Énergie rotation
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Bac Pro date : MOUVEMENT DE ROTATION Moment d'inertie et énergie cinétique La masse m d'un corps est la mesure de son inertie de translation. La masse représente l'opposition qu'offre le corps à voir changer son état de mouvement de translation. Pour un mouvement de rotation, c'est le moment d'inertie I du système qui représente la mesure de l'opposition qu'offre ce système à voir changer son état de mouvement de rotation autour d'un axe. m1 Le système considéré est composé de deux particules de masse m1 et m2 reliées entre elles par une tige de masse négligeable. L'ensemble est en rotation à une vitesse r1 v1 v2 angulaire (en rad/s) autour d'un axe situé à une distance r1 de m1 et r2 de m2. m2 r2 I- Énergie cinétique Chacune des masses en rotation possède une vitesse linéaire v. L'énergie cinétique (de translation) du système a donc pour expression : EC = Error! m1 v1 2 + Error! m2 v2 2 La vitesse de translation, sur une trajectoire circulaire, est proportionnelle à la vitesse angulaire de rotation du système : v = r. En remplaçant v1 et v2 par r1 et r2, on obtient : EC = Error! m1 ( r1) 2 + Error! m2 ( r2) 2 L’énergie cinétique associée à la rotation est : ou EC = Error! (m1 r1 2 + m2 r2 2) 2 EC = Error! I 2. L'énergie cinétique associée à la rotation est proportionnelle au moment d’inertie et au carré de la vitesse angulaire . II- Moment d’inertie L'expression du moment d'inertie du système est donc : I = m1 r1 2 + m2 r2 2 Cette expression met en évidence l'importance qu'a la distribution de la masse autour de l'axe de rotation . Ainsi, plus la masse est proche de l'axe de rotation, plus l'inertie de rotation (le moment d'inertie) sera petite (et vice-versa bien sûr). De façon plus générale, pour un système composé de n particules (masses ponctuelles), le moment d'inertie est donné par : I = m i ri 2 = I = m 1 r1 2 + m 2 r2 2 + … + m n rn 2 Dans cette expression, mi représente la masse de la ième particule et ri le rayon de la trajectoire circulaire qu'elle décrit lorsque le système est en rotation. Application : Le système précédent possède les caractéristiques suivantes : m1 = 0,8 kg, m2 = 0,5 kg, r1 = 30 cm et r2 = 90 cm. Quel est son moment d'inertie ? Le moment d’inertie a pour expression : I = m1 r1 2 + m2 r2 2 Ph. Georges Sciences page 1/2 Bac Pro date : A.N. : I = 0,8 0,30 2 + 0,5 0,90 2 I 0,477 kg · m2 soit Moments d'inertie et distributions continues de masse Lorsqu'un système en rotation est homogène (la masse est uniformément distribuée à l’intérieur du volume), il est possible de calculer l'expression de son inertie de rotation, son moment d'inertie. Lorsque des solides, solidaires entre eux, tournent autour d'un même axe, le moment d'inertie de l'ensemble est la somme de leur moment d'inertie par rapport à cet axe. Exemple de moment d’inertie Le solide de masse m est en rotation autour de son axe de symétrie I = Error! m R 2 I = Error! m R 2 I = Error! m R 2 I = m R2 Anneau mince ou cylindre creux (jante) de masse m et de rayon R I = m R² Disque ou cylindre plein homogène de I = Error! m R² masse m et de rayon R Manchon peu épais de masse m et de rayon R I = m R² Tige rigide et mince de masse m et de longueur L I = Error! m L² Sphère de masse m et de rayon R I = Error! m R² Tige rigide et mince de masse m et de longueur L I = Error! m L² Exemple : Le volant en fonte d'une machine est assimilable à un cylindre homogène, de diamètre 1,8 m et d'épaisseur 10 cm ( = 7 200 kg/m). La fréquence de rotation du volant est de 300 tr/min. III- Théorème de l'énergie cinétique « La variation d'énergie cinétique d'un système matériel entre deux dates t1 et t2 est égale à la somme des travaux des forces extérieures et intérieurs appliquées au système pendant le même intervalle de temps. » Force extérieure : force exercée par quelque chose ne faisant pas partie du système. Force intérieure ; force exercée par une partie du système sur une autre partie du système. Remarque : Le système que l'on considère le plus souvent est indéformable, et en conséquence, le travail des forces intérieures est nul. État initial i Vitesse angulaire i Énergie cinétique ECi = Error! I i Ph. Georges État final f Vitesse angulaire f Énergie cinétique ECf = Error! I f Sciences page 2/2 Bac Pro date : IV- Théorème de Huyghens Le théorème de Huyghens permet de déterminer le moment d'inertie d'un solide par G rapport à un axe de rotation parallèle à un axe passant par le centre d'inertie G Le moment d'inertie I d'un solide, relatif à un axe , est égal à la somme du moment d'inertie IG du solide, relatif à un axe G passant par le centre d'inertie G du solide G parallèle à , et du produit de la masse totale m du solide par le carré de la distance l des deux axes et G. I = IG + m l 2 l Ph. Georges Sciences page 3/2
