chap2

Chapitre II : Applications de la plasticité
Matériaux élasto-plastiques à paramètres structuraux
Matériaux viscoplastiques
1
2
I.
Matériaux
élastoplastiques
à
microstruces
variant
avec
la
déformation
I.1.
Matériau élastoplastique poreux
Considérons un matériau élastoplastique contenant une fraction volumique f de
cavités sphériques.Ces cavités peuvent venir de l'élaboration (compaction incomplète) ou
apparaître pendant la déformation autour de particules de secondes phases due à une rupture
de l'interface inclusion matrice.La matrice a un comportement élastoplastique écrousissable
décrit par
  pM 

 M   0 1


0
n
0 
0
E
où M est la contrainte d'écoulement de la matrice et  pM    pM dt est la déformation
équivalente de von Mises dans la matrice.  0 et  0 sont deux constantes caractéristiques du
comportement de la matrice. E est le module de Young de la matrice.
Nous voudrons connaître la relation
entre les contraintes macroscopiques  et
déformations macroscopiques  décrivant le comportement de l'ensemble matrice et cavités.

 p 
 M   0 1 M 
 0 
f=f0+df
n
-a-
-b-
Figure 1 : microstrure du composite matrice-cavités (a) avant déformation, (b) apès déformation
Pendant la déformation la fraction volumique de cavités et leur forme change. Nous
supposerons pour le moment que les cavités restent sphériques. Ceci permettra de caractériser
la microstructure du matériau par un seul paramètre scalaire : la fraction volumique de cavités.
3
I.1.1.
Potentiel des contraintes de Gurson
Gurson a estimé le champ de vitesse et de déformation dans une sphère creuse
soumise sur la surface externe à un chargement imposé. Basé sur les résultats de Gurson, le
potentiel suivant semble bien décrire le comportement d'un matériau élasto-plastique
contenant des cavités sphériques. Les facteurs q1 et q2 ont été introduit par Tvergaard afin de
rendre compte de résultats obtenus par éléments finis.

 
2eq
2

 3 m   
 2 q1 f cosh q2
   1  q1 f   0
 2  M 
M


Les vitesses de déformation plastiques sont définies comme au préalables par la loi de
normalité :
p  
E ij  
  ij
 eq et  m sont respectivement la contrainte de von Mises et la contrainte moyenne
macroscopique
 eq 



3
   m  ij   m
2 ij
1
 m   kk
3
Le potentiel des contraintes dépend de la contrainte moyenne macroscopique puisque
l'accroissement de volume dû à la déformation plastique est non nul ici. En effet, pendant la
déformation du composite, la matrice se déforme de façon incompressible, mais le volume des
cavités peut varier.
I.1.2
Tenseur vitesse de déformation plastique, loi de normalité
Exactement comme pour un matériau isotrope incompressible, les vitesses de
déformation plastiques sont données par la loi de normalité. Or maintenant, la normale à la
surface d'écoulement ou au potentiel des contraintes a une composante non nulle suivant la
direction de la contrainte moyenne :
p 
E ij  



    1   

ij
  ij
  S ij 3   m 
où est le facteur indéterminé et S le tenseur déviateur macroscopiques des contraintes. La
contrainte m est indépendante des composantes du tenseur déviateur. Donc la dérivée par
rapport à S dans le premier terme du membre de droite peut ête calculée par une dérivation par
partie par rapport à eq :
4

S
 
p   3 ij  1


 ij
E ij  
   eq 2  eq 3   m 
3

est un scalaire et S est à trace nulle (Skk=0). Donc le premier terme dans le
2  eq   eq
membre de droite est à trace nulle. C'est le terme classique retrouvé dans le cas d'un matériau
isotrope incompressible. Ainsi le déviateur des vitesses de déformation plastiques s'écrit :
S
p'   3 ij
E ij  
 eq 2 eq
Et la vitesse de déformation équivalente de von Mises est définie comme précédemment :
p    p
 
E ikk  
   
 m
 eq
La trace des vitesses de déformation plastiques équivaut à l'accroissement de volume
du composite pendant la déformation plastique et s'écrit :
p
V 
 
