v1 qV1 V2 . en intégrant, la variation de l’énergie cinétique est : 2 Seul le champ électrostatique peut modifier la norme de la vitesse de la particule. Le champ magnétostatique n’agit que sur la courbure de la trajectoire. 29-2-2 Mouvement dans un champ électrostatique uniforme C’est, en général, un mouvement parabolique car l’accélération est constante : a Exemple : Un ion He2+ (particule , de charge q = 2 e et de masse m = 4 u) arrive à t = 0 en O dans un champ y B électrostatique uniforme E E u y normal à sa vitesse en q E. m E O : v 0 v 0 u x . Le champ électrostatique existe sur une vA largeur d (mesurée sur Ox). La particule arrive en B sur un A écran situé à la distance D du point I de l’axe Ox, v0 x d I H K d’abscisse . On cherche l’ordonnée yB du point B. O 2 D 2e e a E E u y est constante donc : 4u 2u eEt v v 0 a t v0 u x uy . d 2u eE eEt 2 Donc x = v0 t et y = = x 2 Kx 2 : 2 4u 4uv 0 La trajectoire, de O jusqu’à la sortie du champ en A est une parabole de sommet O, d’axe de symétrie Oy. En A, la tangente, qui sera la trajectoire de A jusqu’au point B (mouvement rectiligne uniforme car il y yA dy n’y a plus de force), a pour coefficient directeur 2Kx A 2Kd , son équation est 2Kd x xA dx A y Kd 2 Kd 2 d , c’est-à-dire 2Kd . Elle coupe l’axe des x au point de coordonnées y = 0 et x = d 2Kd 2 xd y y eEDd D IK au point I. On a donc B soit B2 et y B 2KDd . 2 d y A IH Kd 2uv 0 2 soit 29-2-3 Mouvement dans un champ magnétostatique uniforme q L’accélération est a v B donc elle est normale au vecteur vitesse. Les variations élémentaires m du vecteur vitesse sont donc normales à celui-ci. Le mouvement est uniforme. Considérons une particule de charge q et de masse m, entrant en O avec la vitesse v 0 dans le champ magnétostatique B B u z uniforme, à la date t = 0. On choisit de prendre l’axe Oy dans le plan B, v 0 , dans le sens de v 0 . Les conditions initiales sont donc : x0 = y0 = z0 = 0 et x 0 0 , y 0 0 , z 0 . q qB qB v B x ux yuy zuz uz x uy yux m m m qB qB x m y x m y 2 qB qB y y 0 équations différentielles du mouvement : y . x m m z 0 z z 0 z z0 t L’accélération a est qB qB t H sin t avec K = y0 = 0 et On obtient y K cos m m d’où les m y0 qB qB yH cos t et H m qB m m y0 m y 0 qB qB t et, en intégrant de 0 à t : x donc y sin t d’où x y 0 sin qB qB m m qB cos t 1 . m m y 0 qB qB 1 cos t , y sin t , z z0 t . qB m m qB On nomme pulsation cyclotron la pulsation . m m y0 x qB y y qB Si q > 0, , x 0 1 cost , y 0 sin t , z z 0 t . m La projection P de M sur le plan xOy décrit la courbe d’équation cos2(t) + sin2(t) = 1 soit : 2 2 2 2 y0 x y y0 2 2 2 2 1 1 x y : cercle d’équation (x – xC) + (y – yC) = R de y y 0 0 m y0 y y rayon R 0 soit R , de centre C, avec y C 0 et x C 0 soit x C R . qB Le vecteur CP , de coordonnées x = – R cos(t) et y = R sin(t) s’écrit donc : qB uz . CP R cos(t ) u x sin( t ) u y . Il tourne à la vitesse angulaire u z soit m La projection de M sur Oz a un mouvement rectiligne uniforme. La trajectoire est une hélice. Le mouvement est hélicoïdal uniforme. Les équations paramétriques de la trajectoire sont donc, avec t CO, CP : x = R (1 – cos), y = R sin et z z0 z0 . Le pas de l’hélice est p (en m.rad–1). Le dessin ci-dessous correspond au cas où q > 0 et z 0 0 . On traitera de même le cas où q < 0. Cas particuliers : Si v 0 B soit z 0 0 , le mouvement est circulaire uniforme. Si v 0 // B soit y 0 0 , le mouvement est rectiligne uniforme. z x C B M P O v0 y 29-3 Loi de Biot et Savart La loi de Biot et Savart permet de calculer par intégration le champ magnétique créé par un courant filiforme. Soit une ligne (nécessairement fermée, mais pouvant comporter des dérivations...), parcourue par un courant stationnaire d’intensité algébrique i, en régime stationnaire (ou en M dB ARQS). La portion élémentaire d P de , orientée dans le sens de la flèche qui définit la convention algébrique pour i, crée au point M un champ magnétostatique élémentaire : µ i d P PM dB 0 : Loi de Biot et Savart. 4 PM 3 P dP i (> 0) µ 0 i d P PM Le circuit crée donc en M le champ magnétostatique B ( ) . 4 PM 3 µ0 est la perméabilité magnétique du vide. Son unité SI est, d’après la formule de Biot et Savart : di T.m.A–1 = kg.A–2.s–2.m, or le henry est (avec u L et Ep = qV) : dt –1 –1 –1 2 –2 –1 -1 H = V.s.A = (J.C ).s.A = kg.m .s .A s .s.A–1 = kg.A–2.s–2.m2. L’unité SI de perméabilité magnétique est donc le henry par mètre. 7 1 La valeur de la perméabilité magnétique du vide est µ 0 4.10 H.m . Pour des courants surfaciques, l’élément de courant i d P (en A.m) qui intervient dans la formule de Biot et Savart sera remplacé par jS dS et pour des courants volumiques par j d (toujours en A.m). 