Histoire des sciences

1
Histoire des sciences
Détermination de quelques
paramètres du système
solaire
I. Premières évaluations de distances par les Grecs
1. Mesure du rayon terrestre par Erathostène
Le jour du solstice d’été, à midi, le soleil est au zénith à Syène, ville égyptienne située
sur le tropique du Cancer. Le même jour, à la même heure, les rayons du soleil font un
angle de 7°12’ avec la verticale d’Alexandrie, ville située sur le même méridien. La
distance entre les deux villes était évaluée à l’époque à 5000 stades (un stade valant
environ 157 m).
a) Qu’est ce que le solstice d’été, pourquoi faire la mesure ce jour-là, en utilisant une
ville située sur le tropique du Cancer ?
b) Evaluer le rayon terrestre selon la méthode d’Erathostène.
c) Comparer avec la valeur actuelle du rayon terrestre.
Alexandrie
Rayons solaires
Syène
2. Détermination du rayon lunaire et de la distance Terre-Lune
Hipparque mesura le temps mis par la Lune pour traverser le cône d’ombre de la Terre
lors d’une éclipse totale de Lune et le compara au temps mis par la Lune pour entrer
totalement dans ce cône. Il trouva un rapport de un sur trois.
a) En déduire la valeur du rayon lunaire, en utilisant la valeur du rayon terrestre
obtenue par Erathostène. Comparer à la valeur actuellement admise.
b) Quelles sont les sources d’erreurs dans cette méthode ?
c) La Lune étant vue depuis la Terre sous un angle d’un demi degré, estimer la distance
Terre-Lune.
d) Comment cette grandeur est-elle mesurée actuellement ?
2
Histoire des sciences
3. Distance Terre-Soleil et rayon solaire
Aristarque proposa une méthode pour déterminer la distance terre-soleil : il avait
constaté que l’intervalle de temps s’écoulant entre la nouvelle lune et le premier
quartier est plus court que celui qui sépare premier quartier de la pleine lune. (la
différence est de 35 minutes) connaissant la période synodique de la
lune : 29 j 12h 44 mn, il parvint à donner une valeur à la distance Terre-soleil. On
prendra la distance Terre-Lune précédemment déterminée.
B
Orbite lunaire
A
Soleil
C
Terre
a) Identifier, pour chaque position A, B ou C de la Lune où se trouvent la nouvelle
lune, le premier quartier et la pleine Lune.
b) Déterminer la valeur de l’angle B-Terre-C (angle ).
c) En déduire la valeur de la distance Terre soleil.
d) Comparer à la valeur actuellement admise 149,6.109 km.
e) Comment cette grandeur est-elle mesurée actuellement ?
f) Comment définir le diamètre apparent d’un astre ?
g) Calculer le rayon du soleil sachant que l’on voit, de la terre, le diamètre solaire sous
un angle 2 = 32 minutes.
II. Etude de la pesanteur
1. Mesure de la constante de gravitation universelle par la méthode de Cavendish
(1798)
Un fil de torsion horizontal AO supporte par son centre O un fléau horizontal aux
extrémités duquel sont fixées deux petites masses en B et D (de masse m = 50 g). Ces
masses sont soumises à l’attraction de deux grosses sphères faites de plomb et d’or E et
F (de masse M = 30 kg). Le fléau se met alors à tourner puis se stabilise en position 1.
On place alors les masses en E’ et F’, le plateau tourne en sens inverse et se stabilise de
nouveau en position 2. L’angle  entre les positions 1 et 2, mesuré par méthode optique
grâce à un petit miroir fixé sur le fléau est de 0,19.10–2 rad. On notera l = OB = 0,1 m,
d = DF = BE = 0,15 m et C la constante de torsion du fil égale à 0,45.10–6 N.m.rad–1.
Position 1
E
F’