E  
 m
V
kk
Nous spécifions maintenant les différents termes intervenant dans la vitesse de
déformation plastique

  eq
 eq
2 2

M

 3 h  

2 3
q1 q2 f sinh  q2


 m  M 2
 2  M 

Introduisant le paramètre l défini comme suit :
1
2



  q1 f sinh  q2

3 h  

2  M 
Ainsi la vitesse de déformation peut s'écrire
 2  eq 3 S ij 1
2 3
3 m 
p


q
q
q

f
sinh(


E ij
ij
1 2
2 2  )
M 
  2M 2  eq 3  M 2
soit
S

p  2  3 ij  q 

E ij  


ij
2
 M 2  M

5
A microstructure (f) et taux de déformation de la matrice (  pM )donné, seul le facteur
 reste inconnu. Nous le déterminerons par la conservation de la puissance. La
indéterminé 
p
partie irréversible de la puissance totale fournie (  ij E ij ) est égale à la puissance consommée
pour déformer la matière de la matrice. L'évolution du paramètre microstructurale (la fraction
volumique) est obtenue assez facilement par la conservation de la matière. L'évolution du
comportement de la matrice sera obtenu par la relation de consistance.
I.1.3.

Conservation de la puissance détermination de 
La fraction volumique occupée par les vides est f et celles occupée par la matrice est
(1-f). Comme la matrice est incompressible, la puissance nécessaire pour déformer un volume
unitaire de matrice est donnée par  M  pM . Ainsi l'équation de conservation de la puissance
nous permet d'écrire
p
p
p
W  ij E ij  1  f   M  M
Remarquez que pour le composite, on a besoin de prendre l'expression complète de la
puissance, puisque le composite n'est pas incompressible. Nous séparons la contrainte en
partie déviatorique et partie hydrostatique avant d'effectuer le produit tensorielle avec la
vitesse de déformation plastique macroscopique :
ij  S ij   ij  m


S
   3 ij  1    S   
 ij E ijp  
ij
m ij
ij
   eq 2  eq 3   m 


Rappelez vous que =0 et que =3. Ainsi le produit précédent peut s'écrire :


       
 ij E ijp  
eq
m
  m 
   eq
soit
2

p  2   eq


ij E  
 3 q2   m  (1  f )  M  pM
ij
 M  M

et le facteur indéterminé vaut
6
 

(1  f )  2M  pM
  2eq

2
 3 q2   m
  M

Avec les développements précédents pour la vitesse de déformation macroscopique de von
Mises et la trace de la vitesse de déformation macroscopique nous obtenons
 eq

p  
où
2 2
   
 eq
  eq
M
p
E 
(1  f )  pM
  eq
 

 3 q2  m 
 eq 
  M
La trace de la vitesse de déformation plastique macroscopique s'écrit maintenant :
p
E kk 

2

3 q2    M  p 3 q2  

M
eq
Le tenseur vitesse de déformation plastique prend ainsi la forme finale :



p 3 S ij
p
 q2  M  ij 
E ij   
 eq 
 2  eq
p
p
p
W  ij E ij  1  f   M  M
et le facteur indéterminé vaut
p
E 
(1  f )  pM
  eq
 

 3 q2  m 
 eq 
  M
La trace de la vitesse de déformation plastique macroscopique s'écrit maintenant :
p
E kk 

2

3 q2    M  p 3 q2  

M
eq
Le tenseur vitesse de déformation plastique prend ainsi la forme finale :



p 3 S ij
p
 q2  M  ij 
E ij   
 eq 
 2  eq
I.1.4
Conservation de la matière : équation d'évolution de la fraction volumique
7
Le volume du composite change pendant la déformation dû au changement de
volume des cavités. Cependant, la matrice se déforme à volume constant.
f 
f 
V vide
V vide  V matrice
d V vide  V matrice
V vide
V vide

2
dt
V vide  V matrice V
vide V matrice
Or la matrice se déformant à volume constant : V matrice  0 et la variation de la fraction
volumique de vides s'écrit :

