TB3 /Physique Vibratoire : Propagation des ondes TD4

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Séance n°4
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La célérité du courant dans une ligne est donnée par :
c21
avec  inductance par unité de longueur (linéique) et  capacité linéique de la ligne.
On a de plus (voir cours d'électricité) une relation liant  et  avec o, r, o et r.
Soit :
0 0r r
L'impédance caractéristique du milieu est donnée par
Z c
C
=
(c célérité,  capacité linéique et  inductance linéique) pour une onde directe, seul cas
envisagé.
1.1) Montrer que la célérité des ondes électromagnétiques dans un milieu caractérisé par r et
r est donnée par c =
c
r r
0
.
1.2) Dans les cas envisagés ci-dessous,  et  dépendent des caractéristiques géométriques de
la ligne envisagée. Dans chaque cas, calculer c et ZC en fonction des données.
1.2.1) Ligne à rubans.
  = o.r.a) / e et  = o.r.e) / a
1.2.2) Ligne coaxiale
22
0
2
1
0 2
1
r r
r
r
r
r
ln( ) ln( )
Exercices avec corrections
Exercice 1 : Célérité des ondes électromagnétiques et impédances caractéristiques des
milieux.

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1.2.3) ligne bifilaire
0 0r r
r d
r
r d
r
ln( ) ln( )
1.2.4) Applications numériques :
r = 1,5 ; r = 1 ; a = 1 cm ; e = 3 mm ; r1 = 0,5 mm ; r2 = 2,5 mm ; r = 0,5 mm ; d = 8,5 mm
On rappelle que: co=3.108 m.s-1, o =
1
36 109
(unité S.I.) et o = 4..10-7 (unité S.I.).
On s'intéresse à la propagation du courant I et de la tension V dans un câble coaxial (ou dans
une ligne bifilaire). Localement, on représente chaque longueur infiniment petite dx de
longueur par :
Avec : R = résistance par unité de longueur de câble (en .m-1)
L = inductance " " " " (en H.m-1)
G = conductance " " " " (en -1.m-1)
C = capacité " " " " (en F.m-1)
2.1) En utilisant les grandeurs complexes (comme en régime sinusoïdal) :
2.1.1) Exprimer
dV
dx
en fonction de R, L et I.
2.1.2) Exprimer
dI
dx
en fonction de G, C et V.
2.2) En posant 2 = (R + jL) ( G + jC) et en calculant
d V
dx
2
2
et
d I
dx
2
2
, montrer que :
2.2.1)
d V
dx V
2
22
= 0 [équation 1]
2.2.2)
d I
dx I
2
22
= 0 [équation 2]
Exercice 2 : Etude d'une ligne à constantes réparties (ou délocalisées).

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2.3) En déduire que V = Aex + Be-x est solution de l'équation 1.
Comment retrouver une expression temporelle v(t) de V ?
2.4) On pose  =  + j . Calculer  et .
2.5) Montrer que pour une ligne sans perte (R = 0 et G = 0), on a = 0 et = 
LC
.
2.6) Dans le cas d'une ligne sans perte, et en utilisant l'invariant caractéristique de
propagation, définir la célérité v du signal.
2.7) Application numérique : On donne v =
1
C ZC
avec C = 100 pF.m-1 et ZC= 50 
Calculer v, vitesse de l'onde de tension (ou de courant) dans le câble.
Comparer la valeur obtenue à la vitesse des électrons dans le câble (environ 2 mm / s).
Exercice 1 :
1.1) La relation
0 0 21c
, dite relation de normalisation nous permet de simplifier
l’écriture de
c
r r
2
0 0
1 1
cc
r r
20
2
cc
r r
0
.
1.2) Dans tous les cas, on retrouve
cc
r r
0
.
Pour
ZC
, on trouve :
1.2.1) Pour la ligne à rubans :
Ze
a
Cr
r
10
0
1.2.2) Pour la ligne coaxiale :
Z
r
r
Cr
r
2
2
10
0
2
ln
1.2.3) Pour la ligne bifilaire :
Z
r d
r
Cr
r
30
0
ln
1.2.4) Applications numériques :
ZC192 34,
;
ZC278 8,
(valeur normalisée 75  ) ;
ZC3283 2,
(valeur normalisée 300  )
Exercice 2 :
Solutions

