0. - Lycée Henri BECQUEREL

TS1-TS2 Correction du devoir surveillé n°1
Exercice 1 : Vrai-Faux
f est une fonction deux fois dérivable sur I; R dont
la dérivée f ’ a la représentation graphique suivante :
A- Vrai : f ’ est strictement positive sur [1 ; + ∞ [,
donc f est strictement croissante sur [1 ; + ∞ [.
B-Vrai : f ’(-
2
1
) = 0 et f ’ change de signe autour de -
2
1
,
donc f admet un minimum en x = -
2
1
.
C-Faux : f ’ est strictement négative sur [- 2 ; -
2
1
[, donc f est strictement décroissante sur [- 2 ; -
2
1
[.
Si f(- 2) = 1 alors pour tout x  [- 2 ; -
2
1
[, on a x ≥ - 2 f(x) ≤ f(- 2) f(x) ≤ 1.
D-Faux : f ’(-
2
1
) = 0 la courbe de f admet une tangente horizontale au point d’abscisse -
2
1
.
E-Vrai : la courbe de f ’ admet une tangente horizontale au point d’abscisse 1
La fonction f ’ est dérivable en 1 avec le nombre dérivé de f ’ en 1 qui vaut 0
1)1(')('
lim1
xfxf x
= 0.
Exercice 2 : QCM
1a) L’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse 2 a pour équation :
y = f ’(2)(x – 2) + f (2) y = - 2(x – 2) + 3 y = - 2x + 7
2b)
hfhf
h
)2()2(
lim0
= 0
par définition, la fonction f est dérivable en 2 et le nombre dérivé f ’(2) = 0
3b) f(x) =
3²2  xx
. f est la composée de la fonction trinôme x 2x² - x – 3 dérivable sur I; R par la
fonction racine carrée dérivable sur
*
IR
. Or, 2x² - x – 3 > 0 sur ] - ; - 1 [ ]
2
3
; + [.
On peut l’observer à l’aide de la courbe représentative de cette fonction trinôme (courbe strictement au-
dessus de l’axe des abscisses). Plus rigoureusement, à l’aide du discriminant : = (-1)² - 4(2)(-3) = 25.
> 0 donc le trinôme a deux racines réelles distinctes : x1 =
2
3
)2(2 251
et x2 =
1
)2(2 251
.
0 1
1
-2
2/3
-2/3
-1/2

Le trinôme est du signe de a = 2 à l’extérieur des racines, soit strictement positif sur ] - ; - 1[ ]
2
3
; + [.
Alors, l’ensemble de dérivabilité de f est Df ’ = ] - ; - 1[ ]
2
3
; + [ .
4b) f(x) =
106² 53 xx x
. f est une fonction rationnelle définie lorsque le trinôme x² - 6x + 10 0.
= (- 6)² - 4(1)(10) = - 4. < 0 donc le trinôme est du signe de a = 1, soit strictement positif, sur I; R.
Alors, l’ensemble de définition de f est Df = I; R.
5c) f(x) = (4x3 – 2x + 1)7. f est dérivable sur I; R Or, (un)’ = nun – 1.u’ .
Posons u(x) = 4x3 – 2x + 1 u’(x) = 12x² - 2. Alors,
f ’(x) = 7(4x3 – 2x + 1)6 (12x² - 2) f ’(x) = 7(4x3 – 2x + 1)6 2(6x² -1) f ’(x) = 14(4x3 – 2x + 1)6 (6x² - 1)
6c) f(x) = sin (3x²). f est la composée d’une fonction trinôme par la fonction sinus dérivables sur I; R,donc f est
dérivable sur I; R. or (sin u)’ = u’.cos u. Posons u(x) = 3x² u’(x) = 6x. Alors, f ’(x) = 6x.cos(3x²).
7a) f(x) = tan x. f est une fonction de référence dérivable sur I; R\ {
2
+ k , k Z }. Alors, f ’(x) =
x²cos
1
.
Exercice 3 :
Partie A
Soit f la fonction définie sur I; R* par : f(x) = x2 + 1 +
Error!
=
Error!
1) a) (x – 1)(x2 + x + 1) = x3 + x2 + x –x2 – x – 1 = x3 – 1 Soit x3 – 1 = (x – 1)(x2 + x + 1).
x3 – 1 = (x – 1)(x2 + x + 1).
b) f est dérivable sur I; R* comme somme de fonctions dérivables sur I; R* et
Error!
f ’(x) =
Error!
=
Error!
=
Error!
d’après la question précédente.
Pour étudier les variations de f, on étudie le signe de f ’(x).
Le discriminant de x2 + x + 1 est égal à  = 1² – 4 1 1 = – 3< 0 donc x2 + x + 1 > 0, x2 > 0 sur I; R* donc le
signe de f ’(x) ne dépend que du signe de (x – 1).
On en déduit le tableau de variations de f.
x
–  0 1 + 
(x – 1)
– – 0 +
(x2 + x + 1)
+ + +
x2
+ 0 + +
f ’(x)
–  – 0 +
f (x)
+  +  + 
– 4
Error!
(x2 + 1) = + et
Error!
Error!
= 0 donc
Error!
De même,
Error!
(x2 + 1) = + et
Error!
Error!
= 0 donc
Error!
lim;x  0 (x2 + 1) = 1 et lim;x  0-
Error!
= – donc
Error!
La droite d’équation x = 0 est asymptote
lim;x  0 (x2 + 1) = 1 et lim;x  0+
Error!
= + donc
Error!
verticale à C

