Lois de probabilités - C.F.A. Viticole de Beaune. Centre

BTSA 1 VO
LOIS DE PROBABILITE
I.
Loi binomiale
1. Exemple
On lance un dé non pipé 7 fois de suite.
On gagne à chaque fois que l’on observe 6 sur la face supérieure. A chaque lancer, il n’y a
que deux issues possibles : on obtient 6 (succès) ou on n’obtient pas 6 (échec).
Les 7 lancers sont indépendants les uns des autres. On répond à la question suivante :
« Quelle est la probabilité d’obtenir 3 fois le chiffre 6 sur les 7 lancers ? ».
Lors d’un lancer, la probabilité d’obtenir un succès est p = 1/6. La probabilité d’obtenir un
échec est q = 5/6.
Obtenir 3 fois le chiffre 6 correspond à 3 succès (S) et 4 échecs (E).
p = (1/6)3 x (5/6)4
Ce peut être SSSEEEE ou SSEEEES.
Il faut compter toutes les façons de placer les 3 succès sur les 7 épreuves. Il y a C 73
possibilités.
Conclusion :
La probabilité d’obtenir 3 succès est de :
C73 x (1/6)3 x (5/6)4
2. Généralisation
On considère une épreuve n’ayant que deux issues : Succès S ou Echec E.
Probabilité du succès : p
Probabilité de l’échec : q = 1 – p.
On répète n fois cette épreuve de façon indépendante.
Soit X la v.a. dénombrant les succès.
Probabilité de k succès sur n épreuves:
p(X = k) = Cnk pk qn-k
La loi de probabilité de X est la loi binomiale de paramètres n et p, notée B (n ; p).
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Exemple :
Un centre automobile-club teste les organes de sécurité des voitures. On constate que 3%
des voitures sont à immobiliser.
Sur 50 voitures, quelle est la probabilité d’en avoir 5 à immobiliser ?
3. Espérance mathématique d’une v.a. binomiale
E(X) = n.p
4. Variance et écart-type d’une v.a. binomiale
V(x) = n.p.q
σ(X) = √V
Remarque : lorsqu’on extrait n individus d’une population de taille N (n << N) le mode de
tirage (avec ou sans remise) importe peu. On considère que la variable X suit une loi
binomiale.
II.
Loi de Poisson
1. Définition
La v.a de Poisson est une v.a qui prend des valeurs entières.
k = 0, 1, 2…
m>0
p(X = k) = e-m x mk
k!
2. Espérance mathématique d’une loi de Poisson
E(X) = m
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3. Variance et écart-type d’une loi de Poisson
V(x) = m
σ(X) = √V
4. Conditions d’application
On utilise la loi de Poison comme approximation de la loi binomiale lorsque n > 50, p < 0,1 et
np de l’ordre de quelques unités.
Le paramètre de la loi de Poisson est m = np.
5. Application
Soit X la v.a. représentant le nombre de pannes dans une chaîne de fabrication en une
journée.
On admet que X suit le modèle de Poisson de paramètre m = 2,5. Déterminer la probabilité
des événements.
1. En 2 jours, il a 2 pannes.
2. En 1 jour, il y a au moins 3 pannes.
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III.
Loi Normale
1. V.a. continue
V.a. continue : ensemble de définition est un intervalle.
La distribution de probabilité d’une variable continue est alors définie par sa fonction de
répartition F définie par :
F(x) = Prob (X < x)
2. Densité de probabilité
La densité moyenne de probabilité sur l’intervalle [x ; y] est :
F(x ; y) = F(y) – F(x)
y-x
3. Loi normale
La v.a. normale est une variable continue pouvant prendre n’importe quelle valeur R, avec la
densité de probabilité :
m est la moyenne de X et σ est l’écart-type de X.
La fonction de répartition est donc :
F(x) = Prob (X<x) = ∫ f(t) . dt
Cela correspond à l’aire comprise entre la courbe, l’axe des abscisses et la droite x = a.
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4. Loi normale centrée réduite
Une v.a. U est dite normale centrée réduite si m = 0 et σ = 1.
Densité de probabilité :
Fonction de répartition :
Nous n’effectuons pas le calcul, nous utilisons la table : Fonction de répartition de la variable
normale centrée réduite Φ(U) = Prob (U ≤ u)
Calculs :
Si a > 0 :

Prob (U >a) = 1 – Prob (U < a) = 1 – Φ(a)

Prob (U < -a) = Prob (U > a) = 1 – Prob (U < a) = 1 – Φ(a)

Prob (U > -a) = Prob (U < a) = Φ(a)
Si a < b :

Prob (a < U < b) = Prob (U < b) – Prob (U < a)
Exemple :
Soit X une v.a. suivant la loi N (0 ; 1).
Donner :
Prob (X ≤ 1,52) =
Prob (X > 0,92) =
Prob (-0,21 ≤ X ≤ 1,32) =
Calculer t sachant que :
Prob (X ≤ t) = 0,6985
Prob (X ≤ t) =0,1814
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5. Loi normale quelconque
Si X est une v.a. dont la loi de probabilité est la loi normale de moyenne m et d’écart-type σ
alors :
U = (X – m) / σ
Est la v.a. qui suit la loi normale centrée réduite.
Application :
X une v.a. suivant une loi normale de moyenne m = 50 et d’écart-type σ = 7.
Calculer :
Prob (X < 60)
Prob (35 < X < 63)
IV.
Approximation de la loi binomiale par la loi normale
On considère que si n> 50 et p Є [0,1 ; 0,9] : la loi binomiale peut être approchée par une loi
normale de moyenne m = np et d’écart-type σ = √ n.p.q
.
1. Exemple
X est une v.a. dont la loi de probabilité est la loi binomiale de paramètres n = 60 et p = 0,4.
Calculer Prob (23 ≤ X ≤ 26)
6
L’approximation n’est pas satisfaisante, on fait une correction de continuité.
D’où :
2. Généralisation
Prob (a ≤ X ≤ b) = Prob ( a – 0,5 – m < U < b + 0,5 – m )
σ
σ
Remarque :
-
il est impératif d’avoir des inégalités au sens large (≥)
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