LES CRITERES DE DIVISIBILITE

Année 2001-2002. Atelier Scientifique ZEP
Ecole primaire Jean Bonis & Collège Frédéric Chopin Melun
Élèves : ??
Enseignant : Jean-Michel ENGEL & Ludovic MOREAU
Chercheur : Pierre Duchet
Titre : Divisions justes

DIVISIONS JUSTES
Dans tout notre exposé, les nombres n et p désignent deux
nombres entiers non nuls.
1. Définitions
 Division euclidienne
 Etre congru à
 Division juste
 Etre divisible par
 Multiple
2. Critères de divisibilité
 Par 1
 Par 2
 Par 3
 Par 4
 Par 5
 Par 7
 Par 9
 Par 10

1. Définitions
 Division euclidienne
Effectuer la division euclidienne de n par p revient à trouver les
deux nombres entiers q et r tels que :
n = q  p + r et 0  r < p
Dans ce cas, n est appelé le dividende
p est appelé le diviseur
q est appelé le quotient
r est appelé le reste
 Etre congru à
Deux nombres entiers n1 et n2 sont congrus à un nombre
entier p si ils ont le même reste dans la division euclidienne par
p.
Notation : n1  n2 [p]
Exemple :
151 = 4  37 + 3
le reste dans la division euclidienne de 151 par 4 est égal à 3

516 = 4  129 + 3
le reste dans la division euclidienne de 516 par 4 est égal à 3
On écrit donc 516  151 [4]
 Division juste
Une division juste est une division euclidienne où le reste est
nul.
Remarque : le mot « juste » n’a pas le sens ici de « correct »
 Etre divisible par
Un nombre entier n est divisible par un autre nombre entier p si
la division euclidienne de n par p est juste.
 Multiple
Un nombre entier n est multiple d’un nombre entier p si la
division euclidienne de n par p est juste.

2. Critères de divisibilité
Pour savoir si un nombre n est divisible par un nombre p, on
peut bien sûr effectuer la division euclidienne de n par p et
étudier le reste obtenu.
Mais on veut maintenant trouver des méthodes plus rapides
pour savoir si un nombre est divisible par un autre nombre.
Voici quelques lois énoncées lors de nos recherches :
 Par 1
Tous les nombres entiers sont divisibles par 1.
n  1 = n donc la division euclidienne de n par 1 est juste
quelque soit la valeur de n.
 Par 2
Loi n°1 :
Si le chiffre des unités d’un nombre entier est égal à 0, 2, 4, 6
ou 8, alors ce nombre est divisible par 2.
Loi n°2 :
Si le chiffre des unités d’un nombre entier est égal à 1, 3, 5, 7
ou 9, alors ce nombre n’est pas divisible par 2.