1. Equations Horaires : équations du mouvement en fonction du temps

Modélisation d’un prototype en vue du marathon shell.
Mercedes 7G-Tronic
MODULE 8 : EFFECTUER UN CALCUL EN CINEMATIQUE
8-A
Caractériser un mouvement et identifier les paramètres
8-B
Calculer des paramètres dans le cas de mouvements simples
8-C
Déterminer le champ des vecteurs vitesse des points d’un solide
Un peu d’histoire :
La cinématique permet d’étudier et de décrire les mouvements des solides, sans tenir compte des causes qui
les produisent.
2000 ans avant JC, la civilisation chinoise et les mésopotamiens essayaient déjà d’expliquer les phénomènes
terrestres visibles (mouvement du soleil, de la lune ; éclipses de soleil, de lune …). Les connaissances de
l’époque permettaient d’élaborer des théories qui nous paraissent maintenant bien farfelues.
400 ans avant JC, Aristote posait les bases de la cinématique : il existe 2 types de mouvement :
 Le mouvement de translation rectiligne (chute d’un objet),
 Le mouvement de rotation (rotation des astres sur eux-mêmes).
Il faudra attendre le XIVème siècle pour que les grandeurs cinématiques (position, vitesse, accélération) soient
enfin clairement définies.
SOMMAIRE
1- Equations horaires
2- Référentiel espace - temps
3- Position
4- Vecteur vitesse de rotation
5- Vitesse
6- Accélération
7- Ce qu’il faut retenir (mais qui est insuffisant).

Module 8 : Effectuer un calcul de cinématique Cours p2/9
1. Equations Horaires : équations du mouvement en fonction du temps
1.1 RAPPELS NOTATIONS ET DEFINITIONS
Paramètres susceptibles d’évoluer en fonction du temps ‘t’
Mouvement
Position
Vitesse
Accélération
Translation Rectiligne
Rotation
Pour la suite on considérera le cas d’un mouvement de translation rectiligne.
Tout ce qui suit pourra être adapté directement au cas d’un mouvement de rotation, en changeant simplement
les notations.
Définitions :
 Mouvement uniforme : mouvement dans lequel la vitesse est constante.
 mouvement uniformément accéléré : mouvement dans lequel l’accélération est constante.
1.2 CAS DU MOUVEMENT UNIFORME :
On note :
t0 : instant initial (en général t0=0s)
x0 : la position initiale (à t=t0),
v0 : la vitesse initiale (à t=t0),
x(t) : la position à l’instant t.
Equations horaires
Graphe de position
x = v0.t + x0
0
t
x0
x
Graphe de vitesse
v = v0
0
t
v0
v
Justification des équations horaires :
a(t) = 0
v(t) = v0 = constante
x(t) = v0.(t-t0) + x0

Module 8 : Effectuer un calcul de cinématique Cours p3/9
1.3 CAS DU MOUVEMENT UNIFORMEMENT ACCELERE :
Soient :
t0 : instant initial,
x0 : la position initiale (à t=t0) ;
v0 : la vitesse initiale (à t=t0) ;
a : l’accélération initiale (à t=t0) ;
x(t) : la position à l’instant t.
v(t) : la vitesse à l’instant t.
Equations horaires
Graphe de position
x = f(t)
(branche de
parabole)
0
t
x0
x
Graphe de vitesse
v = v0 + a.t
0
t
v0
v
Justification des équations horaires :
Le mouvement est uniformément accéléré donc a(t)=cste, on notera a(t)=a
Détermination des constantes cste1 et cste2 :
Pour t=t0 ,
Par définition :
td tvd
ta )( )( 
Or a(t)=a=cste donc v(t) = a.t + cste1
Pour t=t0 , v(t0) = a.t0 +cste1 et aussi v(t0) = v0
donc cste1 = v0 - a.t0
Ainsi :
00).( vttatv 
Par définition :
td txd
tv )( )( 
)( )(
0
ttd txd
Or
00).( vttatv 
Donc, en intégrant,
2)().(.
2
1
)( 00
2
0cstettvttatx 
Or, pour t=t0 ,
2)( 0cstetx 
et aussi
00)( xtx 
Donc cste2 = x0
Finalement :
000
2
0)().(.
2
1
)( xttvttatx 
a(t) = a = constante
00).( vttatv 
000
2
0)().(.
2
1
)( xttvttatx 

