Énergie rotation

Bac Pro date :
Ph. Georges Sciences page 1/2
MOUVEMENT DE ROTATION
Moment d'inertie et énergie cinétique
La masse m d'un corps est la mesure de son inertie de translation. La masse représente l'opposition qu'offre le corps
à voir changer son état de mouvement de translation.
Pour un mouvement de rotation, c'est le moment d'inertie I du système qui représente la mesure de l'opposition
qu'offre ce système à voir changer son état de mouvement de rotation autour d'un axe.
Le système considéré est composé de deux particules de
masse m1 et m2 reliées entre elles par une tige de masse
négligeable. L'ensemble est en rotation à une vitesse
angulaire (en rad/s) autour d'un axe  situé à une
distance r1 de m1 et r2 de m2.
I- Énergie cinétique
Chacune des masses en rotation possède une vitesse linéaire v. L'énergie cinétique (de translation) du système a
donc pour expression : EC =
Error!
m1 v1 2 +
Error!
m2 v2 2
La vitesse de translation, sur une trajectoire circulaire, est proportionnelle à la vitesse angulaire de rotation du
système : v =  r.
En remplaçant v1 et v2 par  r1 et  r2, on obtient :
EC =
Error!
m1 ( r1) 2 +
Error!
m2 ( r2) 2 ou EC =
Error!
(m1 r1 2 + m2 r2 2)  2
L’énergie cinétique associée à la rotation est : EC =
Error!
I  2.
L'énergie cinétique associée à la rotation est proportionnelle au moment d’inertie et au carré de la vitesse
angulaire .
II- Moment d’inertie
L'expression du moment d'inertie du système est donc : I = m1 r1 2 + m2 r2 2
Cette expression met en évidence l'importance qu'a la distribution de la masse autour de l'axe de rotation . Ainsi,
plus la masse est proche de l'axe de rotation, plus l'inertie de rotation (le moment d'inertie) sera petite (et vice-versa
bien sûr).
De façon plus générale, pour un système composé de n particules (masses ponctuelles), le moment d'inertie est
donné par : I =  mi ri 2 = I = m1 r1 2 + m2 r2 2 + … + mn rn 2
Dans cette expression, mi représente la masse de la ième particule et ri le rayon de la trajectoire circulaire qu'elle
décrit lorsque le système est en rotation.
Application : Le système précédent possède les caractéristiques suivantes : m1 = 0,8 kg, m2 = 0,5 kg, r1 = 30 cm et
r2 = 90 cm. Quel est son moment d'inertie ?
Le moment d’inertie a pour expression : I = m1 r1 2 + m2 r2 2
2
v
1
v
m2
m1
r1
r2

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État initial i
Vitesse angulaire i
Énergie cinétique ECi =
Error! I i
État final f
Vitesse angulaire f
Énergie cinétique ECf =
Error! I f
A.N. : I = 0,8 0,30 2 + 0,5 0,90 2 soit I 0,477 kg · m2
Moments d'inertie et distributions continues de masse
Lorsqu'un système en rotation est homogène (la masse est uniformément distribuée à l’intérieur du volume), il est
possible de calculer l'expression de son inertie de rotation, son moment d'inertie.
Lorsque des solides, solidaires entre eux, tournent autour d'un même axe, le moment d'inertie de l'ensemble est la
somme de leur moment d'inertie par rapport à cet axe.
Exemple de moment d’inertie
Le solide de masse m est en rotation autour de son axe de symétrie
I = Error! m R 2
I = Error! m R 2
I = Error! m R 2
I = m R 2
Anneau mince ou cylindre creux
(jante) de masse m et de rayon R
I = m R²
Disque ou cylindre plein homogène de
masse m et de rayon R
I = Error! m R²
Manchon peu épais de masse m et
de rayon R
I = m R²
Tige rigide et mince de masse m et de
longueur L
I = Error! m L²
Sphère de masse m et de rayon R
I = Error! m
R²
Tige rigide et mince de masse m et de
longueur L
I = Error! m L²
Exemple : Le volant en fonte d'une machine est assimilable à un cylindre homogène, de diamètre 1,8 m et
d'épaisseur 10 cm ( = 7 200 kg/m). La fréquence de rotation du volant est de 300 tr/min.
III- Théorème de l'énergie cinétique
« La variation d'énergie cinétique d'un système matériel entre deux dates t1 et t2 est égale à la somme des
travaux des forces extérieures et intérieurs appliquées au système pendant le même intervalle de temps. »
Force extérieure : force exercée par quelque chose ne faisant pas partie du système.
Force intérieure ; force exercée par une partie du système sur une autre partie du système.
Remarque : Le système que l'on considère le plus souvent est indéformable, et en conséquence, le travail des forces
intérieures est nul.

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IV- Théorème de Huyghens
Le théorème de Huyghens permet de déterminer le moment d'inertie d'un solide par
rapport à un axe de rotation parallèle à un axe passant par le centre d'inertie G
Le moment d'inertie I d'un solide, relatif à un axe , est égal à la somme du moment
d'inertie IG du solide, relatif à un axe  G passant par le centre d'inertie G du solide
parallèle à , et du produit de la masse totale m du solide par le carré de la distance l
des deux axes  et G. I = IG + m l 2
G
G
l