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2.1.1) On applique la loi des mailles aux bornes de la résistance et de l’inductance :
V V dV R dx I jLdx I   ( )
car
dI
dt j I
dV
dx RjL I  ( )
2.1.2) On applique la loi d’Ohm au noeud qui relie C et
1
G
:
  dI G dxVjC dxV( )
dI
dx GjC V  ( )
2.2) Si on dérive une seconde fois par rapport à x l’expression obtenue à la question 2.1.1, on
trouve :
d V
dx RjL dI
dx
2
2  ( )
. Et comme
dI
dx GjC V  ( )
, si on remplace
dI
dx
par
son expression dans
d V
dx
2
2
, on trouve :
d V
dx RjL GjC V
2
2  ( )( )
.
De même, en dérivant une seconde fois par rapport à x l’expression obtenue à la question
2.1.2), on trouve :
d I
dx GjC dV
dx
2
2  ( )
d I
dx RjL GjC I
2
2  ( )( )
.
A condition de poser
2  ( ) ( )RjL GjC
d I
dx I
2
220 
et
d V
dx V
2
220 
2.3)
V A e B e
x x
dV
dx A e B e
x x
d V
dx A e B e V
x x
2
22 2
[ ]
A et B étant des constantes d’intégrations.
Celles-ci dépendent de la ligne, de l’alimentation et /ou de la charge.
Pour retrouver v (t), expression temporelle de
V
, il suffit de multiplier
V
par
ej t
et d’en
prendre la partie réelle. En effet, tous les calculs (c’est ce qui a été fait), sont faits sans écrire
ej t
, que l’on retrouve toujours dans les deux membres de toutes les équations. Pour
simplifier, on sous-entend
ej t
dans les calculs, bien que
ej t
soit indispensable pour que
la cohérence de la méthode soit assurée.
Remarque : en prenant un peu d’avance sur la question suivante, si l’on pose que
  j
,
alors
v t A e e e B e e e
j t x j x j t x j x
( )    
v t A e e B e e
x j t x x j t x
( ) ( ) ( )
Et l’expression obtenue fait apparaître une onde directe et une onde indirecte.

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2.4) On part du résultat de la question 2.2, à savoir :
2 2
      ( ) ( ) ( )GjC RjL RG LC jRC LG
222 2 2    j j
Par identification, il vient 2 équations :
2 2 2 1
2 2
RG LC
RC LG( )
On pourrait résoudre ce système directement, mais il existe une solution élégante à ce type de
problème.
En effet, on montre que
222 2
. On va utiliser cette “ astuce ” pour
simplifier les calculs.
Mettons tout d ’abord
2
sous la forme
2 (cos sin )j
=
22 2
2 2
2
j
.
Comme
2 2
   RG LC jRC LG( )
, il vient immédiatement :
2 2 222
222 2 22
RG LC RC LG RG LC
RG LC RC LG jRC LG RG LC RC LG
( ) ( )
( )
( )
Et comme
2 2 2
, on en tire que
2 2 2 223    RG LC RC LG( )
Ainsi, il suffit maintenant de résoudre le système suivant :
2 2 2
2 2 2 22
1
3
2 2
RG LC
RG LC RC LG
RC LG
( )
( )
De [1] + [3 ] et de [3] -[1] on déduit que :
Remarque : l’équation [2] est importante car elle donne l’indication que  et ont même
signe, que nous avons pris positif.
    ( ) ( ) ( )RG LC RG LC RC LG
2 2 2 2
2
     ( ) ( ) ( )RG LC RG LC RC LG
2 2 2 2
2