Lycée Berthollet - MPSI 1 - 2011-2012 Feuille d’exercices 6 Géométrie plane 1- (ABC ) est un triangle. Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que MA 3MB 2MC soit colinéaire à AB 2- ( ABC ) est un triangle. A', B', C' sont les symétriques des points A, B, C par rapport à B, C, A respectivement. Déterminer le rapport entre l'aire du triangle ( A'B'C ' ) et celle du triangle ( ABC ). 3- Soit ( ABC ) un triangle équilatéral de côté a > 0 . Déterminer le minimum de MA²+2MB²-2MC² quand M parcourt le plan. C les mesures des angles dans ]0, [ et 4- Soit ( ABC ) un triangle .On note a=BC, b = AC, c = AB, A , B, p=( a + b +c )/2 le demi périmètre, S l’aire du triangle ABC. a b c 1) Comparer AB, AC , BC, BA et CA, CB et montrer sin A sin B sin C 2) Montrer S = p(pa)(pb)(pc) ( Formule de Héron ) (on pourra utiliser c²a²b²2abcosC ) 5- Déterminer les équations cartésiennes des bissectrices de D1 et D2 D1 : 3x 4 y 3 0 D2 :12 x 5 y 4 0 6- Soit ( ABC ) un triangle équilatéral. On choisit un repère orthonormé de sorte que les coordonnées de A soient a,0 et celles de B a,0 avec a > 0, C ayant une ordonnée positive. 1) Déterminer les coordonnées de C et les équations cartésiennes des droites (AC) et ( BC ) 2) Montrer que si M est un point intérieur au triangle, la somme des distances de M à chaque côté du triangle est constante. 7 - Montrer que A d’affixe a, B d’affixe b, C d’affixe c forment un triangle équilatéral si et seulement si: abj cj²0 ou abj²cj 0 . 8- Déterminer l’ensemble des points d’affixe z tels que les points d’affixes 1, z, 1/z, 1-z soient distincts et cocycliques. Dans tous les exercices qui suivent , le plan est muni d’un repère orthonormé direct (O,i , j ) . 9- C est le cercle x² 4x y² 2 y 3 0 Déterminer les équations des deux tangentes à C issues de A ( 0,1) et leur angle. 10- On considère l’ensemble E des points M de coordonnées x, y tels que x 2 3 xy y 2 x y 1 . Déterminer une équation de E dans le repère orthonormé direct (, u , v ) où O i j et i , u en déduire la représentation graphique de E. 11- Soient Dm les droites d’équation (1 m2 ) x 2my 4(m 2) 0 . ( m R ) 1) Montrer qu’il existe un point équidistant de toutes les droites Dm . 2) Soit M 0 x0 , y0 un point fixé du plan . Existe-t-il des droites Dm passant par M0 . 12 - Soient Cm les courbes d’équation x² y ² 4mx 2my 10(m 1) 0 1) Montrer que pour tout m réel Cm est un cercle dont on précisera le centre et le rayon. 2) Déterminer l’ensemble décrit par les centres des cercles Cm 3) Montrer qu’il existe deux points A et B communs à tous les cercles Cm . 4) Soit M 0 x0 , y0 un point fixé du plan n’appartenant pas à la droite AB . Montrer qu’il existe un unique cercle Cm passant par M0 . 4 ;