1. Equations Horaires : équations du mouvement en fonction du temps

Modélisation d’un prototype en vue du marathon shell.
Mercedes 7G-Tronic
MODULE 8 : EFFECTUER UN CALCUL EN CINEMATIQUE
8-A
Caractériser un mouvement et identifier les paramètres
8-B
Calculer des paramètres dans le cas de mouvements simples
8-C
Déterminer le champ des vecteurs vitesse des points d’un solide
Un peu d’histoire :
La cinématique permet d’étudier et de décrire les mouvements des solides, sans tenir compte des causes qui
les produisent.
2000 ans avant JC, la civilisation chinoise et les mésopotamiens essayaient déjà d’expliquer les phénomènes
terrestres visibles (mouvement du soleil, de la lune ; éclipses de soleil, de lune …). Les connaissances de
l’époque permettaient d’élaborer des théories qui nous paraissent maintenant bien farfelues.
400 ans avant JC, Aristote posait les bases de la cinématique : il existe 2 types de mouvement :
 Le mouvement de translation rectiligne (chute d’un objet),
 Le mouvement de rotation (rotation des astres sur eux-mêmes).
Il faudra attendre le XIVème siècle pour que les grandeurs cinématiques (position, vitesse, accélération) soient
enfin clairement définies.
SOMMAIRE
1234567-
Equations horaires
Référentiel espace - temps
Position
Vecteur vitesse de rotation
Vitesse
Accélération
Ce qu’il faut retenir (mais qui est insuffisant).
Module 8 : Effectuer un calcul de cinématique
Cours p2/9
1. Equations Horaires : équations du mouvement en fonction du temps
1.1 RAPPELS NOTATIONS ET DEFINITIONS
Mouvement
Paramètres susceptibles d’évoluer en fonction du temps ‘t’
Position
Vitesse
Accélération
Translation Rectiligne
Rotation
Pour la suite on considérera le cas d’un mouvement de translation rectiligne.
Tout ce qui suit pourra être adapté directement au cas d’un mouvement de rotation, en changeant simplement
les notations.
Définitions :
 Mouvement uniforme : mouvement dans lequel la vitesse est constante.

mouvement uniformément accéléré : mouvement dans lequel l’accélération est constante.
1.2 CAS DU MOUVEMENT UNIFORME :
On note :
t0 : instant initial (en général t0=0s)
x0 : la position initiale (à t=t0),
v0 : la vitesse initiale (à t=t0),
x(t) : la position à l’instant t.
Equations horaires
Graphe de position
x
a(t) = 0
v(t) = v0 = constante
x(t) = v0.(t-t0) + x0
v
x = v0.t + x0
v = v0
v0
x0
0
Justification des équations horaires :
Graphe de vitesse
t
0
t
Module 8 : Effectuer un calcul de cinématique
Cours p3/9
1.3 CAS DU MOUVEMENT UNIFORMEMENT ACCELERE :
Soient :
t0 : instant initial,
x0 : la position initiale (à t=t0) ;
v0 : la vitesse initiale (à t=t0) ;
a : l’accélération initiale (à t=t0) ;
x(t) : la position à l’instant t.
v(t) : la vitesse à l’instant t.
Equations horaires
Graphe de position
Graphe de vitesse
v
x
a(t) = a = constante
vt   a.(t  t0 )  v0
1
x(t )  .a.(t  t0 ) 2  v0  (t  t0 )  x0
2
v = v0 + a.t
x = f(t)
(branche de
parabole)
x0
v0
0
t
0
t
Justification des équations horaires :
Le mouvement est uniformément accéléré donc a(t)=cste, on notera a(t)=a
Par définition : a (t ) 
d v(t )
dt
Or a(t)=a=cste donc v(t) = a.t + cste1
Pour
t=t0 , v(t0)des
= a.tconstantes
0 +cste1 et aussi v(t0) = v0
Détermination
cste1 et cste2 :
donc cste1 = v0 - a.t0
   a.(t  t0 )  v0
Pour :t=t
v0t,
Ainsi
Par définition : v (t ) 
Or
d x (t )
dt
 d x(t ) 
 

