électricité TS - Institution Bellevue

C. Guibal – Bellevue TS physique- 3. Evolution temporelle des systèmes électriques 1/10
Partie III : EVOLUTION temporelle des SYSTEMES ELECTRIQUES
En 1ère S, nous avons étudié des systèmes électriques qui n’évolueraient pas dans le temps. Les valeurs de I et
de U étaient constantes (ex : cas des conducteurs ohmiques pour qui, la loi de fonctionnement est U = RI ).
Cette année, nous allons nous intéresser à des phénomènes transitoires associés à des courants variables : i.
Nous allons étudier le comportement de nouveaux récepteurs : condensateur et bobine pour qui la relation
entre tension (u) et intensité (i) fait intervenir une dérivée. Cette relation sera la solution particulière d’une
équation différentielle établie en écrivant la loi d’additivité des tensions (ou loi des mailles).
1- ETUDE d’un DIPÔLE (circuit) RC
Les savoir-faire
 Connaître la représentation symbolique d'un condensateur
 En utilisant la convention récepteur, savoir orienter un circuit sur un schéma, représenter les
différentes flèches tension, noter les charges des différentes armatures du condensateur.
 Connaître les relations charge-intensité ( i =
dt
dq
) et charge-tension ( q = C.u ) pour un
condensateur; connaître la signification de chacun des termes et leur unité.
 Effectuer la résolution analytique pour la tension aux bornes du condensateur ou la charge de
celui-ci lorsque le dipôle est soumis à un échelon de tension.(équa diff + solution particulière)
 En déduire l'expression de l'intensité dans le circuit.
 Connaître l’expression de la constante de temps (τ = RC ) et savoir vérifier son unité par analyse
dimensionnelle.
 Connaître l'expression de l'énergie emmagasinée dans un condensateur.( E = ½ Cu² )
 Savoir que la tension aux bornes d'un condensateur n'est jamais discontinue.
 Savoir exploiter un document exp. pour : identifier les tensions observées et montrer l'influence
de R et de C sur la charge ou la décharge (par D.Labatut &Animation Flash RC de G.Tulloue
 Savoir-faire expérimentaux : - Réaliser un montage électrique à partir d'un schéma.
- Réaliser les branchements pour visualiser les tensions aux
bornes du générateur, du condensateur et du conducteur ohmique.
- Montrer l'influence de l'amplitude de l'échelon de tension, de la résistance et de la
capacité sur le phénomène observé lors de la charge et de la décharge du condensateur.
1- 1 Qu’est-ce qu’un condensateur ?
Un condensateur est un réservoir d’énergie. Il est constitué de deux armatures conductrices
séparées par un isolant (air, mica, céramique, téflon, polyester, etc..) appelé diélectrique. Un
condensateur est représenté par le symbole ci-contre.
Ce réservoir sera d’autant plus important que la capacité (notée C , exprimée en Farad : F ) est grande.
1- 2 Relations caractérisant le comportement d’un condensateur (liant C ; q ; i ; uc)
 Expression de la tension à ses bornes uc :
La charge des armatures sera d’autant plus grande que le condensateur sera soumis à
une tension élevée. Il existe une relation de proportionnalité entre ces grandeurs : q = C uc
d’où l’expression de la tension : uc =
C
q

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 Expression de l’intensité du courant qui traverse le condensateur
Dans le cas d'un courant d'intensité variable, la quantité de charge qui traverse une section de
conducteur par unité de temps varie. Pendant la durée dt la quantité de charge qui traverse
une section de conducteur est dq. On définit alors l'intensité instantanée du courant comme
étant égale à la dérivée de la quantité de charge.
On peut en déduire la relation i = C
dt
c
du
 Expression de l’énergie emmagasinée
Un condensateur de capacité C est capable de stocker une énergie : EC =
2
1
C uc2 =
2
1
C
²q
Le stockage ou le déstockage de l’énergie ne peut s’effectuer instantanément.
Par conséquent, la tension uc aux bornes d’un condensateur ne subit pas de discontinuité.
1- 3 Comportement d’un dipôle RC : évolution temporelle de uc
 Courbe des fonctions uc (t) avec un générateur de tension ou de courant :
On peut utiliser deux types de générateur pour charger un condensateur :
un générateur idéal de tension qui maintient la tension
constante quelque soit l’intensité du courant. un générateur idéal de courant qui
maintient une intensité constante dans le
circuit.
P N P N
Lorsque le condensateur est en charge, sa tension
uAB croît au cours du temps pendant le régime
transitoire jusqu’à ce que sa tension uAB soit
constante : c’est le régime permanent.
Un générateur de courant impose un courant
constant I, ainsi q est proportionnelle à t : q = I t
Comme uc est proportionnelle à q d’après (uc =
C
q
)
alors uc est proportionnelle au temps t. Une série de
mesure de uc en fonction du temps est une méthode
pour déterminer C (exploitation du coef. directeur)

