Modèle mathématique.

07/08 – 3ème
Guide de correction du Brevet Blanc de Mathématiques – Mai 2008
ACTIVITES NUMERIQUES
Exercice 1 : . Calcul de A : Qui a la priorité ? / Soustraction de deux fractions → même dénominateur puis calcul
avec les numérateurs (attention au signe du résultat) / Diviser par une fraction → multiplier par son inverse (le
résultat peut être simplifié)(signe de la réponse ?)
. Calcul de B : Il n’y a que des multiplications → séparation des nombres et des puissances de 10 / nombres → le
calcul se simplifie et donne une valeur entière / puissances de 10 du numérateur → somme des exposants /
puissances entre numérateur et dénominateur → différence des exposants / écriture scientifique : a x 10p ?
. Calcul de C : Pour
45 : la mettre sous la forme
racine carrée de ce carré parfait / Idem pour
calcul : 3 – 10 = ?
p x 5 dans laquelle p est un carré « parfait » puis « sortir » la
20 / Attention : le 5 devant
20 est multiplicateur / finir le
Exercice 2 : 1) Développer E : (5 x – 3)2 est un produit remarquable : lequel ? → suivre la forme a2 – 2 x a x b + b2
(Attention : c’est (5 x) qui est mis au carré et b vaut 3, pas –3) / Réduire : il n’y a que 9 – 81 .
2) Factoriser E : Y a-t-il un facteur commun évident ? Non → c’est la 3ème identité remarquable sous la forme :
A2 – B2 Qui joue le rôle de A ? / Si 81 joue le rôle de B2, qui joue le rôle de B ? → Factoriser sur le modèle :
(A – B)(A + B) / Réduire dans chaque parenthèse : – 3 – 9 = ? et – 3 + 9 = ?
3) Equation : Tiens, ça donne la réponse de la question précédente ! / Equation-produit nul → ne pas développer et
suivre le modèle : «A x B = 0 équivaut à A = 0 ou B = O» / Résoudre chaque petite équation séparément : passer le
nombre de l’autre côté puis diviser par 5… / Conclure : « les solutions sont … »
Exercice 3 : 1) 806 et 496 : «premiers entre eux» veut dire: «PGCD = 1» / « sans calcul » → observer les deux
nombres : leur chiffre des unités est 6 donc ils sont …. donc divisibles par …. donc leur PGCD sera-t-il 1 ? donc
sont-ils premiers entre eux ?
2) PGCD (806 ;496) : recherche par l’Algorithme d’Euclide (écrire ce titre sur la copie) soit en posant les divisions
euclidiennes successives (jusqu’au reste 0), soit en faisant un tableau : « dividende, diviseur, reste », soit en
écrivant les soustractions successives (jusqu’au résultat 0) / Conclure en justifiant : quel nombre est le PGCD et
pourquoi.
3) Rendre la fraction irréductible = diviser son numérateur et son dénominateur par leur PGCD.
Exercice 4 : La note cherchée (au dernier contrôle) est la situation initiale du problème.
La note finale est 15 ; elle vaut 100 % de la note initiale + 20 % de la note initiale donc 120 % de la note initiale,
donc : Note finale = note initiale x 120 % soit 15 = note initiale x 1,20 / Résoudre cette équation / Conclure.
ACTIVITES GEOMETRIQUES
Exercice 1 : 1) KLM est-il rectangle ? Principe : on donne les trois longueurs → Réciproque du théorème de
Pythagore / Méthode : séparer les deux calculs puis constater leur égalité puis conclure. / KM2 facile /
KL2 = ( 7 – 1)2 C’est la deuxième identité remarquable : détailler les calculs en écrivant bien 2 7 )
Même méthode pour LM2,première identité remarquable / Réduire KL2 + LM2 / Constater l’égalité / Conclure : …enL.
2) aire de KLM ? aire d’un triangle rectangle = demi-produit des côtés de l’angle droit /Ecrire le calcul d’abord avec
les lettres K,L ,M puis avec
7…. / Au numérateur, c’est le 3ème produit remarquable / calculer / Conclure : … cm2
Exercice 2 : Troisième figure de Thalès…
1) OA et FE ? parallèles connues → théorème de Thalès / Rédiger l’introduction : quelle propriété ? quels
triangles ?, surtout : quelles parallèles ?
Réciter les trois formules : « Error!» en partant du point O pour les deux premières / Remplacer / Calculer OA et
FE par les produits en croix égaux / Conclure : … cm
2) (CD)//(OA) ? toutes longueurs connues, parallèles inconnues → réciproque du théorème de Thalès / Rédiger
l’introduction : quelle propriété ? quels triangles ? quels points alignés dans le même ordre ? / Séparer les calculs
des deux rapports («Error!», en partant du point B pour les longueurs utilisées) ; Remarque : si on prend « Error!» il
faut simplifier les fractions pour trouver Error!, pas de valeurs approchées 0,333 / Constater l’égalité / Conclure.