B
Position 2
O
D
E’
F
3
Histoire des sciences
a) Proposez un protocole pour expliquer comment Cavendish a déterminé la constante
de torsion C du fil.
b) A partir de la valeur de  , déterminer la constante de gravitation universelle G.
Comparer à la valeur admise actuellement G = 6,67.10–11 SI.
c) Expliquer le principe de mesure de l’angle avec le miroir, la cave de Cavendish
mesurait 5 mètres de long, cela lui permettait-il une mesure précise ?
d) Pour une meilleure mesure, il avait songé à diminuer la constante de torsion C mais
s’est heurté à des difficultés expérimentales. Lesquelles ?
2. Expérience de Von Jolly (1881)
Quatre ballons de verre sont suspendus sous les plateaux A et B d’une balance. Les
ballons 1 et 4 sont remplis de mercure et ont une masse M = 5 kg, les autres vides. On
intervertit les ballons 1 et 3 ainsi que les ballons 2 et 4. Von Jolly constate alors qu’il
doit rajouter une masse m = 63,4 mg sur l’un des plateaux pour rétablir l’équilibre.
A
B
1
3
2
4
a) Exprimer l’accélération de la pesanteur g en fonction de RT, rayon terrestre, G, MT,
masse de la terre et de z, altitude (on notera go l’accélération de la pesanteur au niveau
du sol).
g – g 2z

b) En déduire que o
si z est négligeable par rapport à RT.
go
RT
1 g
c) En déduire la valeur de
.
g z
d) Sur quel plateau faut-il ajouter une petite masse ? Sachant que la différence
d’altitude z entre les ballons etait de 21 m, l’expérience est-elle concluante ?
III. Quelques autres expériences ou théories historiques
1. Détermination des masses de Sirius et de son compagnon par Bessel
Sirius et son compagnon ont une période de 50 ans. Les demi-grands axes mesurés sont
14,1 et 6 unités astronomiques. Quelles sont les masses de ces deux astres ?
4
Histoire des sciences
On rappelle que lorsque les deux astres sont en mouvement, la troisième loi de Képler
T2
4 2
prend la forme suivante :
et que les demis-grands axes sont

(a1  a2 )3 G(m1  m2 )
m2
m1
a et a2 
a avec a  a1  a2 .
homothétiques selon : a1 
m1  m2
m1  m2
2. La loi de Titius-Bode (1766)
Titius (1729-1796) observa une régularité dans les distances inter-planètes, développée
par Bode (1747-1826), elle se traduit en 1787 par la relation rn  0,4  0,3.2n qui
donne le rayon de la nième planète (la Terre est n°1) en unités astronomiques.
a) Exprimer, grâce aux valeurs données en photocopies, les rayons orbitaux pour Mars,
Jupiter, Saturne, Uranus et Neptune en UA.
b) Exprimer rn pour n allant de 1 à 7 avec la Loi de Titius, comparer aux valeurs
précédentes. Montrer qu’il manque une planète sur l’orbite correspondant à n = 3. A
quoi cela correspond-il ?
 Repères chronologiques
Parménide
504 ; –450)
(–
Aristote (–390 ; –320)
Anaximandre
611 ; –545)
(–
Eratosthène (–273 ; –192)
Ptoléméee (90–168)
Thales (–640 ; –562)
Aristarque de Samos
(–310 ; –230)
Kepler (1571; 1630)
Galilée (1564 ; 1642)
Copernic (1436;
1476)
Tycho-Brahé
(1546; 1601)
Newton (1642 ; 1727)
Histoire des sciences
5
 Bibliographie
[1] J.P. Perez, Mécanique, fondements et applications, 6ème éd, Masson-Dunod 2001
[2] O. Granier, J. Léon, De l’atome à l’univers, Ellipses 1999
[3] G. Pascoli, Astronomie fondamentale 3ème éd, Masson-Dunod 2000
[4] H. Gié, Vers l’est ou vers l’ouest ? BUP n°685
[5] G. Lavertu, M. Bathier, Le pendule de Foucault, BUP n°65
[6] J.P. Petit, Les aventures d’Anselme Lanturlu, Cosmic Story, Belin 1994
[7] Dictionnaire de l’astronomie, Encyclopædia Universalis, Albin Michel 1999
[8] F. Drouin, L’astronomie en questions, Vuibert 2001
[9] P. Barthélémy, Des physiciens tentent de mesurer la vitesse de la gravité,
Le Monde du 13 septembre 2002
[10] J.P. Verdet, Histoire de l’astronomie, Que sais-je n°165, Puf 1998
[11] J. Lindeman, Mécanique, De Boeck 1999
[12] J. Sivardière, Histoire de la découverte du système solaire, BUP n°773 et 774