Trigonométrie

Bac pro date :
Ph. Georges Maths 1/6
A
B
O
R
l
A
B
O
GÉOMÉTRIE : TRIGONOMÉTRIE
I- Angle et arc géométriques
1. Angle géométrique
On appelle angle géométrique plan la figure formée par 2 demi-droites [OA) et
[OB) de même origine O.
L'angle géométrique ;AOB est un angle au centre.
2. Arc géométrique
L'angle au centre ;AOB détermine sur le cercle un arc géométrique ;AB.
On dit que l'arc ;AB est intercepté par l'angle au centre ;AOB.
La mesure de l'arc de cercle ;AB est égale à celle de l'angle au centre ;AOB.
II- Le radian pour mesurer un arc de cercle
La mesure  en radians d'un arc de cercle ;AB est le quotient de la
longueur l de cet arc par le rayon R du cercle :  =
Error!
.
Exemple : le périmètre d'un cercle est P = 2  R
L'arc d'un cercle entier est égal à
Error!
soit 2 radians.
Un demi-cercle a pour mesure  rad et un quart de cercle
Error!
rad.
Propriété : Pour un cercle de rayon égal à l'unité, la mesure d'un arc de cercle de longueur l est égale à l radians.
Remarque: Un angle au centre de 1 radian intercepte un arc dont la longueur est le rayon.
III- Cercle trigonométrique et angle orienté
On appelle cercle trigonométrique un cercle orienté de rayon unitaire.
Le rayon unitaire est un rayon dont la mesure est une unité de longueur.
Le sens direct ou sens "trigo" est le sens inverse de celui des aiguilles
d'une montre. Le sens indirect est le sens contraire ou sens rétrograde.
Soit
Error!
et
Error!
des vecteurs unitaires et O le centre du cercle trigonométrique, on construit les points
A et B définis par :
Error!
=
Error!
et
Error!
=
Error!
La mesure en radians de l'arc ;AB décrit en allant de
A vers B dans le sens direct est appelé une mesure
de l' angle orienté des vecteurs unitaires
Error!
et
Error!
.
L'angle orienté des vecteurs unitaires
Error!
et
Error!
est noté (
Error!
,
Error!
).
Remarques : - Les angles orientés (
Error!
,
Error!
) et (
Error!
,
Error!
) sont opposés : (
Error!
,
Error!
) = – (
Error!
,
Error!
).
1
+
A
B
O
+
A
B
O
+

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A
B
l
A
B
2 - l
IV- Mesure d'un angle orienté, mesure principale
Sur le cercle trigonométrique, l'origine des arcs est le point A.
Le point A est le point d’intersection de l'horizontale et du cercle.
1. Mesures d'un angle orienté
Un mobile M part de A et se déplace dur le cercle dans le sens direct d'un
mouvement uniforme. Arrivé en B, il a parcouru un chemin de longueur l unités.
En continuant dans le même sens, il repasse en B après un trajet de (l + 2 ) unités.
Au passage suivant, le chemin parcouru est (l + 2 2 ) unités.
Le mobile parcourt le cercle dans le sens indirect. Parti de A, il arrive en B après un
trajet de (2 – l) unités. En poursuivant dans le même sens, il repasse en B après un
trajet de (2 2 – l) unités et ainsi de suite.
Les mesures en radians de l'angle orienté (
Error!
,
Error!
) sont : l, l + 2 , l – 2 ,
l + 2 2 , l – 2 2 , …
C'est à dire les nombres l + 2k avec k un entier relatif quelconque.
2. Mesure principale
Parmi toutes les mesures en radians de l'angle orienté (
Error!
,
Error!
), il y en a une et une seule qui
appartiennent à l'intervalle ] –  ,  ].
La mesure principale , de (
Error!
,
Error!
), est la valeur de l'angle orienté comprise dans l'intervalle ] –
 ,  ].
Remarque : la mesure principale est aussi appelée détermination principale.
De toutes les mesures positives de (
Error!
,
Error!
), la plus petite est l, associée à la longueur de l'arc
;AB parcouru dans le sens direct de A vers B. Lorsque l , la mesure principale est l.
Lorsque  < l 2, la mesure principale est 2 – l.
3. Applications
Exercice 1
1- Sur un cercle de rayon 2,5 cm, un arc a pour longueur 42 mm. Quelle est sa mesure en radians ?
2- Un arc de cercle a pour mesure 3 rad et une longueur de 2,1 cm. Quel est le rayon du cercle ?
Indications : Les longueurs doivent être exprimées avec la même unité et l'unité finale indiquée.
Exercice 2
Calculer la mesure principale d'un angle de mesure
Error!
rad ;
Error!
rad ;
Error!
rad ; – 857°.
Exercice 3 Du degré au radian
Valeurs exactes et valeurs approchées à l'aide de la calculatrice
 ( ° )
0
30
45
60
90
120
135
150
180
 ( rad )
exacte
 ( rad )
approchée

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O A
B
M
T
H
K
O
V- Fonctions trigonométriques
On considère : - un cercle trigonométrique de centre O ;
- le repère orthonormé (O,
Error!
,
Error!
) ;
- un point M du cercle
1. Définition du cosinus
On appelle cosinus de l'angle ;AOM ou cosinus du réel , l'abscisse du
point M dans le repère (O,
Error!
,
Error!
). On le note : cos  =
OH
.
Les valeurs extrêmes que peut prendre le cosinus d'un angle sont – 1 et 1 : – 1 cos  1.
2. Définition du sinus
On appelle sinus de l'angle ;AOM ou sinus du réel , l'ordonnée du point M dans le repère (O,
Error!
,
Error!
). On le note sin  =
OK
.
Les valeurs extrêmes que peut prendre le sinus d'un angle sont – 1 et 1 : – 1 sin  1.
3. Définition de la tangente
On appelle tangente de l'angle ;AOM ou tangente du réel , la mesure algébrique
AT
.
On le note tan  =
AT
.
La tangente d'un angle peut prendre toutes les valeurs dans l'ensemble des réels I; R : tan  I;R.
VI- Relations trigonométriques
1. A l'aide du Théorème de Pythagore, retrouver la relation liant le cosinus et le sinus d'un angle.
2. A l'aide de la Relation de Thalès, retrouver la relation liant le sinus, le cosinus et la tangente d'un angle.
VII- Valeurs remarquables
6
4
3
2
3
2
4
3
6
5
sin 
cos 
tan 

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x
O
x
O
x
O
VIII- Relations des angles associés
A partir du cercle trigonométrique, rechercher les relations entre les images par les fonctions
trigonométriques du réel x et des réels – x,  – x,
Error!
– x,  + x et
Error!
+ x.
1. Angles opposés : x et – x.
cos ( – x ) =
sin ( – x ) =
tan ( – x ) =
2. Angles supplémentaires : x et  – x.
cos (  – x ) =
sin (  – x ) =
tan (  – x ) =
3. Angles complémentaires : x et
Error!
– x.
cos (
2
– x ) =
sin (
2
– x ) =
tan (
2
– x ) =

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x
O
x
O
4. Angles dont la différence est
Error!
: x et
Error!
+ x.
cos (
2
+ x ) =
sin (
2
+ x ) =
tan (
2
+ x ) =
5. Angles dont la différence est :  et  + x
.
cos (  + x ) =
sin (  + x ) =
tan (  + x ) =