Leçon 06

Leçon 6
Théorie cinétique du gaz parfait : définition cinétique de la température, de
la pression. Relation entre pression & vitesse quadratique moyenne.
Equation d’état, énergie interne (PCSI)
Bibliographie : la leçon est courte, il faut meubler.
 Ellipses : Thermodynamique : chapitre 3. Convenable.
 Hachette : Thermodynamique 1ère année. Chapitre 2. Eliminer les calculs hors programme.
 Tec & Doc : Thermodynamique 1ère & 2ème année : chapitre 1. La partie gaz réels est hors sujet.
 Dunod : Thermodynamique : chapitre 2. Un peu léger.
 Ellipses : la physique en prépa : chapitre 23. Pour démontrer le théorème d’équipartition de
l’énergie (ou Feynman Méca 2 chapitre 39).
I. LE MODELE. DEFINITIONS :
1. Gaz parfait : constitué de particules ponctuelles sans interaction, ne subissant que des collisions
élastiques (entre particules ou sur les parois), chocs aléatoires qui font que la distribution des vitesses est
uniforme & isotrope, & donc ne dépend que de la norme de la vitesse :
2
vf
.
2. Libre parcours moyen : distance moyenne entre deux chocs :
 o
n1
, où est la section
efficace de choc & no la densité particulaire. Un gaz peut être considéré comme parfait si
D
, où D
est une dimension caractéristique du récipient qui contient le gaz.
3. Grandeurs statistiques : à l'échelon d'une particule, la physique classique est réversible
(équations différentielles du second ordre, invariantes par
tt 
, mais pas celle de Schrödinger !). Les
fluctuations statistiques étant en
1
N
sont négligeables pour le nombre d'Avogadro & donc toute
grandeur est égale à sa valeur moyenne (équilibre statistique).
4. Pression cinétique : faire une figure. Pression sur la paroi Oyz :
dt
pd
dF
dS
dF
Px
x
x2
,
, où P
est la pression, Fx & px les composantes respectives de la force & de la quantité de mouvement. Le gaz
étant en équilibre ne peut ni gagner ni perdre de l’énergie donc les chocs sont élastiques : la variation de
vitesse est donc égale au double de la composante normale. Pour une paroi orthogonale à Ox, on a, les
trois directions étant équivalentes par isotropie :
  23222 ..
3
2
..)(.2 vdtdSmnvddtdSvfvmnpd oxox
. La définition de la pression cinétique est
dSdt
pd
Px
2
. Le lien avec l’énergie cinétique moyenne <> permet d’introduire la vitesse quadratique
moyenne
 2* vv
suivant :
 2
2
1
& ,
3
2vmnP o
. L’emploi des méthodes
statistiques est justifié par la grande valeur de la densité particulaire : un volume d’un litre comprend
22
10 VnN o
particules.
II. EQUATION D'ETAT :
1. Aspect énergétique : c'est le théorème de l'équipartition de l'énergie. A démontrer pour montrer
que l’énergie cinétique moyenne des particules ne dépend que d’un seul paramètre. Pour un mélange de

