0. - Lycée Henri BECQUEREL

TS1-TS2
Correction du devoir surveillé n°1
Exercice 1 : Vrai-Faux
f est une fonction deux fois dérivable sur I; R dont
la dérivée f ’ a la représentation graphique suivante :
1
2/3
A- Vrai : f ’ est strictement positive sur [1 ; + ∞ [,
donc f est strictement croissante sur [1 ; + ∞ [.
-2
-1/2
0
1
1
) = 0 et f ’ change de signe autour de - ,
2
2
1
donc f admet un minimum en x = - .
2
B-Vrai : f ’(-
C-Faux : f ’ est strictement négative sur [- 2 ; Si f(- 2) = 1 alors pour tout x  [- 2 ; D-Faux : f ’(-
1
-2/3
1
1
[, donc f est strictement décroissante sur [- 2 ; - [.
2
2
1
[, on a x ≥ - 2  f(x) ≤ f(- 2)  f(x) ≤ 1.
2
1
1
) = 0  la courbe de f admet une tangente horizontale au point d’abscisse - .
2
2
E-Vrai : la courbe de f ’ admet une tangente horizontale au point d’abscisse 1
 La fonction f ’ est dérivable en 1 avec le nombre dérivé de f ’ en 1 qui vaut 0
 lim
x 1
f ' ( x)  f ' (1)
= 0.
x 1
Exercice 2 : QCM
1a) L’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse 2 a pour équation :
y = f ’(2)(x – 2) + f (2)  y = - 2(x – 2) + 3  y = - 2x + 7
2b) lim
h 0
f (2  h)  f (2)
=0
h
 par définition, la fonction f est dérivable en 2 et le nombre dérivé f ’(2) = 0
3b) f(x) =
2 x ²  x  3 . f est la composée de la fonction trinôme x  2x² - x – 3 dérivable sur I; R par la
fonction racine carrée dérivable sur IR * . Or, 2x² - x – 3 > 0 sur ] -  ; - 1 [  ]
3
; +  [.
2
On peut l’observer à l’aide de la courbe représentative de cette fonction trinôme (courbe strictement audessus de l’axe des abscisses). Plus rigoureusement, à l’aide du discriminant :  = (-1)² - 4(2)(-3) = 25.
 > 0 donc le trinôme a deux racines réelles distinctes : x1 =
1  25 3
1  25
 et x2 =
 1 .
2(2)
2
2(2)
3
Le trinôme est du signe de a = 2 à l’extérieur des racines, soit strictement positif sur ] -  ; - 1[  ] ; +  [.
2
Alors, l’ensemble de dérivabilité de f est Df ’ = ] -  ; - 1[  ]
3
; + [ .
2
3  5x
. f est une fonction rationnelle définie lorsque le trinôme x² - 6x + 10  0.
x ²  6 x  10
 = (- 6)² - 4(1)(10) = - 4.  < 0 donc le trinôme est du signe de a = 1, soit strictement positif, sur I; R.
Alors, l’ensemble de définition de f est Df = I; R.
4b) f(x) =
5c) f(x) = (4x3 – 2x + 1)7. f est dérivable sur I; R Or, (un)’ = nun – 1.u’ .
Posons u(x) = 4x3 – 2x + 1  u’(x) = 12x² - 2. Alors,
f ’(x) = 7(4x3 – 2x + 1)6 (12x² - 2)  f ’(x) = 7(4x3 – 2x + 1)6 2(6x² -1)  f ’(x) = 14(4x3 – 2x + 1)6 (6x² - 1)
6c) f(x) = sin (3x²). f est la composée d’une fonction trinôme par la fonction sinus dérivables sur I; R,donc f est
dérivable sur I; R. or (sin u)’ = u’.cos u. Posons u(x) = 3x²  u’(x) = 6x. Alors, f ’(x) = 6x.cos(3x²).
7a) f(x) = tan x. f est une fonction de référence dérivable sur I; R\ {

1
+ k  , k  Z }. Alors, f ’(x) =
.
cos ² x
2
Exercice 3 :
Partie A
Soit f la fonction définie sur I; R* par : f(x) = x2 + 1 + Error! = Error!
1) a) (x – 1)(x2 + x + 1) = x3 + x2 + x –x2 – x – 1 = x3 – 1 Soit x3 – 1 = (x – 1)(x2 + x + 1).
x3 – 1 = (x – 1)(x2 + x + 1).
b) f est dérivable sur I; R* comme somme de fonctions dérivables sur I; R* et Error!
f ’(x) = Error! = Error! = Error! d’après la question précédente.
Pour étudier les variations de f, on étudie le signe de f ’(x).
Le discriminant de x2 + x + 1 est égal à  = 1² – 411 = – 3< 0 donc x2 + x + 1 > 0, x2 > 0 sur I; R* donc le
signe de f ’(x) ne dépend que du signe de (x – 1).
On en déduit le tableau de variations de f.
x
(x – 1)
2
(x + x + 1)
x2
f ’(x)
–
0
–
+
+
–
+
0

