le radian - Maths M. Chenivesse

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TRIGONOMETRIE
Le radian – Angles orientés –
Cosinus et Sinus
Situation :
Une course de cyclistes a lieu sur une piste circulaire, représentée par le
cercle de centre O ci-contre. D est le point de départ de la course et A le
point d’arrivée.
Quels sont les éléments géométriques intervenant et dont les mesures
intéressent les coureurs ?
I.
Introduction d’une nouvelle mesure d’angle : le radian
A. Définition du radian
Compléter le tableau en notant dans chaque case la longueur L de l’arc DA, c’est-à-dire la longueur du chemin parcouru par le
cycliste, connaissant R le rayon de la piste et une mesure de l’angle
Mesure de Nombre
l’angle
de tours
;DOA
en degré
Représentation
Dans chaque cas, indiquer
la position du point
d’arrivée et dessiner en
couleur le chemin
parcouru
;DOA.
Valeur exacte Valeur exacte Valeur exacte de
de la
de la
la longueur L
longueur L
longueur L
pour R
pour R = 1
pour R = 3
quelconque
(en km)
(en km)
(en km)
360°
180°
B. Différentes mesures d’un même angle
Nombre de
tours
Mesure de
l’angle en
degré
45°
405°
765°
L pour R = 1
L pour R
quelconque
Mesure de
l’angle en
radian
Représentation
Placer les points d’arrivée,
A1, A2, A3, et dessiner dans
chaque cas le chemin
parcouru en couleur.
2
Placer les points d’arrivée,
B1, B2, B3, et dessiner dans
chaque cas le chemin
parcouru dans une couleur.
90°
450°
810°
Comment obtient-on toutes les mesures de l’angle en degré à partir d’une mesure x de l’angle en degrés ?
De même, comment obtient-on toutes les mesures en radian à partir d’une mesure  de l’angle en radians ?
C. Applications
1. Longueur d’un arc de cercle
C est un cercle de centre O et de rayon R.
AB est un arc de C, L sa longueur et  la mesure en radian de l’angle
;AOB.
Exprimer L en fonction de R lorsque :
=2
L=
=
L=
 = Error!
L=
A retenir :
2. Conversions
Compléter le tableau suivant :
Mesure
en
180
degrés
Mesure
en
radians

0
45
60
120
x

Error!
Error!
3. Le rapporteur
a) Placer, en bleu, sur le cercle ci-dessous les points
correspondants à un angle au centre de 30°, 45°, 60°, 90°, 120°,
135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.
b) Placer, en rouge, sur le rapporteur circulaire ci-dessus les mesures
correspondantes en radians.
c) Placer, à l’aide d’un rapporteur, les points M et N correspondants
respectivement à un angle au centre de 3 rad et 5 rad.
A retenir :
270
Error!Error!Error!

3
II.
Orientation sur le cercle
A. Orientation du cercle et angles orientés
Problème :
La règle du jeu consiste pour les coureurs à parcourir 2km en partant du point de
départ « D », sur une piste circulaire de périmètre 3 km.
Où peut-on planter le poteau d’arrivée A ?
Angle orienté :
On note (Error! , Error!) l’angle décrit par le coureur lorsqu’il va de D à A.
Exercices :
On considère le cercle de rayon 1 d’origine A.
Compléter les tableaux suivants :
Point de départ
A
A
B
C
E
Longueur du
chemin parcouru
en mètres

Error!
Error!
Error!
3
Sens du parcours
+
–
–
–
–
Point d’arrivée
E
Notation
(Error!,Error!
)
une mesure en
tours
une mesure en
radians
Point de départ
(Error!,
- Error!
)
(Error!,Error! (Error!,Error! (Error!,Error!
)
)
)
- Error!
- Error!
F
F
E
B
D
4
Longueur du
chemin parcouru
en mètres
Error!
Error!
Error!
Error!
Error!
Sens du parcours
+
–
–
+
–
Point d’arrivée
Notation
(Error!,
)
(Error!,
)
(
,
)
(
,
)
(
,
)
une mesure en
tours
une mesure en
radians
III. Cosinus et sinus d’un angle quelconque


