Quantification de l`énergie de l`atome d`hydrogène

I Spectre de l’atome d’hydrogène
A) Quantification du spectre de l’atome d’hydrogène
Spectre d’une source lumineuse :
source la de nétiqueélectromag ondel'composent qui ou
On peut avoir un spectre continu (lampe thermique, soleil), ou un spectre de raies
(discontinues, lampe à sodium ou mercure-cadmium)
Le spectre de l’hydrogène est un spectre de raies, qu’on a regroupées par séries :
Lyman (UV), Balmer (Visible), Paschen, Brackett (IR)…
La position de toutes les raies s’obtient par une formule simple, la formule de
Rydberg-Ritz :
 22 111 mn
RH
(où n et m
*N
et tels que
mn
)
-1
m01,10979708
H
R
: constante de Rydberg
Remarque :
Pour
1n
, on retrouve la série de Lyman
Pour
2n
, la série de Balmer…
B) Interprétation du spectre de l’hydrogène
Niels Bohr a posé deux affirmations :
Postulat mécanique :
L’électron de l’atome d’hydrogène ne possède qu’un nombre limité d’états
accessibles.
Chaque état possède une énergie invariante (quantification des niveaux d’énergie
de l’hydrogène)
Postulat optique :
La transition entre deux états accessibles s’accompagne de l’absorption ou de
l’émission d’un photon d’énergie égale à la différence de l’énergie des deux états.
E
E
Eh 
Il y a ici une transition d’un état d’énergie élevée vers un état d’énergie plus faible.
Il y a émission d’un photon d’énergie
Eh 
. (
1234 s.m.kg10.62,6 
h
)
Inversement :
E
E
Eh 
Ici, un photon est absorbé.
On considère l’émission d’un photon :
Quantification de l’énergie de l’atome d’hydrogène

nm EE
H
EE
H
H
nhcR mhcR
mn
mn
Rhc
hc
hE
finalinitial
22
22
photon *)(
11 N
On peut l’interpréter comme une transition entre l’état initial (m) d’énergie
m
E
et
l’état final (n) d’énergie
n
E
.
C) Diagramme des niveaux d’énergie de l’atome d’hydrogène
Les états sont indexés par
*Nn
, d’énergie
22 eV6,13
nn hcR
EH
n
/
Pour
1n
:
eV6,13
1E
: c’est l’état fondamental
Les états
1n
correspondent à des états excités.
Lorsque
n
,
0E
.
E
Lyman
Balmer Paschen
E1=-13,6eV n=1
n=2
Etats liés
Etats de diffusion E>0 (l’électron échappe à l’attraction
du noyau d’hydrogène)
0
II Modèle de Bohr de l’atome d’hydrogène
A) Modèle planétaire
On considère un proton ponctuel en O, de charge +e, un électron ponctuel en M, de
charge –e. On suppose O fixe dans le référentiel du laboratoire.
O
+e
-e
M
r
r
u
rep u
r
e
F
2
0
2
4
(force attractive, newtonienne).
L’électron décrit donc une trajectoire elliptique. Si la trajectoire est circulaire, de
rayon R et de vitesse V :
R
O
Mr
u
V
R
e
Ra
e
k
a
-k
Em
0
2
0
2
8
4
avec
2

R
e
EEEVmE
E
R
e
R
k
E
mpmeC
mp
0
2
2
0
2
82
1
2
4
Ainsi, toutes les valeurs de R sont possibles, et E peut prendre toutes les valeurs
entre 0 et .
B) Quantification du moment cinétique
Hypothèse de Bohr : le moment cinétique
0
est quantifié, et
hn
0
,
*Nn
(
2h
h
: constante de Planck réduite)
VmOM e
0
. Pour un mouvement circulaire :
kRVme
0
, où
k
est un vecteur unitaire perpendiculaire au plan orbital.
222
0hn 
,
2222
0VRme
et
R
e
Vme0
2
282
1
Donc
R
e
Rmhn e0
2
222 8
2
D’où
0
2
20
22 4an
em
hn
R
e
avec
20
2
04
em
h
a
e
: rayon de Bohr
D’où
222
0
4
0
21
8
8nh
em
R
e
Ee
m
, et on a aussi
2
nhcR
EH
n
.
ch
me
RH32
0
4
théorique 8
exp H
R
à 10-10 près (avec
pe
pe
mm
mm
m
: le proton n’est pas
réellement fixe, d’où les erreurs)
III Notions de mécanique quantique
En mécanique quantique, la matière est constituée de particules, qui sont des ondes.
Mécanique classique
M
V
Relation Fondamentale de la
Dynamique
Mécanique quantique
y
),( tMFy 
Equation de Schrödinger/
Equation de Schrödinger
stationnaire
),,,( tzyx
: fonction d’onde de la particule, définie en tout point de l’espace.
A) Probabilité de présence
Soit une particule quantique dans un état stationnaire, de fonction d’onde
),,( zyx
(indépendant du temps). On mesure la position de cette particule.
On a alors une probabilité
dVzyxdP 2 ),,(
de la trouver dans un volume dV.

En faisant un grand nombre de mesures, on trouve une position moyenne M0 avec
une dispersion
r
autour de la position moyenne :
M0
r
r
est l’extension de la fonction d’onde de la particule.
B) Relation d’incertitude de Heisenberg
En mécanique relativiste, par définition :
42222 cmcpEC
(où p est la quantité
de mouvement, définie par
vmp ..
, où
22 /1
1
cv
).
Si
cv 
(mécanique classique), un développement limité donne alors
22
1
2
2
2
222 2
1
)
2
1(1
2
2mvmc
c
v
mcmcEc
v
C
(à une constante additive près).
Pour des photons (masse nulle, vitesse c), on a
pcEC
, soit
c
E
pC
r
Modification
de l’état
dynamique
rr '
Particule localisée
Plus la particule est localisée, moins on connaît sa quantité de mouvement :
~hPr 
(Relation d’incertitude de Heisenberg)
Ainsi, pour la diffraction : lorsque la particule passe la fente, elle est plus localisée,
mais en sortant, on ne peut pas connaître sa direction avec précision (et plus la fente est
petite, plus la diffraction est importante)
Autre relation d’incertitude :
~htE 
(
E
: énergie ;
t
: durée)