+
–
+
+
–
1
0
0
+
+
+
+
+
+
f (x)
–
4
(x2 + 1) = +  et Error! Error! = 0 donc Error!
De même, Error! (x2 + 1) = +  et Error! Error! = 0 donc Error!
Error!
lim;
(x2 + 1) = 1 et lim;
lim;
(x2 + 1) = 1 et lim;
x0
x0
x  0x  0+
Error!
= –  donc Error!
Error!
= +  donc Error!
La droite d’équation x = 0 est asymptote
verticale à C
2) On considère la parabole  d’équation y = x2 + 1.
a) f(x) – (x2 + 1) = x2 + 1 + Error! – (x2 + 1) = Error!
Error! Error! = 0 donc Error!. De même, Error! Error! = 0 donc Error!
Graphiquement, on peut dire que la courbe C se rapproche de la courbe  quand x tend vers +  ou – , la
parabole  est asymptote à C en +  et – .
b) Pour étudier la position relative des courbes C et , on étudie le signe de f(x) – (x2 + 1) = Error!
Error!
3) a) Soit P le polynôme de degré 3 défini par P(x) = x3 + x + 2.
P(1) = 13 + 1 + 2 = 0 donc – 1 est une racine de P et P(x) est factorisable par x + 1
Or, ( x + 1)(x2 + ax + b) = x3 + ax2 + bx + x2 + ax + b = x3 + (a + 1)x2 + (b + a)x + b
Par identification des coefficients des termes de même degré, on en déduit les égalités suivantes :
a + 1 = 0, b + a = 1 et b = 2 d’où a = –1 et b = 2 donc P(x) = ( x + 1)(x2 – x + 2)
b) f(x)  0  x2 + 1 + Error!  0  Error!  0
donc Error!
c) x2 – x + 2 a pour discriminant = – 7 < 0 donc x2 – x + 2 est strictement positif sur I; R.
x
–
–1
x+1
–
x2 – x + 2
0
+
0
+
+
+
+
+
x
–
–
f(x)
+
0
0
–
+
+
Donc les solutions de l’inéquation f(x)  0 sont Error!
d) Graphiquement ce résultat signifie que
Error!
4) Une équation de la tangente T à C au point d’abscisse – 1 est de la forme y = f ’( – 1) (x – ( –1)) + f( – 1)
Or f(– 1) = (– 1)² + 1 + Error! = 0 et f ’(– 1) = 2(– 1) – Error! = – 4
T a alors pour équation y = – 4(x + 1) + 0 soit encore y = – 4x – 4
Une équation de la tangente à C au point d’abscisse – 1 est : y = – 4x – 4
Partie B
Soit g la fonction définie par g(x) = f(x).
1) a) x  Dg  f(x)  0 puisque la fonction x Error! Error! est définie sur Error!+
 x ] – , – 1]  ]0, +[ d’après A3c)
Donc l’ensemble de définition de la fonction g est : Error!
b) Première méthode :
. Sur ] – , – 1[, f est décroissante et f(x)  [0, +[ . La fonction x Error! Error! est strictement croissante sur
I; R+
Donc la fonction g, composée de la fonction f suivie de la fonction racine carré est décroissante
. De même sur ]0, 1], f est décroissante et f(x)  [0, +[ donc g est décroissante.
. [1, +[, f est croissante et f(x)  [0, +[ . La fonction x Error! Error! est strictement croissante sur Error!+
Donc la fonction g est croissante.
On en déduit les variations de g
x
–
–1
0
+
1
g(x)
0
2
Deuxième méthode :
g(x) = f(x). La fonction f est dérivable et est strictement positive sur ] – , – 1[  ]0, +[, la fonction
x Error! Error! est dérivable sur Error!+* donc la fonction g est dérivable sur ] – , – 1[  ]0, +[ d’après le
théorème sur la dérivation de fonctions composées et Error!
Le signe de g’(x) ne dépend que du signe de f ’(x) puisque f(x) > 0 sur ] – , – 1[  ]0, +[
x
f ’(x)
–
–1
–
0
–
1
0
+
+
g (x)
0
2
2) a) Une fonction g définie sur un intervalle I et a un point de I, h un réel différent de 0 tel que a + h
appartient à I. On dit que g est dérivable en a si le quotient Error! admet une limite finie lorsque h tend vers
0.