Quantification de l`énergie de l`atome d`hydrogène

Quantification de l’énergie de l’atome d’hydrogène
I Spectre de l’atome d’hydrogène
A) Quantification du spectre de l’atome d’hydrogène
Spectre d’une source lumineuse :
 ou  qui composent l' onde électromag nétique de la source
On peut avoir un spectre continu (lampe thermique, soleil), ou un spectre de raies
(discontinues, lampe à sodium ou mercure-cadmium)
Le spectre de l’hydrogène est un spectre de raies, qu’on a regroupées par séries :
Lyman (UV), Balmer (Visible), Paschen, Brackett (IR)…
La position de toutes les raies s’obtient par une formule simple, la formule de
Rydberg-Ritz :
1
1 
 1
 RH  2  2  (où n et m  N * et tels que n  m )

m 
n
RH  10979708,01m-1 : constante de Rydberg
Remarque :
Pour n  1 , on retrouve la série de Lyman
Pour n  2 , la série de Balmer…
B) Interprétation du spectre de l’hydrogène
Niels Bohr a posé deux affirmations :
Postulat mécanique :
L’électron de l’atome d’hydrogène ne possède qu’un nombre limité d’états
accessibles.
Chaque état possède une énergie invariante (quantification des niveaux d’énergie
de l’hydrogène)
Postulat optique :
La transition entre deux états accessibles s’accompagne de l’absorption ou de
l’émission d’un photon d’énergie égale à la différence de l’énergie des deux états.
E
h  E
E
Il y a ici une transition d’un état d’énergie élevée vers un état d’énergie plus faible.
34
2 1
Il y a émission d’un photon d’énergie h  E . ( h  6,62.10 kg.m .s )
Inversement :
E
E
h  E
Ici, un photon est absorbé.
On considère l’émission d’un photon :
  1
1 
 hc RH  2  2   (n  m  N *)

  n m 
 RH hc  RH hc


2
m
n 2


 


Ephoton  h 
hc
Einitial  Em
Efinal  En
On peut l’interpréter comme une transition entre l’état initial (m) d’énergie E m et
l’état final (n) d’énergie En .
C) Diagramme des niveaux d’énergie de l’atome d’hydrogène
 RH hc  13,6eV

/
n2
n2
Pour n  1 : E1  13,6eV : c’est l’état fondamental
Les états n  1 correspondent à des états excités.
Lorsque n   , E  0 .
Les états sont indexés par n  N * , d’énergie En 
E
0
Etats de diffusion E>0 (l’électron échappe à l’attraction
du noyau d’hydrogène)
Paschen
n=2
Balmer
Etats liés
Lyman
n=1
E1=-13,6eV
II Modèle de Bohr de l’atome d’hydrogène
A) Modèle planétaire
On considère un proton ponctuel en O, de charge +e, un électron ponctuel en M, de
charge –e. On suppose O fixe dans le référentiel du laboratoire.
-e
r
+e
M

ur
O

 e2 
Fpe 
ur (force attractive, newtonienne).
40 r 2
L’électron décrit donc une trajectoire elliptique. Si la trajectoire est circulaire, de
rayon R et de vitesse V :

V

ur
M
R
O

e2
-k
k 
Em 
avec 
40
2a
a  R
 e2

80 R
Ep 
k
 e2

 2Em
R
40 R
1
e2
meV 2  E m  E p   E m 
2
80 R
Ainsi, toutes les valeurs de R sont possibles, et E peut prendre toutes les valeurs
entre 0 et   .
EC 
B) Quantification du moment cinétique

Hypothèse de Bohr : le moment cinétique  0 est quantifié, et  0  nh , n  N *
h
( h 
: constante de Planck réduite)
2


 0  OM  meV . Pour un mouvement circulaire :



 0  me RVk , où k est un vecteur unitaire perpendiculaire au plan orbital.
 02  n 2 h 2 ,  02  me2 R 2V 2
et
1
e2
meV 2 
2
80 R
Donc n 2 h 2  2me R 2
D’où R 
e2
80 R
n 2 h 2 40
h 2 40
2
avec
: rayon de Bohr

n
a
a

0
0
me e 2
me e 2
D’où E m 
 me e 4 1
 e2
 RH hc
.

 2 , et on a aussi En 
2 2
n2
80 R 8 0 h
n
me m p
me 4
 RH exp à 10-10 près (avec m 
: le proton n’est pas
2 3
8 0 h c
me  m p
réellement fixe, d’où les erreurs)
RH théorique 
III Notions de mécanique quantique
En mécanique quantique, la matière est constituée de particules, qui sont des ondes.

V
Relation Fondamentale de la
Mécanique classique
Dynamique
M
y
Mécanique quantique
y  F (M , t )
Equation de Schrödinger/
Equation de Schrödinger
stationnaire
 ( x, y, z , t ) : fonction d’onde de la particule, définie en tout point de l’espace.
A) Probabilité de présence
Soit une particule quantique dans un état stationnaire, de fonction d’onde
 ( x, y, z ) (indépendant du temps). On mesure la position de cette particule.
On a alors une probabilité dP   ( x, y, z ) dV de la trouver dans un volume dV.
2
En faisant un grand nombre de mesures, on trouve une position moyenne M0 avec

une dispersion r autour de la position moyenne :
r
M0

r est l’extension de la fonction d’onde de la particule.
B) Relation d’incertitude de Heisenberg
En mécanique relativiste, par définition : EC2  p 2 c 2  m 2 c 4 (où p est la quantité
1
de mouvement, définie par p   .m.v , où  
).
1 v2 / c2
Si v  c (mécanique classique), un développement limité donne alors
v2 2
1
2
2 v2
2
EC  mc  c 2  1  mc (1  2  )  mc 2  mv 2 (à une constante additive près).
2c 1
2
Pour des photons (masse nulle, vitesse c), on a EC  pc , soit p 
r
EC
c
Modification
de l’état
dynamique
r '  r
Particule localisée
Plus la particule est localisée, moins on connaît sa quantité de mouvement :
r  P 
~ h (Relation d’incertitude de Heisenberg)
Ainsi, pour la diffraction : lorsque la particule passe la fente, elle est plus localisée,
mais en sortant, on ne peut pas connaître sa direction avec précision (et plus la fente est
petite, plus la diffraction est importante)
Autre relation d’incertitude : E  t 
~ h ( E : énergie ; t : durée)