EQUATION DIFFERENTIELLE Y`= A Y+ B

EQUATION DIFFERENTIELLE Y'= A Y+ B
1° Théorème
Soit a un nombre réel.
• Les fonctions solutions de l'équation différentielle Y '= a Y sont définies sur I; R par : f (x) = k ea x où k est une
constante réelle.
• Soit (x0; y0) un couple de nombre réels.
L'équation différentielle Y '= a Y admet une solution unique sur I; R vérifiant les conditions initiales : y0 = f (x0).
Démonstration
La fonction x Error! ea x est solution de l'équation Y ' = a Y.
Si f est une autre solution de l'équation Y ' = a Y
Soit g la fonction définie sur I; R par g (x) = Error!
On a : g '(x) = Error! = 0 donc g est une fonction constante sur l'intervalle Error! donc f est de la forme
x Error! k  ea x
La condition y0 = f (x0) s'écrit y0 = k ea x0 soit k = Error!.
Donc il existe un réel k unique et une unique fonction f solution de l'équation Y'= aY et vérifiant y0 = f (x0).
Exemple : Soit l'équation différentielle Y ' = – 2 Y.
Les solutions sont les fonctions x Error! k e– 2 x définies sur Error!. Parmi ces solutions, une seule vérifie f (1) = 3
f (1) = 3 équivaut à 3 = k e– 2, soit k = 3 e2, donc f (x) = 3 e2 e– 2 x = 3e2 – 2 x.
Remarque : Le réel a et le point A(x0 ; y0) sont donnés.
Parmi les courbes représentatives des solutions de Y ' = a Y, il existe une seule courbe passant par A.
2° Allure des courbes représentatives des solutions de Y = a Y
y
y
a>0
a<0
x
x
y
a=0
x
3° Théorème
Soit a et b des nombres réels.
• Les fonctions solutions de l'équation différentielle Y'= a Y + b sont définies sur I; R par :
Si a = 0 : x Error! b x + k
où k est une constante réelle
Si a 0 : x Error! k ea x – Error!
où k est une constante réelle
• Soit (x0 ; y0) un couple de nombre réels.
L'équation différentielle Y ' = a Y + b admet une solution unique sur vérifiant y0 = f (x0).
Démonstration '
• Si a = 0 : l'équation différentielle s'écrit Y' = b. Donc les solutions sur I; R sont les primitives sur I; R de la
fonction constante x Error! b, c'est-à-dire les fonctions x Error! b x + k où k est une constante réelle.
• Si a  0, on peut écrire Y ' = a Error!
On pose Z = Y + Error!  Y = Z – Error!
on a Z ' = Y' = a Z donc Z est solution de l'équation différentielle Z ' = a Z dont les solutions sur I; R sont les
fonctions x Error! k ea x.
Z = Y + Error!  Y = Z – Error! donc Y est de la forme : x Error! k ea x – Error!
La condition initiale y0 = f (x0) s'écrit y0 = k ea x0 – Error!. D'où k = Error! ea xError!
Donc il existe un réel k unique et une unique fonction f solution de l'équation Y' = a Y + b qui vérifie y0 , = f (x0).
f définie sur I; R par : f (x) = Error! ea x – a xError! – Error!