I ) Décharge du condensateur d`un circuit RLC série

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Oscillations libres dans un circuit RLC
I ) Décharge du condensateur d'un circuit RLC série
1)Etude expérimentale :
On réalise le montage ci-contre : On visualise la tension uC à l’aide d'une interface.
La pseudo-période T est la durée entre 2 valeurs maximales successives ou entre deux
passages par zéro dans le même sens. Elle est constante.
2) Influence de la résistance :
Dans cet exemple :
L = 100 mH
C = 5 F et RT = 20 
La tension u représentée est la
tension uC aux bornes du
condensateur.
La tension prend alternativement
des valeurs positives et négatives.
On parle
d’oscillations pseudopériodiques
T
T
T
uC(V)
Dans cet exemple :
L = 100 mH
C = 5 F et RT = 60 
La tension uC aux bornes du
condensateur décroît plus vite.
Mais la pseudo-période est la même
que précédemment.
E
K
1
K2
A
B
D
E0
UAB
UDB
R
L

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3) Etude énergétique :
Avec le montage, on peut mesurer la tension uR sur la voie B et la tension uC sur la voie A.
uR = ± R.i, on obtient donc les variations de i.
Energie emmagasinée par la bobine : EL = ½ L.i2
Energie emmagasinée par le condensateur : EC = ½ C.uC2
Energie totale : E = EL + EC = ½ L.i2 + ½ C.uC2 .
On peut ainsi grâce à l'ordinateur tracer les courbes EL, EC et E en fonction du temps.
L'énergie totale décroît en fonction du temps, elle se dissipe par effet joule dans le conducteur
ohmique.
En régime pseudo-périodique, la décharge est oscillante, il y a transfert d'énergie du
condensateur vers la bobine et réciproquement de façon alternative.
En régime apériodique, il y a seulement transfert du condensateur vers la bobine
En régime périodique, l'amortissement est négligeable, la dissipation d'énergie dans le
conducteur ohmique est négligeable. L'énergie totale reste constante, elle se conserve. Il y a
transfert continuel entre la bobine et le condensateur.
Dans cet exemple :
L = 100 mH
C = 5 F et RT = 400 
RT est très grand et le régime devient
apériodique.
Il n’y a plus d’oscillations.
Dans cet exemple :
L = 100 mH
C = 5 F et RT = 0 
RT est nulle et le régime devient
périodique.
La période des oscillations est
appelée période propre notée T0.

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II ) Etude des oscillations d'un circuit série LC d'amortissement négligeable (RT ≈ 0) :
1) Tension aux bornes du condensateur :
On respecte la convention récepteur u et i de sens contraire.
On a uL = L.
Error!
; q = C.uC ; i =
Error!
= C.
Error!
Loi des tensions : uL + uC = 0 donc L.C.
Error!
+ uC = 0 ou
Error!
+
Error!
= 0
On propose comme solution pour l'équation différentielle :
uC = Um.cos (
Error!
.t)
Um, T étant des constantes à déterminer.
Error!
= -
Error!
.Um.sin(
Error!
.t) ;
Error!
= - (
Error!
)2.Um.cos(
Error!
.t) on reporte dans l’équation differentielle :
Error!
+
Error!
= (-(
Error!
)2 +
Error!
).Um.cos(
Error!
.t) = 0 .
Il faut donc : - (
Error!
)2.+ 1/(L.C) = 0 soit T0 = 2..
Error!
T0 est appelée période propre des oscillations électriques, elle s'exprime en seconde.
Um est l’amplitude de uC.
Dans cet exemple Um = U0
Dans un régime pseudopériodique, la pseudo-période T est proche de T0 ; T ≈ T0
Analyse dimensionnelle :
[L.C] = [
Error!
].[RC] ; or [] =[RC] = T et [] = [L / R] = T donc [L.C] = T2
donc [ LC] = T ; LC a bien la dimension d'un temps
2) Intensité du courant :
On a : q = C.uC = C.Um.cos (
Error!
.t) et puisque i =
Error!
i = -C.
Error!
.U m.sin(
Error!
.t) = - Im.sin(
Error!
.t) avec Im =
Error!
.C.Um
C
L
i