2) On considère la parabole d’équation y = x2 + 1.
a) f(x) – (x2 + 1) = x2 + 1 +
Error!
– (x2 + 1) =
Error!
Error!
Error!
= 0 donc
Error!
. De même,
Error!
Error!
= 0 donc
Error!
Graphiquement, on peut dire que la courbe C se rapproche de la courbe quand x tend vers + ou – , la
parabole est asymptote à C en + et – .
b) Pour étudier la position relative des courbes C et , on étudie le signe de f(x) – (x2 + 1) =
Error!
Error!
3) a) Soit P le polynôme de degré 3 défini par P(x) = x3 + x + 2.
P(1) = 13 + 1 + 2 = 0 donc – 1 est une racine de P et P(x) est factorisable par x + 1
Or, ( x + 1)(x2 + ax + b) = x3 + ax2 + bx + x2 + ax + b = x3 + (a + 1)x2 + (b + a)x + b
Par identification des coefficients des termes de même degré, on en déduit les égalités suivantes :
a + 1 = 0, b + a = 1 et b = 2 d’où a = –1 et b = 2 donc P(x) = ( x + 1)(x2 – x + 2)
b) f(x) 0 x2 + 1 +
Error!
0
Error!
0
donc
Error!
c) x2 – x + 2 a pour discriminant = – 7 < 0 donc x2 – x + 2 est strictement positif sur I; R.
x
–  – 1 0 + 
x + 1
– 0 + +
x2 – x + 2
+ + +
x
– – 0 +
f(x)
+ 0 – +
Donc les solutions de l’inéquation f(x) 0 sont
Error!
d) Graphiquement ce résultat signifie que
Error!
4) Une équation de la tangente T à C au point d’abscisse – 1 est de la forme y = f ’( – 1) (x – ( –1)) + f( – 1)
Or f(– 1) = (– 1)² + 1 +
Error!
= 0 et f ’(– 1) = 2 (– 1) –
Error!
= – 4
T a alors pour équation y = – 4(x + 1) + 0 soit encore y = – 4x – 4
Une équation de la tangente à C au point d’abscisse – 1 est : y = – 4x – 4
Partie B
Soit g la fonction définie par g(x) = f(x).
1) a) x Dg f(x) 0 puisque la fonction x
Error!
Error!
est définie sur
Error!
+
x ] – , – 1] ]0, + [ d’après A3c)
Donc l’ensemble de définition de la fonction g est :
Error!
b) Première méthode :
. Sur ] – , – 1[, f est décroissante et f(x) [0, + [ . La fonction x
Error!
Error!
est strictement croissante sur
I; R+

Donc la fonction g, composée de la fonction f suivie de la fonction racine carré est décroissante
. De même sur ]0, 1], f est décroissante et f(x) [0, + [ donc g est décroissante.
. [1, + [, f est croissante et f(x) [0, + [ . La fonction x
Error!
Error!
est strictement croissante sur
Error!
+
Donc la fonction g est croissante.
On en déduit les variations de g
x
–  – 1 0 1 + 
g(x)
0 2
Deuxième méthode :
g(x) = f(x). La fonction f est dérivable et est strictement positive sur ] – , – 1[ ]0, + [, la fonction
x
Error!
Error!
est dérivable sur
Error!
+* donc la fonction g est dérivable sur ] –
, – 1[ ]0, + [ d’après le
théorème sur la dérivation de fonctions composées et
Error!
Le signe de g’(x) ne dépend que du signe de f ’(x) puisque f(x) > 0 sur ] – , – 1[ ]0, + [
x
–  – 1 0 1 + 
f ’(x)
– – 0 +
g (x)
0 2
2) a) Une fonction g définie sur un intervalle I et a un point de I, h un réel différent de 0 tel que a + h
appartient à I. On dit que g est dérivable en a si le quotient
Error!
admet une limite finie lorsque h tend vers
0 .