Définition : dans un repère orthonormé ( O ; ;OI, ;OJ), on appelle cercle trigonométrique, le cercle
C de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens direct .
J
Exprimer les coordonnées du point M ci-contre en fonction de x :
M a pour coordonnées (……. ; ……)
sin x
M
x
Nouvelle définition du sinus et du cosinus :
Dans le cercle trigonométrique C muni du repère


orthonormé ( O ; ;OI, ;OJ ), x étant un réel
quelconque, M est un point de C associé à x.
Le cosinus de x, noté cos x est l’abscisse de M
Le sinus de x, noté sin x est l’ordonnée de M
O
cos x
Propriétés immédiate : pour tout x de IR:
- 1 ≤ cos x ≤ 1 et - 1 ≤ sin x ≤ 1
cos ² x + sin ² x = 1
x°
0
x rad
0

6

4

3

2
cos x
sin x
IV. Fonctions trigonométriques
Définition
On appelle fonction cosinus la fonction, notée cos, qui à tout nombre réel x associe cos x :
On appelle fonction sinus la fonction, notée sin, qui à tout nombre réel x associe sin x :
x |→ cos x
x |→ sin x
I
5
Résolution d’équations
V.
1. sin x = a ( recherche de x en radians)
 si a < -1 ou si 1 < a alors il n’y a pas de solution
 si a = 1 alors il y a une seule solution : x = Error! + 2 k  avec k  Error!
 si a = -1 alors il y a une seule solution : x = - Error! + 2 k  avec k  Error!
 si –1 < a < 1 alors il y a deux solutions .
On utilise la propriété suivante :
 x    2 k

sin x = sin   ou
k
 x      2 k




Méthode :
trouver un angle connu dans le tableau de valeurs du III.
si la valeur est négative, on utilise la propriété : sin ( - x ) = -sin x
on écrit les deux égalités puis on les résout si besoin.
Exemple :
a) sin x = Error! ( -1 < Error! < 1 )
On sait que x0 = Error! convient
On peuvent donc s’écrire :
x = Error!
+2k
k  Error!
avec
ou x =  - Error!
Error!
soit x = Error!
b) sin x = - Error!
sin Error! = Error! donc sin ( - Error! ) = - Error!
On peuvent donc s’écrire :
x = -Error!
+2k
avec
k  Error!
c) sin ( 2x - Error! ) = Error!
On peuvent donc s’écrire :
2x - Error! = Error!
+2k
 Error!
2 x = 2 Error!
+2k
x = Error!
+k
avec k
+ 2 k’  avec k’ 
+ 2 k’ 
ou x =  - ( - Error! ) + 2 k’ 
k’  Error!
x =  + Error!
+ 2 k’ 
soit x = Error!
+ 2 k’ 
ou 2x - Error! =  - Error!
 Error!
2x=
+ 2 k’ 
x = Error!
+ k’ 
avec
+ 2 k’  avec k’
6
2. cos x = a
 si a < -1 ou si 1 < a alors il n’y a pas de solution
 si a = 1 alors il y a une seule solution : x = 2 k 
avec k  Error!
 si a = -1 alors il y a une seule solution : x =  + 2 k 
avec k  Error!
 si –1 < a < 1 alors il y a deux solutions .
On utilise la propriété suivante :
 x    2 k

cos x = cos   ou
k
 x     2 k

Méthode :
 trouver un angle connu dans le tableau de valeurs du III.
 si la valeur est négative, on utilise la propriété : cos (  - x ) = - cos x
 on écrit les deux égalités puis on les résout si besoin.
Exemple :
a) cos x = Error! ( -1 < Error! < 1 )
On sait que x0 = Error! convient
On peuvent donc s’écrire :
x = Error!
+2k
k  Error!
avec
ou x = - Error!
b) cos x = - Error!
cos Error! = Error! donc cos (  – Error! ) = - Error!
On peuvent donc s’écrire :
x = Error!
+ 2 k  avec k 
Error!
c) cos ( 2x - Error! ) = Error!
On peuvent donc s’écrire :
2x - Error! = Error!
+2k
 Error!
2 x = 2 Error!
+2k
x = Error!
+k
+ 2 k’  avec k’ 
Error!
 – Error! = Error!
ou x = - Error!+ 2 k’ 
avec k’ 
Error!
avec k
ou 2x - Error! = - Error!
 Error!
2 x = 2 k’ 
x = k’ 
+ 2 k’ 
avec k’