Module 8 : Effectuer un calcul de cinématique Cours p4/9
2. Référentiel espace-temps
2.1 LE TEMPS
Quelle que soit l’étude cinématique, on a toujours besoin de se situer dans le temps. On appelle instant
t ou date t le temps écoulé depuis une origine des temps t0 (en général =0s).
L’unité de mesure du temps (système ISO) est la seconde, notée s.
Origine
t0=0
Instant 1
t1
Instant 2
t2
Echelle du temps
t = t2-t1 est appelée durée entre les deux instants t1 et t2.
2.2 L’ESPACE
2.2.1. Solide indéformable
En cinématique, on supposera que tous les solides sont indéformables.
Autrement dit, pour tous points A et B appartenant au solide S :
csteAB 
2.2.2. Référence spatiale
Pour décrire un mouvement, il est indispensable de préciser la référence.
L’étude de tout mouvement implique deux solides en présence :
- Le solide (S) dont on étudie le mouvement,
- Le solide (S0) par rapport auquel on définit le mouvement (la référence).
(S0) est appelé solide de référence, auquel on associe le repère de référence
0000 ,,, zyxOR
.
Ce repère est constitué : d’une origine O et d’une base :
000 ,, zyx
Remarque : Par commodité mathématique, on utilisera des repères orthonormés directs.
Le mouvement de (S) par rapport à (S0) est noté
0
/SS
Mvt
.
2.3 REFERENTIEL
Le repère de référence
0000 ,,, zyxOR
permet de décrire le mouvement du solide S dans l’espace et au
cours du temps.
En associant le repère R0 et le temps, R0 devient un référentiel.
=> Référentiel = repère + temps

Module 8 : Effectuer un calcul de cinématique Cours p5/9
3. Position
3.1 DEFINITIONS
Soient deux solides S0 et S1 et deux référentiels associés à
S0 et S1 :
00000 ,,, zyxOR
et
11111 ,,, zyxOR
La position d’un point P de l’espace par rapport à R0 sera
définie par le vecteur
PO0
.
La position d’un point P de l’espace par rapport à R1 sera
définie par le vecteur
PO1
.
On notera :
0/P
T
la trajectoire du point P par rapport à R0 (ou à S0).
0/1P
T
ou
0/1,P
T
ou encore
0/1P
T
la trajectoire du point P « appartenant à S1 » par rapport à R0 (ou à
S0).
3.2 NE PAS OUBLIER
-
1
P
(ou
1
P
) veut dire que P est un point immobile par rapport au solide S1 (P peut être sur S1 ou en dehors).
-
0/1
P
est un point fixe sur S1 mais qui varie, au cours du temps, par rapport à S0
Pour se souvenir :
La roue 1 roule sans glisser sur le sol 0.
1/P
T
=
0/P
T
=
4. Vecteur Rotation d’un solide (ou d’un repère)
4.1 DEFINITION
Le centre GS du solide S décrite une trajectoire (C) dans le
référentiel
00000 ,,, zyxOR
.
La rotation de S autour de GS est caractérisée par le vecteur
0/S
appelé vecteur de rotation du solide S dans R0.
Ce vecteur
0/S
est tel que :
-
0/S
est porté par l’axe de rotation de S dans R0
-
0/S
correspond à la vitesse angulaire de S dans R0 et a pour unité : rad.s-1
4.2 EXEMPLE
Une roue (S1) tourne autour de son axe
1
,xA
.
La position de cette roue est donnée par l’angle
10,yy
.
Donc
0/
1
S
=
Le dessin représentant le paramétrage est très utile pour
déterminer un vecteur vitesse de rotation.
Il faut savoir lire et dessiner ce type de dessin.
P
0
1
S0
S1
0
z
0
y
0
x
0
O
1
z
1
y
1
x
1
O
P
PO1
PO0
0/P
T
0
y
1
y
0
z
1
z
10 xx 