d
(
t

t
)
0 

vt   a.(t  t0 )  v0
Donc, en intégrant,
Or, pour t=t0 ,
1
x(t )  .a.(t  t0 ) 2  v0  (t  t0 )  cste2
2
x(t0 )  cste2
et aussi
x(t0 )  x0
Donc cste2 = x0
Finalement : x(t ) 
1
.a.(t  t0 ) 2  v0  (t  t0 )  x0
2
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Cours p4/9
2. Référentiel espace-temps
2.1 LE TEMPS
Quelle que soit l’étude cinématique, on a toujours besoin de se situer dans le temps. On appelle instant
t ou date t le temps écoulé depuis une origine des temps t0 (en général =0s).
L’unité de mesure du temps (système ISO) est la seconde, notée s.
Echelle du temps
Origine
t0=0
Instant 1
t1
Instant 2
t2
t = t2-t1 est appelée durée entre les deux instants t1 et t2.
2.2 L’ESPACE
2.2.1.Solide indéformable
En cinématique, on supposera que tous les solides sont indéformables.
Autrement dit, pour tous points A et B appartenant au solide S :
AB  cste
2.2.2.Référence spatiale
Pour décrire un mouvement, il est indispensable de préciser la référence.
L’étude de tout mouvement implique deux solides en présence :
- Le solide (S) dont on étudie le mouvement,
- Le solide (S0) par rapport auquel on définit le mouvement (la référence).
(S0) est appelé solide de référence, auquel on associe le repère de référence R0

Ce repère est constitué : d’une origine O et d’une base : x0 , y0 , z0

O, x , y , z  .
0
0
0
Remarque : Par commodité mathématique, on utilisera des repères orthonormés directs.
Le mouvement de (S) par rapport à (S0) est noté MvtS / S0 .
2.3 REFERENTIEL
Le repère de référence


R0 O, x0 , y0 , z0 permet de décrire le mouvement du solide S dans l’espace et au
cours du temps.
En associant le repère R0 et le temps, R0 devient un référentiel.
=> Référentiel = repère + temps
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3. Position
3.1 DEFINITIONS
Soient deux solides S0 et S1 et deux référentiels associés à
S0 et S1 :



R0 O0 , x0 , y0 , z0 et R1 O1 , x1 , y1 , z1

x0
S0
O0 P .
O 0P
O0
La position d’un point P de l’espace par rapport à R0 sera
définie par le vecteur
TP / 0
y0
z0
On notera :
O 1P
z1
O1
La position d’un point P de l’espace par rapport à R1 sera
définie par le vecteur
P
O1 P .
y1
x1
S1
TP / 0 la trajectoire du point P par rapport à R0 (ou à S0).
TP1/ 0 ou TP ,1 / 0 ou encore TP 1/ 0 la trajectoire du point P « appartenant à S1 » par rapport à R0 (ou à
S0).
3.2 NE PAS OUBLIER
P1 (ou P1 ) veut dire que P est un point immobile par rapport au solide S1 (P peut être sur S1 ou en dehors).
- P1/ 0 est un point fixe sur S1 mais qui varie, au cours du temps, par rapport à S0
-
Pour se souvenir :
1
La roue 1 roule sans glisser sur le sol 0.
P
0
TP /1 =
TP / 0 =
4. Vecteur Rotation d’un solide (ou d’un repère)
4.1 DEFINITION
Le centre GS du solide S décrite une trajectoire (C) dans le
référentiel


R0 O0 , x0 , y0 , z0 .
La rotation de S autour de GS est caractérisée par le vecteur
 S / 0 appelé vecteur de rotation du solide S dans R0.
Ce vecteur  S / 0 est tel que :
-  S / 0 est porté par l’axe de rotation de S dans R0
-  S / 0 correspond à la vitesse angulaire de S dans R0 et a pour unité : rad.s-1
4.2 EXEMPLE
 
Une roue (S1) tourne autour de son axe A, x1 .
La position de cette roue est donnée par l’angle

  y0 , y1
Donc
.
 S1 / 0 =
Le dessin représentant le paramétrage est très utile pour
déterminer un vecteur vitesse de rotation.
Il faut savoir lire et dessiner ce type de dessin.
z1
z0
y1

