6e AF Chute réelle

6e AF
Chute réelle
Une goutte de brouillard
1) Une goutte de brouillard qu’on pourra supposer sphérique, de masse m, de masse volumique  = 1,0 g/cm3, de


rayon R, tombe verticalement dans l’air. Elle est soumise à une force de frottement de la forme f   k .v . A
l’approche du sol, la vitesse de la goutte est constante et a pour valeur v = 1,5 cm/s. On rappelle que le
4
volume d’une sphère s’écrit : V   R3 .
3
a) Sachant que l’air a une masse volumique ’ = 1,3.10-3 g/cm3, montrer que
la poussée d’Archimède est négligeable devant le poids de la goutte.
b) Etablir l’équation différentielle du mouvement de la goutte.
c) En déduire la condition pour que la vitesse limite soit atteinte. Donner
l’expression littérale de cette vitesse limite en fonction de m, g et k.
k .t



d) Vérifier que v  t   vlim .1  e m  est solution de l’équation différentielle.


e) Sachant que le coefficient k qui intervient dans la force de frottement
s’écrit k  6 R , calculer le rayon R de la goutte. Donnée : viscosité
dynamique de l’air  =1,8.10-5 Nm-2s.
Un parachutiste
2) Considérons le mouvement d’un parachutiste avec son parachute (masse totale m = 100 kg) dans le champ de
pesanteur uniforme g = 9,8 N/kg. L’air lui exerce une force de résistance de forme f = k.v². Lorsque le
parachute est ouvert, k a une valeur de 20 SI. On admet que la masse volumique du parachutiste avec le
parachute fait p = 1,1 g/cm3 et que la masse volumique de l’air est a = 1,3 kg/m3.
a) Calculez le volume V du système parachutiste + parachute. Vérifiez que la poussée d’Archimède FA est
négligeable devant le poids P.
b) Etablissez l’équation différentielle du mouvement admettant v(t) pour solution.
c) Après avoir ouvert le parachute, la vitesse du parachutiste diminue. On suppose qu’à la date t1 = 0 s, la
vitesse fait v1 = 10 m/s. En utilisant la méthode d’Euler, déterminez la vitesse v2 à la date t2 = 0,10 s.
Déduisez-en la vitesse v3 à la date t3 = 0,20 s.
d) Déterminez la vitesse limite vL du mouvement quand le parachute est ouvert.
e) Retrouvez, par analyse dimensionnelle, l’unité de la constante k.
f) En sachant que la constante k = 0,67.S.a, calculez la section S du parachute.
Un caillou dans de l’eau
3) A la date t = 0 s, on dépose, sans vitesse initiale, un caillou de masse m = 50 g et de masse volumique
C = 3000 kg/m3 à la surface de l’eau (masse volumique E = 1000 kg/m3). Au cours du mouvement, l’eau lui
exerce une résistance de forme f = k.v, avec k = 3,0 SI.
a) Par l’analyse dimensionnelle, trouvez l’unité de k.
b) Calculez la poussée d’Archimède FA et le poids P. On ne va pas négliger FA.
c) Montrez que l’équation différentielle du mouvement admettant v(t) pour
solution s’écrit sous forme
dv
 A  B.v . Exprimez A et B en fonction des
dt
données de l’énoncé. Calculez A et B.
d) Vérifiez que la fonction v  t  
A C  B.t
 .e est solution de l’équation
B B
différentielle, C étant une constante.
e) En appliquant la condition initiale, trouvez la valeur de C.
f) Déterminez la vitesse limite vL du mouvement du caillou et dessinez le graphe de v(t).
g) En utilisant la méthode d’Euler, déterminez la vitesse du caillou v1 à la date t1 = 0,01 s et la vitesse la
vitesse v2 à la date t2 = 0,02 s. Comparez les résultats avec les valeurs exactes trouvées en utilisant la
formule en c).
6e AF
Chute réelle
Une goutte de brouillard
1) Une goutte de brouillard qu’on pourra supposer sphérique, de masse m, de masse volumique  = 1,0 g/cm3, de


rayon R, tombe verticalement dans l’air. Elle est soumise à une force de frottement de la forme f   k .v . A
l’approche du sol, la vitesse de la goutte est constante et a pour valeur v = 1,5 cm/s. On rappelle que le
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volume d’une sphère s’écrit : V   R3 .
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a) Sachant que l’air a une masse volumique ’ = 1,3.10-3 g/cm3, montrer que
la poussée d’Archimède est négligeable devant le poids de la goutte.
b) Etablir l’équation différentielle du mouvement de la goutte.
c) En déduire la condition pour que la vitesse limite soit atteinte. Donner
l’expression littérale de cette vitesse limite en fonction de m, g et k.
k .t



d) Vérifier que v  t   vlim .1  e m  est solution de l’équation différentielle.


e) Sachant que le coefficient k qui intervient dans la force de frottement
s’écrit k  6 R , calculer le rayon R de la goutte. Donnée : viscosité
dynamique de l’air  =1,8.10-5 Nm-2s.
Un parachutiste
2) Considérons le mouvement d’un parachutiste avec son parachute (masse totale m = 100 kg) dans le champ de
pesanteur uniforme g = 9,8 N/kg. L’air lui exerce une force de résistance de forme f = k.v². Lorsque le
parachute est ouvert, k a une valeur de 20 SI. On admet que la masse volumique du parachutiste avec le
parachute fait p = 1,1 g/cm3 et que la masse volumique de l’air est a = 1,3 kg/m3.
a) Calculez le volume V du système parachutiste + parachute. Vérifiez que la poussée d’Archimède FA est
négligeable devant le poids P.
b) Etablissez l’équation différentielle du mouvement admettant v(t) pour solution.
c) Après avoir ouvert le parachute, la vitesse du parachutiste diminue. On suppose qu’à la date t1 = 0 s, la
vitesse fait v1 = 10 m/s. En utilisant la méthode d’Euler, déterminez la vitesse v2 à la date t2 = 0,10 s.
Déduisez-en la vitesse v3 à la date t3 = 0,20 s.
d) Déterminez la vitesse limite vL du mouvement quand le parachute est ouvert.
e) Retrouvez, par analyse dimensionnelle, l’unité de la constante k.
f) En sachant que la constante k = 0,67.S.a, calculez la section S du parachute.
Un caillou dans de l’eau
3) A la date t = 0 s, on dépose, sans vitesse initiale, un caillou de masse m = 50 g et de masse volumique
C = 3000 kg/m3 à la surface de l’eau (masse volumique E = 1000 kg/m3). Au cours du mouvement, l’eau lui
exerce une résistance de forme f = k.v, avec k = 3,0 SI.
a) Par l’analyse dimensionnelle, trouvez l’unité de k.
b) Calculez la poussée d’Archimède FA et le poids P. On ne va pas négliger FA.
c) Montrez que l’équation différentielle du mouvement admettant v(t) pour
solution s’écrit sous forme
dv
 A  B.v . Exprimez A et B en fonction des
dt
données de l’énoncé. Calculez A et B.
d) Vérifiez que la fonction v  t  
A C  B.t
 .e est solution de l’équation
B B
différentielle, C étant une constante.
e) En appliquant la condition initiale, trouvez la valeur de C.
f) Déterminez la vitesse limite vL du mouvement du caillou et dessinez le graphe de v(t).
g) En utilisant la méthode d’Euler, déterminez la vitesse du caillou v1 à la date t1 = 0,01 s et la vitesse la
vitesse v2 à la date t2 = 0,02 s. Comparez les résultats avec les valeurs exactes trouvées en utilisant la
formule en c).