Architecture de la matière – Préambule au chapitre 3/5

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Architecture de la matière – Préambule au chapitre 3/5
Quantification de l'énergie des atomes
De la mécanique classique à la mécanique quantique
" Il est difficile de dire la vérité, car il n'y en a qu'une, mais elle est vivante et a par conséquent un visage
changeant"
Franz Kafka, Lettres à Miléna
I Le spectre d'émission de l'atome d'hydrogène - le modèle de BOHR (1913) :
1. Expérience :
a. Principe :
On fournit de l'énergie (thermique, décharge électrique …) à un gaz composé d'atomes
d'hydrogène. Les atomes d'hydrogène sont alors excités, et se désexcitent spontanément en
émettant de la lumière. On décompose cette lumière émise par un système dispersif
(spectroscope à prisme par exemple), et on est ainsi capable de visualiser les différentes
longueurs d'onde de la lumière émise.
On dit que l'on a effectué le spectre d'émission de l'atome d'hydrogène.
b. Résultats expérimentaux :
On remarque que le spectre d'émision de l'atome d'hydrogène est discontinu : la lumière émise
(considérée comme une onde) ne correspond qu'à certaines longueurs d'onde bien précises.
On parle alors de raies d'émission, correspondant à chaque longueur d'onde émise.
On dit que le spectre est quantifié (ou encore discret), par opposition à un spectre continu
pour lequel toutes les longueurs d'onde seraient présentes.
En notant :
• c : la célérité de la lumière dans le vide.
•  : la longueur d'onde du rayonnement émis.
•  : la fréquence du rayonnement émis
On définit le nombre d'onde ;- par la relation : ;- =
Error!
=
Error!
. Il a été trouvé une
relation empirique reliant tous les nombres d'onde du spectre d'émission de l'atome
d'hydrogène :
 = RH. 1
n2 - 1 m2 m et n entiers positifs
m • n + 1
RH est la constante de Rydberg, et vaut expérimentalement RH = 1,096775.105 cm-1.
A chaque valeur de n fixée peut correspondre une infinité de valeur pour m : m = n+1, …, .
A chaque valeur de n correspond donc une série de raies. Les premières séries de raies portent
le nom des physiciens qui les ont étudiées :

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n 1 2 3 4 5
Nom Lyman Balmer Paschen Brackett Pfund
Cependant, la relation empirique trouvée n'avait aucun support théorique. Le physicien Niels
BOHR a proposé un modèle permettant d'interpréter les résultats expérimentaux relatifs au
spectre d'émission de l'hydrogène.
Rem : On peut également réaliser les spectres d'absorption des différents atomes. On
s'aperçoit qu'il y a correspondance entre les longueurs d'onde émises et absorbées …
2. Le modèle de Bohr :
a. Les bases du modèle :
Le modèle de l'atome de BOHR est un modèle basé sur la mécanique
classique.
Il a considéré le noyau de l'atome d'hydrogène (proton simple) et l'électron comme deux
masses ponctuelles chargées, ces deux particules étant soumises à une force attractive
coulombienne en
Error!
, r étant la distance proton - électron. Dans ce modèle, l'électron se
déplace sur une orbite circulaire autour du noyau. En prenant l'énergie potentielle de l'électron
nulle à l'infini, on peut montrer que l'énergie mécanique totale de l'électron (de charge -e) vaut
:
E(r) = - e2
80r
Pour rendre compte du caractère discret des raies d'émission de l'atome d'hydrogène, Bohr a
dû ajouter des postulats. La mécanique classique est en effet incapable de rendre compte de
phénomènes discrets. Ces postulats sont les suivants :
 Un atome ne peut exister que dans certains états stationnaires (*), correspondant à des
niveaux d'énergie quantifiés (donc indicables par un entier). La transition d'un état à un autre
s'accompagne d'une émission d'énergie électromagnétique h = E(m) - E(n) .
 La quantification de l'énergie de traduit mathématiquement par la quantification du
moment cinétique de l'électron e = me.r.v (me : masse de l'électron ; v : vitesse de l'électron
sur son orbite). Cette condition de quantification est
Error!
.
Rem : h est la constante de Planck ; l'association de l'énergie h à un photon provient de la
théorie des quanta développée par Einstein en 1905 afin d'interpréter l'effet photoélectrique.
Rem : h;- =
Error!
est appelée "constante de Planck réduite".
On peut schématiser l'émission d'un photon d'énergie h lors de la transition d'un niveau
excité d'énergie E(m) vers un niveau d'énergie E(n) (E(m) > E(n)) de la façon suivante :

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Bien sûr, l'atome peut absorber un photon d'énergie h lors de la transition d'un niveau
d'énergie E(n) vers un niveau d'énergie E(m) (E(m) > E(n)) par le processus inverse :
Il y a donc correspondance entre les longueurs d'onde émises et absorbées ...
L'association des résultats de la mécanique classique aux deux postulats de quantification ci-
dessus permettent de démontrer que :
• Le rayon de l'orbite de l'électron ne peut prendre que des valeurs discrètes :
r(n) = 0h2
mee2 . n2
(*) un électron sur une de ces trajectoires ne rayonne ni n'absorbe d'énergie
électromagnétique. On dit que l'électron est dans un état stationnaire.
• L'énergie totale de l'électron, ne dépendant que de r, est elle aussi discrète :
E(n) = - mee4
80
2h2 . 1
n2
Rayon et énergie sont donc quantifiés dans ce modèle.
n est appelé nombre quantique principal.
Remarque : n = 1 correspond au niveau fondamental de l'atome d'hydrogène.
r(1) = 0h2
mee2 (noté a0)
E(1) = - mee4
80
2h2
a0 = 0,529 . 10-10 m = 0,529 Å
E(1) = - 13,6 eV

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b. Retour sur le spectre d'émission de l'atome d'hydrogène :
En couplant le postulat de quantification  et l'expression du niveau d'énergie d'un atome,
on trouve alors que le nombre d'onde ;- associé à toute transition d'un niveau m vers un
niveau n (E(m) > E(n)) s'écrit :
 = 1
 = mee4
80
2h3c . 1
n2 - 1 m2 = R' . 1 n2 - 1 m2
Comparons R' (déduite du modèle de Bohr) et RH (trouvée empiriquement à partir de résultats
expérimentaux :
R' = 1,09737 . 105 cm-1
RH = 1,09677 . 105 cm-1
Cet excellent accord est à l'origine du succès du modèle de l'atome de Bohr !
On peut alors revisualiser les processus d'émission de l'atome d'hydrogène, lors de la
transition d'un niveau d'énergie E(m) vers un niveau d'énergie E(n) (E(m) > E(n)  m > n). Sur
le schéma ci-dessous, on retrouve les premières séries de raies portent le nom des physiciens
qui les ont étudiées :
n 1 2 3 4 5
Nom Lyman Balmer Paschen Brackett Pfund

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c. Le modèle de Bohr appliqué aux hydrogénoïdes :
On appelle hydrogénoïde un édifice monoatomique ne renfermant qu'un seul électron (ex :
He+ ; Li2+, etc …). En notant Z le numéro atomique de l'hydrogénoïde étudié, on peut
reprendre le calcul de Bohr en remplaçant formellement la charge +e du noyau d'hydrogène
par celle +Z.e du noyau de l'hydrogénoïde. On trouve alors :
E(n) = - meZ2e4
80
2h2 . 1
n2 = - 13,6 . Z2 n2 (en eV)
r(n) = 0h2
meZe2 . n2 = 0,529 . n2
Z (en Å)