29-4 Champ magnétostatique créé par un courant rectiligne dans un fil infiniment long On utilisera les coordonnées cylindriques, avec l’axe Oz suivant le fil, orienté comme la flèche qui définit la convention algébrique pour i, O dans le plan perpendiculaire au fil contenant le point M où l’on cherche le champ. d P dz u z et PM r u r z u z . i dz u r u z u z r z µ0 dz µ 0 r i u . B 3 3 3 4 4 r 2 2 2 2 2 r z z 1 2 r r d z On pose Arc tan donc z = r tan() et dz = donc cos 2 r z P dP µ0i 0 i 2 cos 3 µ0i 2 B u . . B u d sin cos 2 2 r 4r 4 r 2 2 On voit que le champ est orthoradial, les lignes de champ sont les cercles centrés sur le fil, dans les plans perpendiculaires B au fil. Le sens du champ est donné par différentes règles : Règle de l’observateur d’Ampère : un observateur couché sur le fil, le courant circulant de ses pieds vers sa tête et regardant le point M voit le champ orienté vers sa gauche. Règle du tire-bouchon de Maxwell : un tire-bouchon ayant un pas à droite, tourne dans le sens des lignes de champ s’il avance dans le sens du courant. O M i (> 0) 29-5 Propriétés du champ magnétostatique 29-5-1 Existence et continuité du champ magnétostatique La formule de Biot et Savart permet de prévoir que le champ magnétostatique n’est pas défini en un point d’une ligne où passe du courant, sa norme tend vers l’infini sur la ligne où passe le courant.. En fait, les courants linéaires ne constituent qu’une approximation pour des courants volumiques passant dans des fils de petite section et dans la réalité, le champ magnétique est défini partout, à l’intérieur comme à l’extérieur de la distribution volumique de courant. Dans l’approximation des courants surfaciques, courants volumiques passant dans des couches minces, on constate une discontinuité du champ magnétostatique. 29-5-2 Symétries et invariances Sur l'exemple du champ créé par un courant rectiligne infini, on voit que la distribution du courant est invariante par rotation autour de Oz et qu'il en est de même pour le champ magnétostatique. On voit aussi que la distribution du courant est symétrique par rapport à tout plan contenant Oz mais que le champ est antisymétrique par rapport à ces plans. Enfin, la distribution du courant est antisymétrique par rapport à tout plan perpendiculaire à O mais le champ est symétrique par rapport à ces plans. On admettra les propriétés suivantes : Toute invariance de la distribution de courant par rotation ou par translation implique la même invariance pour le champ magnétostatique. Tout plan de symétrie pour la distribution de courant est un plan d’antisymétrie pour le champ magnétostatique. Tout plan d’antisymétrie pour la distribution de courant est un plan de symétrie pour le champ magnétostatique. On notera bien la différence avec le champ électrostatique; elle provient du caractère axial du vecteur B. 29-6 Théorème d'Ampère Dans le cas du champ créé par un courant rectiligne infini, le long de la circonférence Γ de centre O et de rayon r, orientée dans le sens trigonométrique, la circulation du champ magnétostatique est : 2 C B.d M 0 0i u . r d u 0i 2r On voit que la circulation du champ électrostatique le long d'une courbe fermée n'est pas toujours nulle. Le champ magnétostatique n'est pas un champ à circulation conservative. Il ne dérive pas d'un potentiel scalaire. Dans le cas du champ créé par un courant rectiligne infini, le long de la circonférence qui enlace le fil, la circulation de B est le produit de l'intensité du courant qui entre par la face sud de toute surface de contour orienté Γ par la perméabilité magnétique du vide µ0. Ce résultat est général : Soit une surface Σ dont le contour est la courbe orientée Γ. La circulation du champ magnétique le long de Γ est le produit de µ0 par l'intensité du courant qui traverse Σ de sa face sud vers sa face nord. Par exemple, sur le schéma ci-contre, le courant enlacé par Γ, traversant Σ de sa face sud vers sa face nord est iINT = –i1 + i2 + i3. On a alors : C B. d M µ i () 0 INT : Théorème d'Ampère. Dans le cas d'un courant volumique, l'intensité du courant qui traverse Σ de sa face sud vers sa face nord est le flux de la densité volumique de courant à travers Σ : i INT () j .d S 29-7 Le champ magnétostatique a un flux conservatif Dans le cas du champ créé par un courant rectiligne infini, le flux de B à travers un cylindre de révolution S d'axe Oz, de hauteur H quelconque, de rayon r, fermé par deux sections droites S 1 et S2, de surface latérale SL est : B. d S B. d S B. d S B. d S . ( S) ( SL ) (S1 ) ( S2 ) Sur les deux bases, d S B en tout point, le flux à travers les bases est nul. Sur la surface latérale il en est de même donc le flux est nul à travers la surface fermée considérée. Ce résultat se généralise. .d S 0 . Le champ magnétostatique est un champ à flux conservatif : : ( B ) Le flux du champ magnétostatique est donc le même à travers toute surface s'appuyant sur un contour orienté donné. L'unité SI de flux du champ magnétostatique est le weber : Wb. Il en résulte que le flux du champ magnétostatique est le même à travers toute section d'un tube de champ magnétique (c'est pourquoi on dit qu'il est conservatif). Par exemple, sur le schéma ci-contre le flux de B est nul à travers 1 U 2 U T car c'est une surface fermée. Il est nul à travers la surface latérale T du tube de champ. Le flux entrant par Σ1 est donc le même que celui qui sort par Σ2. 1 Par conséquent: les lignes de champ magnétique se resserrent si on les suit dans le sens pour lequel la norme du champ magnétostatique croît. T 2