I) Espaces métriques

Calcul différentiel et optimisation
Rappels. Espaces métriques. Espaces vectoriels normés. Espaces
euclidiens. .......................................................................................................... 3
I)
Espaces métriques ................................................................................ 3
II)
Normes. Espace vectoriel normé.......................................................... 3
III)
1)
2)
Espaces euclidiens. Produit scalaire. .............................................. 4
Produit scalaire ................................................................................ 4
Inégalité de Schwarz ....................................................................... 4
IV)
1)
2)
Majorant, minorant, borne supérieure, borne inferieure ................ 5
Cas d’un sous-ensemble de R .......................................................... 5
Cas d’une fonction numérique ........................................................ 6
Projection orthogonale dans un espace euclidien. Méthode des moindres
carrés. ................................................................................................................ 7
I)
Ensembles connexes d’un espace vectoriel .......................................... 7
Index des notions .............................................................................................. 9
Rappels. Espaces métriques. Espaces
vectoriels normés. Espaces euclidiens.
I) Espaces métriques
Soit X un ensemble.
Def (distance) :
d : X  X  R
 x , y   d  x, y 
x, y d x, y   d  y, x 

Telle que : x, y, z d x, z   d x, y   d  y, z 
d x, y   0  x  y

II) Normes. Espace vectoriel normé.
Def (norme) :
 x n  x     nx 

n est appelé norme sur E si : x, y nx  y   nx   n y 
nx   0  x  0

Rq : On peut déduire une distance de la norme en
prenant d x, y   nx  y  .
Rq : A partir de la distance, sachant qu’elle provient d’une norme,
on peut retrouver la norme : nx  d x,0 .
Def (boule unité) :
Soit  une norme sur E,
B  x  E x  1

B  x  E x  1
3
III)
Espaces euclidiens. Produit
scalaire.
1) Produit scalaire
Def (produit scalaire) :
Soit E un espace vectoriel.
, : E  E  R
est une forme bilinéaire symétrique définix, y   x, y
positive
Def (bilinéaire) :
y  E x  x, y linéaire
x  E y  x, y linéaire
Def (symétrique) :
x, y  E x, y  y, x
Def (défini-positive) :
x, x  0  x  0
2) Inégalité de Schwarz
x, y 
x, x
y, y
Cas d’égalité :
x, y 
x, x
y, y  0  R x  0 y  0
Conséquence :
x, x  x est une norme
x  y, x  y  d x, y  est une distance
4
IV)
Majorant, minorant, borne
supérieure, borne inferieure
1) Cas d’un sous-ensemble de R
HR
a minorant de H
Def (minorant) : 
 x  H
H minoré par a
ax
a) Borne supérieure, borne inferieure
Prop : L’ensemble des minorants M H  d’un ensemble H  Ø
minoré est un intervalle fermé à droite  ; mH  avec mH borne
inférieure de H.
Rq : Intervalle fermé
a  M H  b  a  b  M H 
an   M H   lim an  M H 
n
1er caractérisation de mH :
x  H m  x
m est la borne inferieure de H  
  0 x  H
e
2 caractérisation : Si m vérifie la condition
y  R y  m  x  H y  x alors m  mH .
x  m
b) Minima et maxima
Def (minimum) : Soit H borné inférieurement
mH  inf x  inf H
xH
Si mH  H , on dit que H admet le minimum de mH .
 y , alors y  X .
Rq : Si Y  X yn  Y tel que yn n

5
2) Cas d’une fonction numérique
Soit f : X  R
f  X   y  R x  X y  f  x 
  f x  x  X 
On se ramène au cas précédent en considérant H  f  X  . Le
maximum ou le minimum de H sera le maximum ou le minimum
de f  X  .
f est bornée  f bornée
 m, M   R 2 x  X m  f x   M
Rq : quand mH  H  a  X mH  f a , on dit que
admet un
minimum mH au point a.
f
atteint son
Rq : Une fonction continue sur un intervalle a, b fermé atteint
son minimum en un point x0 de cet intervalle.
6
Projection orthogonale dans un espace
euclidien. Méthode des moindres carrés.
Rappel (espace euclidien) : espace vectoriel muni d’un produit
scalaire.
I) Ensembles connexes d’un espace
vectoriel
Def (ensemble connexe) : Soit C  E .
On dit que C est connexe si :
 ,    0,12     1

x  C y  C   x    y  C
Autre formulation : C connexe si et seulement si
x, y   C 2 x, y   C
7
Index des notions
application symétrique
CDO ............................... 4
bilinéaire
CDO ............................... 4
bornée
Topol .............................. 6
boule
Topol .............................. 3
boule unité
CDO ............................... 3
défini-positive
CDO ............................... 4
distance
9
CDO, Topol ................ 3, 5
ensemble connexe
CDO ................................ 7
fermé
Topol ........................... 5, 6
minimum
CDO ............................ 5, 6
minorant
CDO ................................ 5
norme
CDO, Topol ................ 3, 4
produit scalaire
CDO, Topol ................ 4, 7