I) Espaces métriques

Calcul différentiel et optimisation
Rappels. Espaces métriques. Espaces vectoriels normés. Espaces
euclidiens. .......................................................................................................... 3
I) Espaces métriques ................................................................................ 3
II) Normes. Espace vectoriel normé.......................................................... 3
III) Espaces euclidiens. Produit scalaire. .............................................. 4
1) Produit scalaire ................................................................................ 4
2) Inégalité de Schwarz ....................................................................... 4
IV) Majorant, minorant, borne supérieure, borne inferieure ................ 5
1) Cas d’un sous-ensemble de R .......................................................... 5
2) Cas d’une fonction numérique ........................................................ 6
Projection orthogonale dans un espace euclidien. Méthode des moindres
carrés. ................................................................................................................ 7
I) Ensembles connexes d’un espace vectoriel .......................................... 7
Index des notions .............................................................................................. 9

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Rappels. Espaces métriques. Espaces
vectoriels normés. Espaces euclidiens.
I) Espaces métriques
Soit X un ensemble.
Def (distance) :
yxdyx
RXXd
,,
:
Telle que :
yxyxd
zydyxdzxdzyx
xydyxdyx
0,
,,,,,
,,,
II) Normes. Espace vectoriel normé.
Def (norme) :
n est appelé norme sur E si :
00
,
xxn
ynxnyxnyx
xnxnx
Rq : On peut déduire une distance de la norme en
prenant
yxnyxd ,
.
Rq : A partir de la distance, sachant qu’elle provient d’une norme,
on peut retrouver la norme :
0,xdxn 
.
Def (boule unité) :
Soit une norme sur E,
1
1
xExB
xExB

4
III) Espaces euclidiens. Produit
scalaire.
1) Produit scalaire
Def (produit scalaire) :
Soit E un espace vectoriel.
yxyx
REE
,,
:,
est une forme bilinéaire symétrique défini-
positive
Def (bilinéaire) :
yxxEy ,
linéaire
yxyEx ,
linéaire
Def (symétrique) :
xyyxEyx ,,, 
Def (défini-positive) :
00,  xxx
2) Inégalité de Schwarz
yyxxyx ,,, 
Cas d’égalité :
0,,, 00  yxRyyxxyx
Conséquence :
xxx ,
est une norme
yxdyxyx ,, 
est une distance

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IV) Majorant, minorant, borne
supérieure, borne inferieure
1) Cas d’un sous-ensemble de R
RH 
Def (minorant) :
xaHx
aH
Ha 
par minoré
deminorant
a) Borne supérieure, borne inferieure
Prop : L’ensemble des minorants
HM
d’un ensemble
ØH
minoré est un intervalle fermé à droite
H
m;
avec
H
m
borne
inférieure de H.
Rq : Intervalle fermé
HbabHa MM 
HaHa n
n
nMM  
lim
1er caractérisation de
H
m
:
m est la borne inferieure de H
mxHx
xmHx
0
2e caractérisation : Si m vérifie la condition
xyHxmyRy 
alors
H
mm 
.
b) Minima et maxima
Def (minimum) : Soit H borné inférieurement
Hxm Hx
Hinfinf  
Si
HmH
, on dit que H admet le minimum de
H
m
.
Rq : Si
YyXY n
tel que
yy n
n  
, alors
Xy 
.