MPSI 1 96-97 Feuille d`exercices 1

Lycée Berthollet - MPSI 1 - 2011-2012 Feuille d’exercices 6
Géométrie plane
1- (ABC ) est un triangle. Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que
32MA MB MC
soit colinéaire à
AB
2- ( ABC ) est un triangle. A', B', C' sont les symétriques des points A, B, C par rapport à B, C, A respectivement.
Déterminer le rapport entre l'aire du triangle ( A'B'C ' ) et celle du triangle ( ABC ).
3- Soit ( ABC ) un triangle équilatéral de côté a > 0 .
Déterminer le minimum de MA²+2MB²-2MC² quand M parcourt le plan.
4- Soit ( ABC ) un triangle .On note a=BC, b = AC, c = AB,
A
,
,B
C
les mesures des angles dans ]0,
[
et
p=( a + b +c )/2 le demi périmètre, S l’aire du triangle ABC.
1) Comparer
,AB AC
,
,BC BA
et
,CA CB
et montrer
C
c
B
b
A
a sin
sin
sin 
2) Montrer S =
))()((cpbpapp 
( Formule de Héron ) (on pourra utiliser
Cabbac  cos2²²² 
)
5- Déterminer les équations cartésiennes des bissectrices de D1 et D2
1:3 4 3 0D x y  
2:12 5 4 0D x y  
6- Soit ( ABC ) un triangle équilatéral. On choisit un repère orthonormé de sorte que les coordonnées de A soient
0,a
et celles de B
0,a
avec a > 0, C ayant une ordonnée positive.
1) Déterminer les coordonnées de C et les équations cartésiennes des droites (AC) et ( BC )
2) Montrer que si M est un point intérieur au triangle, la somme des distances de M à chaque côté du
triangle est constante.
7 - Montrer que A d’affixe a, B d’affixe b, C d’affixe c forment un triangle équilatéral si et seulement si:
0² cjbja
ou
0²  cjbja
.
8- Déterminer l’ensemble des points d’affixe z tels que les points d’affixes 1, z, 1/z, 1-z soient distincts et
cocycliques.
Dans tous les exercices qui suivent , le plan est muni d’un repère orthonormé direct
),,( jiO 
.
9- C est le cercle
² 4 ² 2 3 0x x y y    
Déterminer les équations des deux tangentes à C issues de A ( 0,1) et leur angle.
10- On considère l’ensemble E des points M de coordonnées
,xy
tels que
22
31x xy y x y    
.
Déterminer une équation de E dans le repère orthonormé direct
( , , )uv
où
O i j   
et
,4 iu
;
en déduire la représentation graphique de E.
11- Soient
m
D
les droites d’équation
2
(1 ) 2 4( 2) 0m x my m    
. (
mR
)
1) Montrer qu’il existe un point équidistant de toutes les droites
m
D
.
2) Soit
0 0 0
,M x y
un point fixé du plan . Existe-t-il des droites
m
D
passant par M0 .
12 - Soient
m
C
les courbes d’équation
² ² 4 2 10( 1) 0x y mx my m      
1) Montrer que pour tout m réel
m
C
est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
2) Déterminer l’ensemble décrit par les centres des cercles
m
C
3) Montrer qu’il existe deux points A et B communs à tous les cercles
m
C
.
4) Soit
0 0 0
,M x y
un point fixé du plan n’appartenant pas à la droite
AB
.
Montrer qu’il existe un unique cercle
m
C
passant par M0 .