gaz (m1, v1 & m2, v2), on écrit la conservation de la quantité de mouvement & de l’énergie cinétique :
2
2
2
22
2
1
2
11
2
22
2
11
2
22
2
11
22111122112211
'''
2
1
'
2
1
2
1
2
1
''''
vvmvvmvmvmvmvm
vvmvvmvmvmvmvm
Le rapport de ces équations conduit à :
2211 '' vvvv  
& on reporte dans la première :
21
22121
12
'mm vmvmm v
. On en déduit la variation d’énergie cinétique des paricules m1 :
 2 .
22
2
'
2
2
11
21
2
21
2121
2
21
2
2
2
21
2
11
2
21
21
2
1
2
1
1
1vm
vv
mm
mmmm
mm
vmmvm
mm mm
vv
m
. Après
réduction :
 21
21
12
2
21
21
1.
2
4vv mm
mm
mm 
puis en valeur moyenne :
 21
21
12
2
21
21
1.
2
4vv mm
mm
mm 
.
0. 21 vv 
par isotropie,
0
1
car
le gaz m1 ne peut ni gagner ni perdre systématiquement de l’énergie lors des chocs donc <
1> = < 2>
donc un seul paramètre servant à mesurer la température.
2. Température cinétique : définie par :
TkB
2
3
, ou mieux : énergie moyenne
microscopique
TkB
2
1
par degré de liberté.
123 JK 10.38,1 
B
k
est la constante de Boltzmann. Placer
en remarque que la température cinétique s’identifie avec la température thermodynamique (échelle
Kelvin).
3. Equation d'état : combiner P & T :
AA
oN
nnRTPVT
R
V
N
kTnP NN  où ,
est un
nombre de moles.
123 mol .10023,6 
A
N
est le nombre d’Avogadro,
11molJK ,3148 
 AB kR N
est la constante molaire des gaz parfaits.
4. Vitesse quadratique moyenne : il résulte des paragraphes précédents que :
M
RT
mTk
vTkvm B
B3
3
2
3
2
1*2 
où M est la masse molaire du gaz. Pour l’air, à la
température To = 298 K :
m/s 005
10.29
298.314,8.33 3
* 
M
RT
v
, de l’ordre de grandeur de la vitesse du
son qui vaut dans les mêmes conditions :
M
RT
vson 
.
5. Energie interne & capacités thermiques molaires : d’après la définition du gaz parfait,
l'énergie interne est purement cinétique. Avec
PVUH 
, il en résulte qu’il en est de même pour
l’enthalpie. En raisonnant sur une mole de gaz :
 Pour un GP monoatomique (alors la molécule est un atome, point matériel à 3 degrés de liberté) :
3
5
,
2
5
,
2
3
2
5
,
2
3
 R
T
H
C
R
T
U
CRTPVUHRTUP
PM
V
VMA
N
;
 Pour un GP diatomique (alors la molécule est une petite haltère, solide à 5 degrés de liberté, la
rotation autour de l’axe étant inefficace) :

5
7
,
2
7
,
2
5
2
7
,
2
5
 R
T
H
C
R
T
U
CRTPVUHRTUP
PM
V
VMA
N
;
III. APPLICATIONS : pas vraiment demandé. Pour meubler.
1. Facteur de Boltzmann : vu dans le cours de statique des fluides à propos de l’atmosphère
isotherme. De l’expression de la pression :
 Tk
mgz
PzP B
oexp)(
, on déduit celle de la densité
particulaire :
 Tk
mgz
nn B
oexp
, d’où, avec
mgzW 
, l’expression du facteur de Boltzmann :
 TkW
nWn B
oexp)(
qui se démontre en physique statistique. Dans le cas du gaz parfait : l’énergie
est purement cinétique,
2
2
1mvW
, & le facteur de Boltzmann s’écrit :
 Tk
mv
nvn B
o2
exp)( 2
.
2. Loi de Maxwell : elle donne la probabilité qu’une particule ait la vitesse v à dv près, soit en
coordonnées sphériques :
dvv
Tk
mv
Kdvvf B
2
24.
2
exp.)( 
. En la normalisant à 1, on détermine la
constante K :
..
2
exp4)(1
0
2
2
0
 dvv
Tk
mv
Kdvvf B
On utilise l’intégrale de Gauss (en la dérivant
par rapport à a) :
 a dxax2 exp
d’où :
dvv
Tk
mv
Tk
m
dvvf BB
2
2
2/3 4.
2
exp
2
)( 
.
3. Vitesse quadratique moyenne : elle est alors définie par :
0
22 )( dvvfvv
, soit aussi :
0
4
2
2/3
2.
2
exp
2
4dvv
Tk
mv
Tk
m
vBB
. Il faut alors dériver l’intégrale de Gauss deux fois par
rapport à a, ce qui donne :
mTk mTk Tk
m
vBB
B
32
2
3
2
1
22
42/5
2/3
2
, cohérent avec la
définition de la température cinétique.