V vide
f  1 
 V
vide V matrice


d V vide  V matrice
1
V

 (1  f )
dt
V
 V
 vide V matrice
Où V est le volume total du composite (V=Vvide+Vmatrice). La quantité V V correspond à la
trace du tenseur vitesse de déformation plastique. L'équation d'évolution pour le paramètre
structural unique du problème, c'est-à-dire la fraction volumique de cavités est donc :
p  3(1  f )  p q  M
f  (1  f ) E kk
E 2
 eq
Remarquez que l'obtention de l'évolution du paramètre structural est extrêmement
simple dans le problème présent. Dans les applications industrielles, rien n'indique
généralement l'évolution des paramètres en questions. Dans la seconde partie nous verrons
une description de l'écrouissage cinématique. Dans ce cas, il n'y a pas d'argument physique
aussi simple pour décrire l'évolution du paramètre structural. Lors de la mise en forme de
tôles, on observe une forte anisotropie, résultante du laminage et évoluant pendant la
déformation. Ceci signifie que la frontière d'écoulement devient de plus en plus anisotrope
dépendant de la texture du matériau. Il faudra donc donner une évolution de la texture
pendant la déformation plastique. Cet aspect de la déformation plastique est abordé en option
Matériau dans le cours de Microstructures.
I.1.4
Relation de consistance : évolution du comportement de la matrice
Avant d'utiliser la relation de la consistance, pour donner l'évolution du
comportement de la matrice, nous nous placerons dans le cas d'un chargement particulier
(Figure 2). Le chargement quelconque ne peut pas être résolu de façon analytique, mais
nécessite le recours aux éléments fini. Considérons une éprouvette en chargement axiale à
triaxialité des contraintes constante pendant l'histoire de la déformation. Les contraintes selon
x et y sont égales et dans un rapport constant par rapport à la contrainte suivant z. Donc le
tenseur contrainte s'écrit :
8
 0
0 


   0 
0 
 0 0 (1   )
Figure 2 composite matrice-cavités en chargement axisymétrique à rapport de contraintes
constant pendant la déformation
La contrainte moyenne m, le déviateur des contrainte S et la contrainte équivalente
de von Mises eq s'écrivent respectivement
1
3 0

1
1

m      S  0
3

3

0 0


0

0   eq  

2
3 
Le potentiel des contraintes prend ainsi une forme plus simple.

 1 1      
2
   1  q1 f   0
  2  2 q1 f cosh q2
 M   

M
2

2
 
L'équation de consistance exprime l'invariance du potentiel vis-à-vis d'une dérivée
totale. Dans le cas général, l'équation de consistance s'écrit :


 
f 0
 M 
 ij 
  ij
M
f
Ici nous pouvons considérer le scalaire S au lieu de dériver composante par composante :


 
f 0
 M 
 

M
f
Nous donnons maintenant le système complet en vue d'une application numérique :
9
La variation de la contrainte appliquée avec la déformation plastique macroscopique



 EP
M
H
 

 3 q2  

 M

La variation de la déformation plastique dans la matrice avec la déformation plastique
macroscopique


p
M

P
M
E
H
 q2  (1  3 )
(1  f )
1  3  
1  3  
hM 
  
   
  3 M 1  f  q2
(1  f ) 
 M  
 M 
La dérivée du potentiel par rapport à la fraction volumique
 
 1  3  
1  1
  q12 f
 q1 q2 cosh
2 f
2
 M 
La partie incompressible de la normale à la frontière d'écoulement

