Modèle mathématique.

Chapitre 2 Terminale S
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FONCTIONS : LIMITES ET CONTINUITE
I Limites
1) Limites à l'infini
a) limite finie
Définition : l est un nombre réel. Dire qu'une fonction f a pour limite l en + signifie que tout
intervalle ouvert de centre l contient toutes les valeurs f(x) prises pour tous les x "assez
grand". On note
Error!
f(x) = l
Définition : ε > 0,  A  R , tel que x > A implique l- ε < f(x) < l + ε
Exemple:
Error!
Error!
= 0,
Error!
Error!
= 0,
Error!
Error!
= 0.
Remarque:Lorsqu'une fonction admet une limite finie l en l'infini alors la droite d'équation y = l est
asymptote horizontale à la courbe Cf.
b) limite infinie
Définition: Dire qu'une fonction f a pour limite + en + signifie que tout intervalle ouvert
] M ; + [ contient toutes les valeurs de f(x) prises pour tous les x " assez grands".
On note
Error!
f(x) = + .
Définition:  M  R,  A  R , tel que x > A implique f(x) > M
Remarque : On peut définir de la même manière
Error!
f(x) = - et les limites en -
Exemples:
Error!
x4 = +
Error!
x2 = +
Error!
x3 = -
2) Limites en un réel a
Dans cette partie du cours on considère une fonction f définie sur Df où a Df ou alors, a est
une borne de Df.
Limite infinie en a
Définition: Dire qu'une fonction f a pour limite + en a signifie que tout intervalle ouvert ] M ; + [
contient toutes les valeurs de f(x) prises pour les x proches de a ( c. à d. ] a –ε ; a + ε [ )
On note lim;x  a f(x) = + .
Définition : M R,  ε > 0 , tel que pour x – a  < ε on a f(x) > M
Remarque:Lorsqu'une fonction admet une limite infinie en a, alors la droite d'équation x = a est
asymptote verticale à la courbe Cf.
Limite finie en a
Définition: Dire qu'un réel l est limite d'une fonction f en a signifie que tout intervalle ouvert de centre l
contient toutes les valeurs f(x) prises pour tous les x proches de a ( c à d ] a –ε ; a + ε [ ) dans Df.

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On note lim;x  a f(x) = l
3) Opération sur les limites ( rappels chap. 7 de1ière )
Exercices: 1, 2, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 17 p 44-45
4) Théorèmes sur les limites
Théorème des gendarmes: f, g et h sont des fonctions et l est un réel.
(chap10 1ière) Si
Error!
g(x) = l et
Error!
h(x) = l et si pour x assez grand g(x)≤ f(x) ≤ h(x),
alors
Error!
f(x) = l.
ROC Démon.:
Comparaison à l'infini: Si
Error!
g(x) = + et si pour x assez grand f(x)  g(x) alors
Error!
f(x) = +
Si
Error!
g(x) = - et si pour x assez grand f(x) ≤ g(x) alors
Error!
f(x) = -
Exercices: 18, 19, 21, 24 p 45

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5) Limites de fonctions composée
Théorème: a, b et c sont chacun un réel ou + ou - .
Si lim;x  a f(x) = b et lim;x  bg(x) = c, alors lim;x  ag◦f (x) = c
On peut illustrer ce théorème par le schéma suivant:
f
x f(x)
g
y g(y) = g (f(x)) = g◦f (x) = c
a b c
6) Asymptote oblique (chap 7 1ière )
Définition: Si f(x) = ax +b + (x), avec
Error!
(x) = 0, on dit que la droite  d'équation y = ax + b est
asymptote oblique à Cf en + . La définition est analogue en –
Exercices: 27, 29, 34 p46 62, 65 p49
II Continuité
1) fonction continue en un point
Définitions: F est une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de I.
Dire que f est continue en a signifie que f admet une limite en a égale à f(a).
Dire que f est continue sur I signifie que f est continue en tout point de I.
Attention: Une fonction ne peut pas être continue en un point qui n'appartient pas au domaine de
définition, cela n'a aucun sens.
2) Dérivabilité
Théorème: Si f est dérivable en a élément de I, alors f est continue en a.
Si f est dérivable sur I, alors f est continue sur I.
ROC Démon.:
Remarque: La réciproque est fausse, la fonction racine carrée est continue en 0 mais elle n'est pas
dérivable en 0 ( rappel: f'(a) = lim;h
0
Error!
)
Continuité des fonctions usuelles
 Les fonctions polynômes, sinus et cosinus sont dérivables sur R donc elles sont continue sur R.

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 Les fonctions rationnelles sont dérivables sur leur domaine de définition Df, donc elles sont
continues sur Df.
 Toutes les fonctions construites par somme, produit, quotient ou par composition des fonctions
précédentes sont continues sur leur domaine de définition.
Exemple: g(x) = x² dérivable sur R donc continue sur R
f(x) =
Error!
dérivable sur Df = R – {1;-1} donc continue sur Df.
Les fonctions h = g + f , j = gf et k = g◦f sont dérivables sur leurs domaines de définitions
respectifs. Donner le domaine de définition de la fonction k.
Exercices: 91 p52
III Fonctions continues et résolution d'équations
1) Théorème des valeurs intermédiaires ( chap. 5 1ière )
Théorème: Soit f une fonction continue sur un intervalle [a;b]. Alors, pour tout réel y compris entre
f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b, tel que f(c) =y.
( Autrement dit : l'équation f(x) = c admet au moins une solution dans [a;b] )
Nota: la démonstration se fera plus tard à l'aide des suites adjacentes.
Corollaire*: Si f est une fonction continue sur [a; b] et si f(a).f(b) < 0 alors l'équation
f(x) = 0 admet au moins une solution dans [a; b] .
* C'est un théorème qui découle immédiatement d'un autre théorème
Démon.:
2) Théorème de bijection
Théorème: Soit f une fonction continue strictement monotone sur I = [a; b], alors pour tout réel k
compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k a une solution unique dans [a; b].
( On dit que f est une bijection de I sur f ( I ).)
ROC Démon. :

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Corollaire: Si f est une fonction continue strictement monotone sur [a; b] et si f(a).f(b) < 0 alors
l'équation f(x) = 0…….
3) Intervalle image d'une fonction continue strictement monotone
L'image d'un intervalle I par une fonction f continue et strictement monotone est un intervalle J.
On note f(I) = J ou encore Im f = J
Im f ou f(I) est l'intervalle:
Si I =
f est strictement croissante sur I
f est strictement décroissante sur I
[a;b]
]a;b]
[a;b[
]a;b[
Exercices: 36, 37, 39 p 46
4) Notion de fonction réciproque
Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I et Im f = J alors:
Pour tout xI, il existe un unique f(x)J
Pour tout yJ, il existe un unique xI. a f A
Lorsque ces 2 conditions sont vérifiées b B
on dit que f est une bijection de I sur J. I c C J
Autrement dit: chaque élément de l'ensemble de départ a exactement une image et chaque élément de
l'ensemble d'arrivée a exactement un antécédent.
Dans ce cas, comme chaque élément de l'ensemble d'arrivée a exactement un antécédent on peut définir
une nouvelle fonction g sur J tel que:
si y  J alors g(y) = x et de plus f(x) = y, la fonction g est la fonction réciproque de la fonction f .
On note g = f-1 ( se lit f moins 1)
f