x0  x1
y0
Module 8 : Effectuer un calcul de cinématique
Cours p6/9
5. Vitesse / Champ des vecteurs vitesse
5.1 VITESSE D’UN POINT DANS UN REFERENTIEL
Soient :
- R1, un référentiel,
- S2 un solide
- A et B deux points du point du solide S2
On note la vitesse du point A dans R1 à la date t, par le vecteur :
On utilise également une autre notation, simplifiée :
V( A / 1)
V( A2 / 1) .
dans laquelle on sous-entend que A appartient au
solide 2.
La vitesse peut être vue comme la variation de la position d’un objet dans un temps donné. En mathématiques,
on appelle cela une dérivée : la vitesse est la dérivée de la position par rapport au temps.
Pour aller plus loin :
Sachant que la position d’un point P est définie, dans le repère R1, par le vecteur
O1 P , on pourrait définir la
 d O1 P 
 .
 dt  1
vitesse d’un point par relation suivante : V( P /1)  
5.2 CHAMP DES VECTEURS VITESSE
Connaissant
V( A2 / 1) , on peut déterminer V( B2 / 1)
a partir de la relation suivante :
V( B2 /1)  V( A2 /1)  BA ^  2 /1
PS : cette relation ne vous rappelle rien ???
5.3 COMPOSITION DES VITESSES :
Composition des vecteurs vitesse :
V( A / 1)  V( A / 2)  V( A2 / 1)
Et en généralisant au cas de n solides :
Composition des vecteurs rotation :
V( An / 1)  V( An / n1)  V( An1 / n2)    V( A3 / 2)  V( A2 / 1)
3 / 1  3 / 2   2 / 1
Et en généralisant au cas de n solides :
n / 1  n / n 1  n 1 / n  2    3 / 2  2 / 1
Module 8 : Effectuer un calcul de cinématique
Cours p7/9
5.4 VITESSE DE GLISSEMENT EN UN POINT, ENTRE 2 SOLIDES
Soit P, un point de la zone de contact entre deux solides S1 et S2. On appelle
vecteur vitesse de glissement en P du solide S2 par rapport au solide S1 le vecteur
V( P2 / 1) .
D’après la composition des vitesses :
V( P2 / 1)  V( P2 / 0)  V( P1 / 0)
On en déduit que ce vecteur vitesse de glissement en P, de S 2 par rapport à S1,
est tangent à S2 et à S1.
x
5.5 MOUVEMENTS PARTICULIERS
x0
Origine du repère
5.5.1.Mouvement de translation :
On dit que le solide S2 est en mouvement de translation dans R1 si,
à chaque instant t,
 A S2 et  B  S2 : V( A2 / 1)  V( B2 / 1)
Or S2 est un solide et A et
O
Instant t0
Instant t
B S2 donc V( A /1)  V( B /1)  AB^  2 /1
On vérifie donc bien qu’en mouvement de translation :
2 / 1  0 .
5.5.2.Mouvement de Rotation :
On dit que le solide S2 est en mouvement de rotation dans R1 si,
Il existe deux points A et B tels que
V( A2 / 1)  0 et V( B2 / 1)  0 .
Ces deux points définissent l’axe de rotation du solide S2.
La vitesse de rotation de 2 par rapport à 1 est notée :
C
S2
B
2 / 1 =   x
A
Soit D un point sur l’axe de rotation (AB) tel que :
AD  d  x
Calculer V( D2 / 1) :
Soit C un point du solide 2 tel que
Calculer
V(C2 / 1) :
AC  c  x  r  y
x
θ
D
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6. Accélération
6.1 ACCELERATION D’UN POINT DANS UN REFERENTIEL
Soient :
- R1, un référentiel,
- S2 un solide
- A et B deux points du point du solide S2
L’accélération du point A dans R1 à la date t, est notée :
On utilise également une autre notation, simplifiée :
( A2 /1) .
( A /1)
dans laquelle on sous-entend que A appartient au
solide 2.

6.2 ACCELERATION D’UN POINT D’UN SOLIDE EN ROTATION

R0 O, x, y, z est un référentiel supposé immobile.
Soit S une roue, de rayon r, en train de tourner autour du point O, et P un
point de S tel que
OP  r  i
( P / 0)  r    v
Avec :
 r  2  i
 : vitesse de rotation, aussi notée  , en rad/s
 : accélération angulaire en rad/s-2
On distingue donc deux composantes d’accélérations :
- accélération tangentielle (tangent au mouvement) : at  r  
- accélération centripète (vers l’intérieur) : ac  r  
6.3
MOUVEMENT DE ROTATION UNIFORME
Dans ce cas :  2 / 1   =0
Ainsi
( P / 0) 
2
Module 8 : Effectuer un calcul de cinématique
Cours p9/9
7. Ce qu’il faut retenir, mais qui est insuffisant…
7.1 LES PARAMETRES
Mouvement de translation : x, v, a
Mouvement de rotation :
Et les unités ad hoc.
 , , 
7.2 VITESSE D’UN POINT
La vitesse est la dérivée de la position.
Notation :
V( A2 / 1)
Relation pour calculer la vitesse d’un point à partir d‘un autre :
V( B2 /1)  V( A2 /1)  BA ^  2 /1
7.3 ACCELERATION D’UN POINT
Notation :
( A2 /1)
Relation dans le cas d’un mouvement de rotation :
( P / 0)  r    v
 r  2  i
Savoir retrouver l’accélération centripète et la tangentielle.
7.4 EQUATIONS HORAIRES
Cas d’un mouvement de translation rectiligne uniformément accéléré :
a(t) = a = constante
vt   a.(t  t0 )  v0
1
x(t )  .a.(t  t0 ) 2  v0  (t  t0 )  x0
2
Savoir simplifier ces relations, passer à un mouvement uniforme, et faire de même pour les cas de rotation.
7.5 CAS PARTICULIERS
 
Objet en rotation autour de l’axe O, z , paramètre de rotation :
Position
OP  r  i

Vitesse
V( P / 1)
=
Accélération
( P / 1)