3 sij sij  2

2  2M  2M
Le module tangent de la matrice
hM 
 M
  pM
Un schéma direct d'Euler a été utilisé pour intégrer les équations précédentes. La
valeur de la triaxialité des contraintes (m/eq) était de 1 (b=0.66666). Les équations ont été
intégrées pour une fraction volumique initiale nulle (plasticité de von Mises) et pour une
faction volumique de cavités initiale de 0.0013. La figure 13 montre la variation de la
contrainte équivalente avec la déformation totale et la variation de la fraction volumique de
cavités avec la déformation plastique totale. La courbe contrainte déformation à fraction
volumique nulle correspond tout simplement à la loi de comportement de la matrice. La
courbe contrainte déformation à fraction volumique initiale non nulle présente un maximum.
Ceci est dû au fait que deux phénomènes se compensent. Au début la contrainte monte
fortement dû au durcissement (écrouissage de la matrice) et la fraction volumique de cavité
varie très faiblement. Quant la déformation progresse, la fraction volumique de cavité varie de
plus en plus rapidement et induit ainsi un adoucissement très important du composite.
Evidemment la fraction volumique reste identiquement nulle dans le cas de plasticité de von
Mises.
10
1.8
1.6
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.6
fO= 0.0000
0.4
f
f = 0.0013
0
0.2
f = 0.0013
0
fO= 0.0000
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
- a-
0.0
0.2
0.4
0.6
-b-
Figure 3 (a) contrainte macroscopique vs déformation plastique équivalente pour une triaxialité de 1,
(b) fraction volumique de cavités vs. Déformation plastique équivalente pour une triaxialité des contraintes de 1.
Nous allons maintenant brièvement présenter un autre cas avec paramètre structural
nécessitant une loi d'évolution.
I.2.
Ecrouissage cinématique
Quand nous avons présenté les surfaces de plastification, nous n'avons pas fait de
distinction entre un état de compression et un état de traction. La plus part des aciers
présentent un phénomène connu sous le nom d'effet Bauschinger. Considérons un essais de
traction compression. Soit Re0 la limite d'élasticité initiale du matériau non déformé.
Généralement Re0 est la même en traction et en compression. Déformons l'éprouvette en
traction au delà de la limite d'élasticité initiale Re0 jusqu'à une valeur Re>Re0. Maintenant
comprimons l'éprouvette et déterminons la nouvelle limite d'élasticité. La nouvelle limite
d'élasticité en compression est plus petite que la limite d'élasticité initiale Re. Ceci correspond
à un déplacement de la frontière découlement pendant la déformation plastique (Figure 4).
11
2
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5

1
3

4

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
.
Figure 4 : (a) Essais de traction compresion avec effet Bauschinger, (b) Déplacement de la frontière
d'écoulement dans l'espace des contraintes dû à l'effet Bauschinger ou à l'écrouissage cinématique.
Si la frontière d'écoulement initiale est de la forme f S:S  Re où S est le tenseur
déviateur, la frontière d'écoulemen s'écrit de façon générale pendant la déformation
f  S:S  Re  f  S   :  S      Re
 est un tenseur du second ordre exprimant le déplacement de la frontière
d'écoulement avec la déformation plastique.
La loi de normalité est toujours valable, cependant il faut donner une loi d'évolution
de a pour assurer la relation de consistance. Généralement cette loi est purement empirique ou
obtenue à partir de calcul micromécaniques.
II. Notions de viscoplasticité
Les
matériaux
déformés
à
chauds
exibent
plutôt
un
comportement
élastoviscoplastique. Jusqu'à la limite d'écoulement ces matériaux suivent un comportement
élastique. A la limite d'écoulment une plastification est observée. La limite d'écoulement
dépend de la vitesse de déformation. Souvent, on considère une limite d'écoulement sous la
forme
n
m
     
Re   0 1   
  0   0
Pour un matériau isotrope, le potentiel plastique s'obtient en remplaçant Re par la
contrainte d'écoulement dans la formule précédente et en intégrant à valeur fixée de la
déformation plastique :
12




n
m

     
 

   0 1      

  0   0
0     n
  0 1  
0 





 


m
1
   
d 


m  1     n
0 0
  0 1  
   0 
1/ m
1/ m
 m1

m 
 
Si l'on défini la valeur "statique" de la contrainte d'écoulement ne dépendant que de l'état
actuel de la déformation mais pas de la vitesse de déformation, l'écriture est plus normalisée :
 
 M   0 1 
  0
n
 m1


m M     m 
   
d 


m 1  M
0 0


Les vitesses de déformations sont toujours données par la loi de normalité et l'évolution de la
contrainte M est encore fournie par l'équation de consistance.
13