le radian - Maths M. Chenivesse

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TRIGONOMETRIE
Le radian – Angles orientés –
Cosinus et Sinus
Situation :
Une course de cyclistes a lieu sur une piste circulaire, représentée par le
cercle de centre O ci-contre. D est le point de départ de la course et A le
point d’arrivée.
Quels sont les éléments géométriques intervenant et dont les mesures
intéressent les coureurs ?
I. Introduction d’une nouvelle mesure d’angle : le radian
A. Définition du radian
Compléter le tableau en notant dans chaque case la longueur L de l’arc DA, c’est-à-dire la longueur du chemin parcouru par le
cycliste, connaissant R le rayon de la piste et une mesure de l’angle ;DOA.
Mesure de
l’angle
;DOA
en degré
Nombre
de tours
Représentation
Dans chaque cas, indiquer
la position du point
d’arrivée et dessiner en
couleur le chemin
parcouru
Valeur exacte
de la
longueur L
pour R = 1
(en km)
Valeur exacte
de la
longueur L
pour R = 3
(en km)
Valeur exacte de
la longueur L
pour R
quelconque
(en km)
360°
180°
B. Différentes mesures d’un même angle
Nombre de
tours
Mesure de
l’angle en
degré
L pour R = 1
L pour R
quelconque
Mesure de
l’angle en
radian
Représentation
45°
Placer les points d’arrivée,
A1, A2, A3, et dessiner dans
chaque cas le chemin
parcouru en couleur.
405°
765°

2
90°
Placer les points d’arrivée,
B1, B2, B3, et dessiner dans
chaque cas le chemin
parcouru dans une couleur.
450°
810°
Comment obtient-on toutes les mesures de l’angle en degré à partir d’une mesure x de l’angle en degrés ?
De même, comment obtient-on toutes les mesures en radian à partir d’une mesure  de l’angle en radians ?
C. Applications
1. Longueur d’un arc de cercle
C est un cercle de centre O et de rayon R.
AB est un arc de C, L sa longueur et  la mesure en radian de l’angle ;AOB.
Exprimer L en fonction de R lorsque :
 = 2 
 = 
 = Error!
L =
L =
L =
A retenir :
2. Conversions
Compléter le tableau suivant :
Mesure
en
degrés
180
0
45
60
120
270
x
Mesure
en
radians
Error!
Error!
Error!
Error!
Error!
3. Le rapporteur
a) Placer, en bleu, sur le cercle ci-dessous les points
correspondants à un angle au centre de 30°, 45°, 60°, 90°, 120°,
135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.
b) Placer, en rouge, sur le rapporteur circulaire ci-dessus les mesures
correspondantes en radians.
c) Placer, à l’aide d’un rapporteur, les points M et N correspondants
respectivement à un angle au centre de 3 rad et 5 rad.
A retenir :

3
II. Orientation sur le cercle
A. Orientation du cercle et angles orientés
Problème :
La règle du jeu consiste pour les coureurs à parcourir 2km en partant du point de
départ « D », sur une piste circulaire de périmètre 3 km.
Où peut-on planter le poteau d’arrivée A ?
Angle orienté :
On note (
Error!
,
Error!
) l’angle décrit par le coureur lorsqu’il va de D à A.
Exercices :
On considère le cercle de rayon 1 d’origine A.
Compléter les tableaux suivants :
Point de départ
A
A
B
C
E
Longueur du
chemin parcouru
en mètres
Error!
Error!
Error!
3
Sens du parcours
+
–
–
–
–
Point d’arrivée
E
Notation
(Error!,Error!
)
(Error!, )
(Error!,Error!
)
(Error!,Error!
)
(Error!,Error!
)
une mesure en
tours
- Error!
- Error!
une mesure en
radians
- Error!
Point de départ
F
F
E
B
D

4
Longueur du
chemin parcouru
en mètres
Error!
Error!
Error!
Error!
Error!
Sens du parcours
+
–
–
+
–
Point d’arrivée
Notation
(Error!, )
(Error!, )
( , )
( , )
( , )
une mesure en
tours
une mesure en
radians
III. Cosinus et sinus d’un angle quelconque
Définition : dans un repère orthonormé ( O ; ;OI, ;OJ), on appelle cercle trigonométrique, le cercle
C de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens direct .
Exprimer les coordonnées du point M ci-contre en fonction de x :
M a pour coordonnées (……. ; ……)
Nouvelle définition du sinus et du cosinus :
Dans le cercle trigonométrique C muni du repère
orthonormé ( O ; ;OI, ;OJ ), x étant un réel
quelconque, M est un point de C associé à x.
Le cosinus de x, noté cos x est l’abscisse de M
Le sinus de x, noté sin x est l’ordonnée de M
Propriétés immédiate : pour tout x de IR:
- 1 ≤ cos x ≤ 1 et - 1 ≤ sin x ≤ 1
cos ² x + sin ² x = 1
x°
0
x rad
0
6
4
3
2
cos x
sin x
IV. Fonctions trigonométriques
Définition
On appelle fonction cosinus la fonction, notée cos, qui à tout nombre réel x associe cos x : x |→ cos x
On appelle fonction sinus la fonction, notée sin, qui à tout nombre réel x associe sin x : x |→ sin x
O
I
M
J
cos x
sin x
x

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V. Résolution d’équations
1. sin x = a ( recherche de x en radians)
 si a < -1 ou si 1 < a alors il n’y a pas de solution
 si a = 1 alors il y a une seule solution : x =
Error!
+ 2 k  avec k
Error!
 si a = -1 alors il y a une seule solution : x = -
Error!
+ 2 k  avec k
Error!
 si –1 < a < 1 alors il y a deux solutions .
On utilise la propriété suivante :
sin x = sin  
kx
ou
kx
2
2
k  
Méthode :
 trouver un angle connu dans le tableau de valeurs du III.
 si la valeur est négative, on utilise la propriété : sin ( - x ) = -sin x
 on écrit les deux égalités puis on les résout si besoin.
Exemple :
a) sin x =
Error!
( -1 <
Error!
< 1 )
On sait que x0 =
Error!
convient
On peuvent donc s’écrire :
x =
Error!
+ 2 k  avec
k
Error!
ou x =  -
Error!
+ 2 k’  avec k’
Error!
soit x =
Error!
+ 2 k’ 
b) sin x = -
Error!
sin
Error!
=
Error!
donc sin ( -
Error!
) = -
Error!
On peuvent donc s’écrire :
x = -
Error!
+ 2 k  avec
k
Error!
ou x =  - ( -
Error!
) + 2 k’  avec
k’
Error!
x =  +
Error!
+ 2 k’ 
soit x =
Error!
+ 2 k’ 
c) sin ( 2x -
Error!
) =
Error!
On peuvent donc s’écrire :
2x -
Error!
=
Error!
+ 2 k  avec k
Error!
2 x = 2
Error!
+ 2 k 
x =
Error!
+ k 
ou 2x -
Error!
=  -
Error!
+ 2 k’  avec k’
Error!
2 x =  + 2 k’ 
x =
Error!
+ k’ 