Exercice 3 :1) Volume de la mosquée : séparer les trois formes : le cube / les demi-cylindres / les parties sphériques
. Volume cube = formule en lettres = calcul avec 30 = réponse
. 4 demi-cylindres = 2 cylindres → Volume = 2 x formule en lettres = calcul avec π , R = 15, h = 15 = réponse avec π
. 4 quarts de sphères + 1 demi-sphère = 1,5 x sphère
→ Volume = 1,5 x formule en lettres = calcul avec π et R = 15 = réponse avec π
. Volume total = volume cube + volume cylindres + volume sphères = ………. + …………. π (laisser séparés)
2) Volume du minaret : séparer le cylindre / le cône
. Volume cylindre = formule en lettres = calcul avec π , R = 4, h = 30 = réponse avec π (pas de valeur approchée)
. Volume cône = formule en lettres = calcul avec π , R = 4, h = 30 = réponse avec π (pas de valeur approchée)
. Volume minaret = Volume cylindre + Volume cône = réponse avec π + réponse avec π = réponse avec π réduite
≈ valeur approchée en nombre entier de m3
(Remarque : on pouvait constater que, le cylindre et le cône ayant même rayon et même hauteur, le volume du cylindre
vaut 3 fois le volume du cône alors : Volume minaret = 4 x Volume cône … cela ne fait plus qu’un seul calcul).
PROBLEME
Première partie
1) Figure : diamètre EG = 15 cm → rayon = 7,5 cm, puis une corde KG de 9 cm
2) Triangle EKG rectangle ? Principe : deux longueurs connues → Réciproque du théorème de Pythagore nonutilisable ! (Erreur souvent faite : calculer EK par le théorème de Pythagore dans EKG, en ignorant qu’il est
rectangle pour prouver ensuite qu’il est rectangle.) → seule possibilité ici : propriété du cercle circonscrit…/
Réciter le texte en parlant du diamètre, en nommant les choses : le triangle, le diamètre, les points.
3) EK ? Principe : on sait maintenant que EKG est rectangle → théorème de Pythagore possible / Rédiger une
introduction : quelle propriété ? quel triangle ? rectangle en … ? / Egalité avec les lettres, avec les nombres, calculs
intermédiaires / EK = …/ Conclure (cm)
4) KEG ? Principe : EKG triangle rectangle → trigonométrie possible / Rédiger une introduction : quel triangle ?
rectangle en … ? / Formule avec les lettres (sin, cos, tan sont possibles toutes trois, je choisis sin= Error!),
remplacer par les nombres, calculer le quotient exact / Alors KEG = sin –1(…) ≈ …° (arrondi entier)
Deuxième partie
Figure : P sur [EK], (PR) // (KG) puis (RS) // (EK)
Principe : on a introduit des droites parallèles dans le triangle EKG → Thalès (et x va apparaître dans les rapports)
1) PR et ER en fonction de x ? Rédiger une introduction : quelle propriété ? dans quels triangles ? avec les parallèles
(PR) et (KG) / Réciter les formules avec les lettres / On remplace : EP par x, EK connue, PR cherchée, KG connue, ER
cherchée, EG connue / Par les produits en croix égaux, PR et ER sont obtenus en fonction de x (d’abord avec des
fractions, puis on calcule la valeur décimale)
(Une variante : KEG est connu, utiliser la trigonométrie dans le triangle EPR → tan KEG = Error! alors PR = …
et cos KEG = Error! alors ER = …..)
2) P1 = périmètre de EPR = EP + PR + RE = remplacer chacune par sa valeur avec x = réponse réduite
3) P2 = périmètre du rectangle KPRS = (PK + PR) x 2 = remplacer par les valeurs avec x (sachant que PK = EK – EP)
= réponse réduite
4) P3= périmètre de RSG = RS + SG + GR = remplacer par les valeurs avec x (sachant que RS = PK ; que SG = KG – PR ;
que GR = EG – ER) …c’est un peu long à écrire = réponse réduite
Troisième partie
1) 3 x < 24 – 0,5 x (ce qui veut dire : P1 < P2) / Méthode : passer 0,5 x à gauche ; réduire à gauche ; diviser par 3,5
(positif ou négatif ? change l’inégalité ou pas ?) / Conclure : « les solutions sont les nombres ……..érieurs à … » /
Représenter sur une droite graduée, en indiquant où est le nombre 0, colorier ce qu’il faut garder.
2) 36 – 3 x < 3 x (ce qui veut dire P3 < P1) / Méthode : passer –3 x à droite ; réduire à droite ; diviser par 6 (positif
ou négatif ? change l’inégalité ou pas ?) / Conclure (en lisant la formule de droite à gauche) : « les solutions sont les
nombres ………érieurs à … » / Représenter sur la même droite graduée que le 1), colorier ce qu’il faut garder d’une
autre couleur.
3) P3 < P1 < P2 veut dire résoudre le système de deux inéquations :
{ P3 < P1 ;P1 < P2 / Les solutions sont donc celles
de la question 1 et de la question 2 en même temps. Ce sont donc les nombres …….érieurs à ….. et ………érieurs à …,
c'est-à-dire compris entre ….. et …… (Partie coloriée des deux couleurs sur la droite graduée.)
Sur la figure, cela veut dire que
faut-il colorier en rouge ?
x, c'est-à-dire EP, mesure entre 6 cm et 6,8 cm environ. Donc, quel petit segment