Leçon 6 Théorie cinétique du gaz parfait : définition cinétique de la température, de la pression. Relation entre pression & vitesse quadratique moyenne. Equation d’état, énergie interne (PCSI) Bibliographie : la leçon est courte, il faut meubler. Ellipses : Thermodynamique : chapitre 3. Convenable. Hachette : Thermodynamique 1ère année. Chapitre 2. Eliminer les calculs hors programme. Tec & Doc : Thermodynamique 1ère & 2ème année : chapitre 1. La partie gaz réels est hors sujet. Dunod : Thermodynamique : chapitre 2. Un peu léger. Ellipses : la physique en prépa : chapitre 23. Pour démontrer le théorème d’équipartition de l’énergie (ou Feynman Méca 2 chapitre 39). I. LE MODELE. DEFINITIONS : 1. Gaz parfait : constitué de particules ponctuelles sans interaction, ne subissant que des collisions élastiques (entre particules ou sur les parois), chocs aléatoires qui font que la distribution des vitesses est uniforme & isotrope, & donc ne dépend que de la norme de la vitesse : f v 2 . 1 , où est la section no efficace de choc & no la densité particulaire. Un gaz peut être considéré comme parfait si D , où D est une dimension caractéristique du récipient qui contient le gaz. 2. Libre parcours moyen : distance moyenne entre deux chocs : 3. Grandeurs statistiques : à l'échelon d'une particule, la physique classique est réversible (équations différentielles du second ordre, invariantes par t t , mais pas celle de Schrödinger !). Les 1 fluctuations statistiques étant en sont négligeables pour le nombre d'Avogadro & donc toute N grandeur est égale à sa valeur moyenne (équilibre statistique). dFx d 2 px , où P , dFx dS dt est la pression, Fx & px les composantes respectives de la force & de la quantité de mouvement. Le gaz étant en équilibre ne peut ni gagner ni perdre de l’énergie donc les chocs sont élastiques : la variation de vitesse est donc égale au double de la composante normale. Pour une paroi orthogonale à Ox, on a, les trois directions étant équivalentes par isotropie : 2 d 2 p x 2no m.v x2 f ( v 2 )dS .dt.d 3v no m.dS .dt v 2 . La définition de la pression cinétique est 3 4. Pression cinétique : faire une figure. Pression sur la paroi Oyz : P d 2 px . Le lien avec l’énergie cinétique moyenne <> permet d’introduire la vitesse quadratique P dSdt 2 1 moyenne v * v 2 suivant : P no , & m v 2 . L’emploi des méthodes 3 2 statistiques est justifié par la grande valeur de la densité particulaire : un volume d’un litre comprend N noV 1022 particules. II. EQUATION D'ETAT : 1. Aspect énergétique : c'est le théorème de l'équipartition de l'énergie. A démontrer pour montrer que l’énergie cinétique moyenne des particules ne dépend que d’un seul paramètre. Pour un mélange de gaz (m1, v1 & m2, v2), on écrit la conservation de la quantité de mouvement & de l’énergie cinétique : m1v1 m2 v2 m1v '1 m2 v ' 2 m1 v '1 v1 m1 v2 v ' 2 1 1 1 1 m1v12 m2 v22 m1v'12 m2 v' 22 m1 v'12 v12 m2 v22 v' 22 2 2 2 2 Le rapport de ces équations conduit à : v1 v '1 v2 v '2 & on reporte dans la première : m1 m2 v1 2m2 v2 v '1 . On en déduit la variation d’énergie cinétique des paricules m1 : m1 m2 2 m1 2 2 m1 m2 m1v12 2m1m22 v22 2m m m m2 m v2 1 v '1 v1 1 2 1 v1.v2 1 1 . 2 2 2 m1 m2 m1 m2 2 m1 m2 2 4m1m2 1 m1 m2 v1.v2 puis en valeur moyenne : réduction : 1 2 2 2 m1 m2 1 4m1m2 m1 m2 2 m1 m2 v .v 1 2 2 1 2 Après . v1.v2 0 par isotropie, 1 0 car le gaz m1 ne peut ni gagner ni perdre systématiquement de l’énergie lors des chocs donc <1> = <2> donc un seul paramètre servant à mesurer la température. 2. Température cinétique : définie par : 3 k BT , ou mieux : énergie moyenne 2 1 k B T par degré de liberté. k B 1,38.1023 JK 1 est la constante de Boltzmann. Placer 2 en remarque que la température cinétique s’identifie avec la température thermodynamique (échelle Kelvin). microscopique 3. Equation d'état : combiner P & T : P no kT N R N T PV nRT , où n est un V NA NA nombre de moles. N A 6,023.1023 mol 1 est le nombre d’Avogadro, R k B N A 8,314 JK 1mol 1 est la constante molaire des gaz parfaits. 4. Vitesse quadratique moyenne : il résulte des paragraphes précédents que : 3k BT 1 3 3RT où M est la masse molaire du gaz. Pour l’air, à la m v 2 k BT v* 2 2 m M 3RT 3.8,314.298 500 m/s , de l’ordre de grandeur de la vitesse du température To = 298 K : v * M 29.10 3 son qui vaut dans les mêmes conditions : vson RT . M 5. Energie interne & capacités thermiques molaires : d’après la définition du gaz parfait, l'énergie interne est purement cinétique. Avec H U PV , il en résulte qu’il en est de même pour l’enthalpie. En raisonnant sur une mole de gaz : Pour un GP monoatomique (alors la molécule est un atome, point matériel à 3 degrés de liberté) : 3 5 3R 5R 5 U H U N A RT , H U PV RT CVM , C PM , ; 2 2 2 2 3 T V T P Pour un GP diatomique (alors la molécule est une petite haltère, solide à 5 degrés de liberté, la rotation autour de l’axe étant inefficace) : U N A 5 7 5R 7R 7 U H RT , H U PV RT CVM , C PM , ; 2 2 2 2 5 T V T P III. APPLICATIONS : pas vraiment demandé. Pour meubler. 1. Facteur de Boltzmann : vu dans le cours de statique des fluides à propos de l’atmosphère mgz , on déduit celle de la densité isotherme. De l’expression de la pression : P( z ) Po exp k T B mgz , d’où, avec W mgz , l’expression du facteur de Boltzmann : particulaire : n no exp k BT W qui se démontre en physique statistique. Dans le cas du gaz parfait : l’énergie n(W ) no exp k T B est purement cinétique, W mv 2 1 2 . mv , & le facteur de Boltzmann s’écrit : n(v ) no exp 2k B T 2 2. Loi de Maxwell : elle donne la probabilité qu’une particule ait la vitesse v à dv près, soit en mv 2 .4v 2 dv . En la normalisant à 1, on détermine la coordonnées sphériques : f (v )dv K . exp 2k B T mv 2 2 .v dv. On utilise l’intégrale de Gauss (en la dérivant constante K : 1 f (v )dv 4K exp 2k BT 0 0 par rapport à a) : 2 exp ax dx m d’où : f (v )dv a 2k BT 3/ 2 mv 2 .4v 2 dv . exp 2k B T 3. Vitesse quadratique moyenne : elle est alors définie par : v 2 v 2 f (v )dv , soit aussi : 0 m v 4 2 k T B 2 3/ 2 mv 2 4 exp 2k BT .v dv . Il faut alors dériver l’intégrale de Gauss deux fois par 0 m rapport à a, ce qui donne : v 4 2k BT définition de la température cinétique. 2 3/ 2 1 3 2k B T 2 2 2 m 5/ 2 3k BT , cohérent avec la m