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 Etude des fonctions uc (t) lors de la charge et de la décharge avec un
générateur de tension ou de courant :
On réalise un circuit électrique alimenté par un générateur de tension. On associe
en série un condensateur de capacité C et un conducteur ohmique de résistance R.
L'ensemble constitue un dipôle (R, C). On étudie la charge du condensateur
lorsque la tension aux bornes du dipôle (R, C) augmente brusquement de 0 à la
valeur E. On dit que le dipôle (R, C) est soumis à un échelon de tension. Pendant
le régime transitoire, la tension uc croît. Les armatures du condensateur vont se
charger progressivement (la charge q augmente) jusqu’au moment où la tension à
ses bornes notée uc sera égale à celle aux bornes du générateur. A ce moment là,
le régime permanent est atteint, la tension uc est constante. Le mouvement des
électrons cesse puisqu’il n’existe plus de différence de potentiel électrique,
l’intensité du courant est nulle.
Pour déterminer la fonction mathématique uc = f(t) , il faut établir, dans chaque situation (charge ou décharge)
l’équation différentielle en appliquant la loi d’additivité des tensions. L’expression de la tension uc aux bornes
du condensateur sera la solution particulière de cette équation différentielle.
CHARGE DECHARGE
(le condensateur est initialement déchargé: uc (t = 0) = 0 ) (le condensateur est initialement chargé: uc (t = 0) = E )
uR + uc = E uR + uc = 0
R i + uc = E R i + uc = 0
RC
dt
ud c
+ uc = E RC
dt
ud c
+ uc = 0
dt
ud c
= -
RC
1
uc +
RC
E
dt
ud c
= -
RC
1
uc
Equa diff y’ = a y + b ; solution géné y = Keax -
a
b
Equation diff y’ = a y ; solution géné y = Keax
d’où uc = K e-
RC
1
t + E avec K = -E d’où solution générale uc = K e-
RC
1
t avec K = E
uc = E ( 1 – e -
RC
1
t ) = E ( 1 - e -
t
) sol. particulière uc = E e -
RC
1
t = E e -
t

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 Constante de temps  pour un dipôle RC :RC
La constante de temps donne un ordre de grandeur de la rapidité de la charge (ou de la décharge). On
considère que régime permanent est atteint au bout de 5  . Les équations différentielles montrent que
 = RC s'exprime en seconde. En effet, les deux termes du premier membre de l'équation doivent
s'exprimer en volt comme le second membre de l'équation. Cela implique que  s'exprime en seconde.
Remarque : L'analyse dimensionnelle permet de retrouver ce résultat. En effet :
- La loi d'Ohm U = R i montre que R U I 
- La relation iAB = C duAB / dt montre que C I T U 
On en déduit RC R C T  donc  = RC a bien les dimensions d'un temps (s dans USI).
Détermination graphique de la constante de temps  : deux méthodes possibles
Abscisse du point de la courbe uc = f(t)
d’ordonnée uc () = 0,63 E.
Abscisse du point d’intersection de la
tangente à l’origine de la courbe uc = f(t) et
de son asymptote horizontale uc (t) = E
Abscisse du point de la courbe uc = f(t)
d’ordonnée uc () = 0,37 E.
Abscisse du point d’intersection de la
tangente à l’origine de la courbe uc = f(t) et
de son asymptote horizontale uc (t) = 0
2 – ETUDE d’un DIPÔLE (circuit) RL
Les savoir-faire
 Résolution analytique pour l'intensité du courant dans un dipôle RL soumis à un échelon de tension.
 En déduire la tension aux bornes de la bobine. Expression de la constante de temps (+ unité analy dim)
 Connaître l'expression de l'énergie emmagasinée.
 Savoir qu'une bobine s'oppose aux variations du courant du circuit où elle se trouve et que l'intensité de
ce courant ne subit pas de discontinuité.
 Savoir exploiter un document expérimental pour: - identifier les tensions observées
- montrer l'influence de R et de L lors de l'établissement et de la disparition du courant
- déterminer une constante de temps.
 Savoir-faire expérimentaux - Réaliser un montage électrique à partir d'un schéma.
- Réaliser les branchements pour visualiser les tensions
aux bornes du générateur, de la bobine et du conducteur ohmique supplémentaire.
- Montrer l'influence de l'amplitude de l'échelon de tension, de R et de L sur le phénomène observé.
2- 1 Qu’est-ce qu’une bobine ? Une bobine est un dipôle formé par l'enroulement
cylindrique d'un fil conducteur
Une bobine est caractérisée par son inductance (notée L , exprimée en henry : H )

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2- 2 Relations caractérisant le comportement d’une
bobine (liant L ; q ; i ; uL ; EL)
Grace à des phénomènes d’auto-induction une bobine s’oppose transitoirement aux variations
(établissement et rupture) de courant dans un circuit.
Nous retiendrons que i(t) est une fonction continue dans la branche du circuit qui contient la bobine.
 Expression de la tension à ses bornes uL :
La tension aux bornes de la bobine est une fonction de i et de sa dérivée : uL = L
dt
di
+ r i
Si la bobine est « idéale », cela signifie que l’on peut considérer sa résistance
interne nulle (uniquement si l’énoncé le spécifie). Dans ce cas, le terme « ri »
est nul et l’expression de la tension devient :
 Expression de l’énergie emmagasinée
Une bobine d’inductance L est capable de stocker une énergie : EL =
2
1
L i2
2- 3 Etude d’un dipôle RL
 Etude des fonctions i (t) lors de
l’établissement puis de la rupture du
courant avec un générateur de tension :
Rupture de courant